二分法求方程的近似解00415

1、用二分法求方程的近似解山东省枣庄市薛城舜耕中学高中数学组李勇教学目标知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近 似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备.情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.教学重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函 数观点处理问题的意识.教学难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.教材分析本节课注重从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元

2、二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与7轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的 思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.学情分析通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函 数与方

3、程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度 的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作.教学媒体分析多媒体微机室、Authorware7.02 中文版、几何画板 4.06中文版、Microsoft ExcelQBASIC语言应用程序教学方法动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践教学环节设计流程图境导航由中外历史上的*程求解引入權3 縣发现 rSHB放几何画板

4、前四步二分法 諏及期二分送!備助宿息技术求方程近如 的歩蠻CTOSOf t El Ml 后六步 例題尝试毎习知识拓展I介貂QBASIC舀ft应用及漫透算法Jg想激发学习餅纂受裁学文化曲 自学QB幅垃或其他计算机语言 查找豊薛追寻尔和话瓦- I将本节谩的受在学校论坛交證教学设计理念1. 构建共同基础，提供发展平台;2. 提供多样解法，适应个性选择;3. 倡导积极主动、勇于探索的学习方式;4. 注重提高学生的数学思维能力;5. 发展学生的数学应用意识;6. 与时惧进地认识“双基”；节7.强调本质，注意适度形式化;8.体现数学的文化价值;9.注重信息技术与数学课程的整合;10.建立合理、科学的评价体

5、系教学过程与操作设计:教学内容设计中外历史上的方程求解在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即 /（X）= 0的根），对于/（X）为一次或 二次函数，我们有熟知的公式解法（二 .次时，称为求根公式）.我国古代数学 家已比较系统地解决了部分方程求解的 问题，在九章算术，北宋数学家贾宪的黄帝九章 算法细草，南宋数学家秦九韶的数书九章中均有 记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公 式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的

6、根式 解，但经过长期的努力仍无结果.1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N. H. Abel , 1802-1829 ）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois , 1811-1832 ）巧妙而简洁地证明了存 在不能用开方运算求解的具体方程.人 们认识到高于4次的代数方程不存在求 根公式，因此对于高次多项式函数及其 它的一些函数，有必要寻求其零点的近 似解的方法，这是一个在计算数学中十 分重要的课题.冷，nsN国幻%师生双边互师：介绍中 外历史上的 方程求解问 题，从高次 代数方程解 的探索历程 引导学生认 识引入二分 法的意义， 从而引入课题.

7、生：感受到 数学文化方 面的熏陶， 最大限度的 调动学生的 学习兴趣， 提高学习的 积极性和主 动性.信息技术应用Authorwa re7.02 课件展示这节课就让我们来共同学习一下 3.1.2用二分法求方程的近似解想一想我们已经知道，函数/W二h x+2x-6在区间了V 0, 了(3) 0.进一步的问如何找出这个零点？(2, 3)内有零点，且题是，第一步：取区间/ (2.5) 0.084.做一做(2 , 3)的中点2.5，用计算器算得/ (2.5)V0，所以零(2.5 , 3)因为点在区间第二步：取区间(2.5 ,得/ (2.75) 0.512.因为3)的中点2.75，用计算器算/ (2.5

8、)/ (2.75) V 0,所以零点在区间(2.5 , 2.75)内.结论：由于(2，3) W (2.5，3) W2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了 上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小 图)(2.5 ,.如果重复 (见下表和师：一个直 观的想法是： 如果能够将 零点所在的 范围尽量缩 小，那么在 一定精确度 的要求下， 我们可以得 到零点的近 似值.为了方 便，下面我 们通过“取 中点”的方 法逐步缩小 零点所在的 范围.师：引导学 生分析理解 求区间0 , b)的中点的 方法a +iX 二2 .生：用计算器算得/ (2.5) 0.084/ (2.75)0.512师：这 样，在一

9、定 精确度下， 我们可以在 有限次重复 相同步骤 后，将所得 的零点所在 区间内的任 意一点作为几何画板4.06中文版演示计 算结果Authorwa re7.02 课件展示匡a工町； 2】荷tN 5 名銘时(岌 5 2.6fi35j(5?*昭1沥 1 3. 56263化亠備125, Z_W6aTC (2. 5：JI25 *Z 539(師a)r*05040307aii-0.1 -02-心-OJ -心?巧390?&?.53515625一九0Ma.219.06仇0無0.tLOltl . 00 LJCn.s0.価口：06 逍(.a32HD. D16 62SD. 0(178125议一议：你能说出二分法的

10、意义及用二分法求函数/W零点近似值的步骤吗？1.二分法的意义对于在区间d, b上连续不断且满足函数零点的 近似值，特 别地，可以 将区间端点 作为零点的 近似值.例如，当精确度为0.01时，由于12.53906252.531251=0.0078125V0.01，所以，我们可以将J =2.53125作为函数/W = ln +零点的近似 值，也即方 程 lnx+2x-6*0 根的近似值.2J-6师：阐述二Authorwa分法的逼近re7.02 课原理，引导件展示学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函 /（3） 0的函数y=yw，通过不断地把函数 /W的零点所在的 区间一分为二，使区间的两个端点

11、逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisect ion）2.给定精确度F,用二分法求函数零点近似值 的步骤如下：确定区间,切，验证 他 0，给定 精确度f ；求区间，&）的中点血；计算:1若咖 ，则卯就是函数的零点;2若北）.佝） 0，则令i =勾（此时零点兀山切）；3若血）讷 0，则令A =九（此时零点*0 O）；（4）判断是否达到精确度F ;即若I 0 “ 得到零点近似值0 （或b ）;否则重复步骤 2-4 . F,则结论：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解 .思考：为什么由10 釘 f，便可判断零点的近似 值为d（或b）?由于计算量较大，而且是

12、重复相同的步骤，因此, 我们可以借助几何画板Excel4.06中文版软件和 Microsoft 软件来完成计算.我们还是以求函数他 4+2Z的零点为例数近似零点 的具体步骤.师：分析条件“他北）0”、“精确 度f ”、 “区间中 点”及F”的意义.生：结合求函数= +在区间（2,3）内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理.2x-6学生在教师引导下操作师:第一步：打开几何画板4.06中文版软件几何画板4.06中文版F 削 PT*曲 f j_ _JZJM4比iftVi 建* M3r*-*BisanHWHAh第三步：在弹出的对话框中输入lnx+2x-6节jJ團團土巴 BL *1 !-7i 1*11

13、-I亠製戶，1口亠教学内容设计，点击“确疋 .师生双边互信息技术应用t(x)二 * 1 h AT . X t 梵訂 It 左 I皿.厚-s d * S 程 9 X F 圧 H J -却-A = IIIj9i第六步：分 别在单元格A1、B1、C1输入X、3.1J.JL_tU.-i.n.：ifMicrosoft Excel软件精确度，在C2输入0.5，分别在 A2、A3输入2、 2.5 ，选 中这两个单 元格后，按 住鼠标左键 并向下方拖 动“填充 柄”到单元 格内出现填 充值4时为 止，完成自 动填充.师生双边互信息技术教学内容设计节应用* X右ft码 划謂墓2 T七些I啊30摞啊八I r -

14、. 3t tcviir *fc=；m *E *山P黒电尸-i 1 * #*奮期昭TB.；*- 址* (3 W X . 占 谊诃.、i_l；*9. 亟匹空證HL4I-a71陌C. KHin脈Hl l.V9KtlPr：T 乂曲H卵 xwaACcii r :f-I1_； _卜H b八吐di用trd(焦亦1?MmiAOlS教学内容设计生：观察所得函数值，所以零点在区间（2.5，3）内.第九步：重复上述操作：将A1、B1、C1 复 制到A7、B7、C7,把精确度设为0.25，在A8、B9分别输入 2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格 内出现填充值3.25时为止

15、，完成自动填充.复制B2到B8,得到与A8 相应的函数值，然后双击 （或拖动）B8的 “填充柄”，得到与第一列相应的函数值.生：观察所得函数值，所以零点在区间（2.5，2.75）内.师生双边互Microsoft Excel软件信息技术应用IJtrars亘JJ小IJ3?AI1*IMTF3JW?*t (iHjfO-diafD ：W 0星刚Kfl IMW7u UiVllu：0 n MY賢i*：仆 D.IHMH 条 3$MII3*1 a ti kfWLiT. DHJT屈BlIl dU听斛 TBrr n%y *h iOl 34H4HTMtfrSI Wt4W50. DOfTffiiTtD 砒删 1711.

16、6 常MCTM*4- 1WIT?*I小川冷？晅阳此 d *1曲粒I ktl声 D.?H LTIIT 0.C JTMft4-11*nDK骂nAtAHDnA0U5rantrails结论：借助信息技术求方程近似解（函数零点）的步骤如下：1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象,确定函数零点所在的大致区间；2.利用然后用 Microsoft Excel 软件逐步计算解答.第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于0.01为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值.生：观察所得函数值，并 且精确度为0.0078125 0 THENELSE师：输入零点的大致区间和精确度，执行程 序，检验程 序运行结果 的正确性.师：继续激发学生学习数学的热情；感受数学文化方面的熏陶；充分地利用学校资源进行后续学习和交流.Authorwa re7.