仿射变换在初等几何中的应用三稿

1、仿射变换在初等几何中的应用摘要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射 影变换的桥梁。在初等几何中，仿射图形经过平面仿射变换，可以由对特殊几何图形的证 明，得出对一般几何图形的证明。而且，根据仿射变换的性质，可以把特殊图形的命题推 广到一般图形，从而达到事半功倍的效果。本文将探讨应用仿射变换中的仿射不变性质与 仿射不变量来解决一些初等几何问题。关键词：仿射变换；仿射不变性；仿射图形；初等几何问题。2. 仿射变换基本概念及有关性质 2.1定义 设同一平面内有n条直线ai，a2，a3，a.，如图2.1，人，T?，T3，人J顺的点建立了次表示ai到a2， a2到a3

2、， a.到a.的透视仿射，经过这一串平行射影，使 4上的点与a.上对应，称为a到an的仿射或仿射变换T=TnTn/丁2不，T称为T，T2,T3，Tn丄按这个顺序的乘积。T(A)= TnTn 2 T2 Ti (A) =Tn/T2(A) = uA“ , T(B) = B“等等d6图2.1仿射变换的代数表示，即，其中ai1 ai2ai2 a22x=aiix +ai2 y + ai3 y =a2ix +a22 y + a23定义2.2图形经过任何仿射变换后都不变的性质 （量），称为图形的仿射性质（仿射不变量）。（1）仿射变换保持同素性;（2）仿射变换保持结合性；（3）仿射变换保持共线三点的简比不变;定

3、义2.3 设A，B，C为共线三点，这三点的简比（ABC 定义为下述有向线段的比：（ABC ）=竺BC其中AC，BC是有向线段AC，BC的代数长，A，B叫基点，C叫分点。当C在A , B之间时，（ABC FO；当C不在A , B之间时，（ABC pO;当C与A重合时，（ABC ）=0;当C与B重合时，（ABC不存在;特别地当C为线段AB的中点时，（ABC）二-1。2.2仿射性质及仿射不变量定理两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线。推论两条相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线。推论共点的直线经仿射变换后仍变为共点直线。定理两条平行线段之比是仿射不变量推论一直线上两线段之比是仿射不变量定理两封

4、闭图形（如三角形、平行四边形、椭圆等）面积之比是仿射不变量。3. 仿射变换在初等几何中的应用根据仿射变换的性质可知，通过特殊仿射变换可将某些一般图形变为特殊图形，如可 将任何三角形变成正三角形，平行四边形变为正方形或长方形，梯形变为等腰梯形或直角 梯形。因此，对于一个仅涉及仿射性质的初等几何命题， 如果能证明它在特殊图形中成立, 则在仿射变换下，这个命题对于相应地一般图形也应成立。利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。3.1平行投影平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。解这类题的关键是选定平行投影方向,应用平行线段之

5、比是仿射不变量。例1 P是 MBC内任一点，连结 AP、BP、CP并延长分别交对边于D、E、F。求证：PD+E+fF=1. AD BE CFC证明：如图1，分别沿AB和AC方向作平行投影。P 7 P，、P 7 P由仿射变换保简单比不变得，PD PD DPAD BD DC，所以竺=墨PFAD BCBPBE BC CF BCPP +P C +BP二1 . AD BE CF BC BC BC3.2三角形仿射等价性因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。因此，如果我们要证明一个有关三 角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三 角形成立，便可断言命题对任意三角形

6、也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多 特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。例2在MBC的中线AD上任取一点P，连接BP、CP，并延长BP交AC于E，延长CP 交AB于F，求证：EF / BC .E 、3.3C图2证明：如图2,作仿射变换T,使得从BC对应正MBC-,由仿射性质可知，点D、P、F相应地对应D P，、E F 且AD 为正的中线。 在正 MBC冲AD乜是BC边上的高，且B，、P、F到BC的距离相等，则EFM BC ,由于平行性是仿射不变性，因此，在 MBC中EF /证明有关平行四边形仿射性质的实例任一平行四边形均可以经过特殊平行投影变成正方形,E，与C P、F，关于AD对

7、称,BC.因此，若想证明一个有关平行四边形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题 对正方形成立即可。例3已知在平行四边形 ABCD中，E为AB的中点，F在AD 上, AF =丄DF , EF交AC2于G，求证：AG二1 AC5PEB证明：如图3,作仿射变换f，使得，平行四边形ABCD对应正方形ABcD，则由仿 射性质可知，点E、F、G分别对应E、F、G ，且E是AD的中点，AL=JdL.2在正方形ABCD冲，取CD 的中点P，过B 、D 、P作EF的平行线，分别交 AC于点H M，、N，。由平面几何知识易证，AG，=1AC-，5由于简比是仿射不变量，所以在平行

8、四边形 ABCD中，AG=AC53.4证明有关梯形仿射性质的实例任一梯形均可以经过平行投影变成等腰梯形，若想证明一个有关梯形的命题，只要这 个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对等腰梯形成立即可。例4在梯形 ABCD中，AD / BC ,N分别为AD、BC的中点，对角线AC与BD交于E点，腰AB与CD交于F点，求证:CN、E、F四点共线。C证明：如图4,作仿射变换g ,使梯形ABCD对应等腰梯形ABCD，则由仿射性质可知，点M、N、E、F依次对应M 、N 、E、F，其中M 、N 分别为AD与BC的中点。在等腰梯形ABCD中，由对称性可知，MN 是对称轴，E为对称直线AC与BD的交点，F为对称直线AB与CD 的交点，因此，E、F必在直线MN 上，即E、F 、M 、N四点共线。由于结合性是仿射不变量，所以在梯形ABCD中M、N、E、F四点共线。4.小结以上内容是对仿射变换在初等几何应用的简单总结，当然有些题有其他做法，但是应用仿射变换解决起来更简捷，方便。从例题可以总结得出应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量解题的步骤可概括如下： 判断求解的问题是否能利用仿射不变性质，仿射不变量求解，一般涉及到点共直线，直线共点，线段比，面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题