三个二次问题

1、提升成绩题型训练一一三个二次问题(二次函数、不等式、方程)1.解关于 x 的不等式：(1) X2-(a + 1)x + a_0 .3 .不等式(m2 2m-3)x2- (m 3)x1 0的解集为 R 求实数 m的取值范围.1 14 .已知二次函数y = X2+ px+ q，当y 0时，有-3 X0.5若不等式 丄X2 +qx + p 0的解集为x| 2 ex 0 )，方程f(x)-x = 0的两个根x1 ,x21满足 0 CX1 X2 V .当(0, X )时，证明 X f(X ) -1 ;(2)如果 xi 0且一2 - 0的解集是x|ax p (0a 1时，解为1 Vxv a,若a 1时,解

2、为av XV 1，若a=1时，解为2(2) = m -16. 0.当m2 -16 ：0即m 4时,方程2x2 +mx + 2 = 0有二实数根:Xim - Jm2 -16m + Jm2 -16 ,X2 原不等式的解集为x|x m+Jm216当m=4时， =0，两根为洛=X2 =-4若m =4,则其根为1,.原不等式的解集为 x|x亡R,且XH-1若m = V,则其根为1 ,原不等式的解集为 x|xR,且XH1.当一4v mC，比较 3k 1, k+1 的大小,因为(3k -1) -(k +1) =2(k -1),(1)当 k 1 时，3k 1 k + 1, A= x|x3k 1 或 xk+1

3、或x3k+1.B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式A =4k2 -4(k2 +k) = -4k ,(1)当 k=0 时，也 0 时，0, X 兰 k-A匚k 或 xk +J.故：当k 0时，由B=R，显然有A匸B ,bk -1 1，于是k1时，AG B.k +1 k +综上所述，k的取值范围是:k0或一1 k 0即一x+ 1 02X X 6 V 0，一2v XV 3.即不等式qx2 + px+ 1 0的解集为 X I- 2 V xv 3.2和4是方程5.解：由不等式的解集为x|2xc4,得1 1X2 +qx + p = 0的两个实数根，且 一 0 (如图) Pp02 +4 =_pq = p

4、0.2 4 =p22解得 p =_275,q =2J2.26.解： f (一1 )= ab+c, f (1 )= a+b+c, f (0 )= c,1 1awI2fsr(f(,cf f(x)=f(1/x2FI 272X2丿+ f(0)(1 X2 ) 当一1 x 0时,X2 +xx2 xX2 +x2X2X+ 1 X2+12x -x+ |f(0j1-X2X2-x2+ (1-X )+1)2+5 暑244f UH f(1 芥X2 +x+ f (1 苏2X -X+ f(0 审】1 -X2112121当 0 x 1 时,X2 +x +22x -x+ 1X2X2 +x2+ (1 X )= -x2 +x +

5、1 (x-1)2 +5 乞52447.证明：由题意可知f(x)-x =a(x-X1)(x X2).0 x 为 CX2 0, / f (x) c x1,综上可知，所给问题获证8.解：(1)条件说明抛物线 得2 ,-,f(x)=x+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(一1, 0)和(1, 2)内，画出示意图,f(0) =2m+1 cO, f(1) =20,* f(1) =4m + 2 c0, f(2) =6 m+ 501m -2 m亡R,1m -65 1一一 m 0,据抛物线与X轴交点落在区间(0, 1)内，列不等式组4, 0,0 -，(这里0 m1 +2或 m 0(1)当mv 0时，二次函数

6、图象与X轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.a0(2)当 m0 时，贝U gm 解得 0V mw 1i0I m综上所述，m的取值范围是m|m0,所以,(m +1)2( m +2)由题意，得 f(0)=r,f(1)= p+q+r当p V 0时，由(1)知f( )0,则 f(0)0,又 f() 0,所以 f(x)=0 在(0,m +1)内有解；m +1若 r w 0,则 f(1)= p+q+r= p+(m+1)=( p)+m +2 m亠厶0,m+2 m又f() 0,所以f(x)=0在(,1)内有解. m +1m +1当p 1300 x2 65x+900 w 0, (x 20)(x 45) w

7、0,解得 20wxw 45当月产量在2045件之间时，月获利不少于 1300元.265 2(2)由(1)知 y= 2X+130X 500= 2(x刁)+1612.5 X为正整数， x=32或33时，y取得最大值为当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612 元,1612 元.215.解：由题意 f(x)-x=ax +(b j)x + c.它的对称轴方程为 x = b -1-2a由方程f(x)x=0的两个根x1,x2满足Ocxj x2丄，可得a0 cxj CC X2 ,且-X1-2aa-2a b-1b-11b-1-X1=X2 一-2a-2aa-2a即-X1,而 X0 =-4a2aX1=x2

8、Xo V .b1-2a16.解：设 g(x) = f(X)-X =ax22 +(b -1)x +1，贝U g(x) =0 的二根为x1 和 x2.g(2)0(1)由 a 0及 xj 2 CX2 4，可得4a +2b-1 CO 16a +4b -3 AOb33+3 - 0, 即；2a 4ab 3-4 一 2 ”+ 0,2a 4a(2)由(X1 -X2)2两式相加得 b -1;2ab-1 2=()2a-4 ,可得a2a + 仁 J(b-1)2 +1 .Xi1X1X2 =a0，所以Xi , X2同号.0(g(0) 02a +1 =J(b-1)2 +1g(-2)0或!g(0) 0怯+1 =血一1)2+

9、117.证明：（错误！未找到引用源。）因为f （0） 0, f （1） 0,所以 c 0,3a +2b+c0.由条件a+b +c=0,消去b，得 a c aO；由条件a+b+c= 0，消去c，得a+ bcO， 2a + b:0.故2c 1.a（错误！未找到引用源。）抛物线f（X） =3ax2+2bx+c的顶点坐标为（一3a3ac-b2)，3ab1在2 V v 1的两边乘以-，得a31b 2-一 0,而 f(3ba)=2,2a +c ac c ；0,3al_l_所以方程f（x）=0在区间（0, -）与（一一,1）内分别有一实根。3a3a故方程f（x） =0在（0,1）内有两个实根.18.解析：解

10、本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与 点（方程）的有关知识，即兀轴交点个数）及函数零（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与 X轴交点个数，立即可得：ano& 0疋0O（2）由方程2aI OB 1= -G I。卫 1=1 OB I结论19.解析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与X轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两A 0吗+再0 = 7桝9威桝2亍心乃 0fA0K + Xq 0n於1、，矿花 0+兀22=桝2壬（3）（阳-1）9厂2）0A0= wfl 27（可-2）（乜-2） 0二7朋9 或 25叨2了码+兀2 0兀1 * X 0（孟1 - 2）（花-2） 0h20.解析：在乳轴上方或下方的充要条件即可。证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在兀轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒即由nB八2Ek-Q恒成立O对应抛物线恒在忑轴下方pt-201O Ue-4(3k-2)(k- 1) Q =疋 0恒成立O对应抛物线恒在兀轴上方- 012因此，当为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证。21.解析：求的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值的问题。即IA 0圧+ 2m = -罷炉 /?= 4梆-6n =(金一 1)2 +1) =