复合函数单调性的判定方法(最新整理)

1、复合函数单调性的判定方法定理 设 yf(u)，u(m，n)，ug(x)，x(a，b)(1)若 yf(u)是(m，n)上的减函数，则 yfg(x)的增减性与 g(x)的增减性相反；(2)若 yf(u)是(m，n)上的增函数，则 yfg(x)的增减性与 g(x)的增减性相同证明：(1)若 g(x)在(a，b)上是增函数，任取ax1x2b，则有 mg(x1)g(x2)n，由 f(u)在(m，n)上是减函数得 fg(x1)fg(x2)，故 fg(x)在(a，b)上是减函数若 g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证 fg(x)在(a，b)上是增函数(2)若 g(x)在(a，b)上是增函数，任取 ax1

2、x2b，则有mg(x1)g(x2)n，由 f(u)在(m，n)上是增函数，得 fg(x1)fg(x2)，所以 fg(x)在(a，b)上是增函数若 g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证 fg(x)在(a，b)上是减函数由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性例 1 讨论函数 f(x)log0.5(x24

3、x4)的单调性解 f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)可视为 ylog0.5u 与 ux24x4 复合而成u 的图象是以 x2 为对称轴，开口向上的抛物线，在(，2)上为减函数，在(2，)上为增函数又 ylog0.5u 在其定义域上是减函数， 故 f(x)在(，2)上是增函数，在(2，)上是减函数例 2 试求函数 f(x)2x2 的单调区间解 函数 f(x)2x2 可视为 f(u)2u 与 ux2 复合而成函数ux2 在(，0上为减函数，在0，)上为增函数，且u0函数 f(u)2u 在 u0 时为增函数所以，f(x)在(，0上为减函数在0，)上为增函数推论 由有限个简单函数复合而成的多重

4、复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数(1) 若 0a1当 x1 时，在构成复合函数的三个函数中，ylogau 和 vx2x2 是减函数，则 f(x)是增函数当x2 时，在构成复合函数的三个函数中，只有 ylogau 是减函数， 则 f(x)是减函数(2) 若 a1，当 x1 时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数 ylogau 是减函数，则 f(x)是减函数当 x2 时， 构成复合函数的三个函数都是增函数，则 f(x)是增函数“”“”at the end, xiao bi

5、an gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. this document is also edited by my studio profe