立体几何解题方法技巧-(1)

1、专题六立体几何解题方法技巧一、容提要：立体几何需要我们去解决的问题槪括起来就是三个方而，证明位置关系、求距离和求 角：具体容见下表：立 体 几 何提 要主要容重点容位关0系两条异而直线相互垂直、直线与平而平行、直 线与平面斜交、直线与平而垂直、两个平面斜交、 两个平而相互垂直两条异而直线相互垂直、直线 与平而平行、直线与平面垂 直、两个平面相互垂直距肉两条异而直线的距离、点到平而的距离、直线到 平而的距离、两个平而的距离两条异而直线的距离、点到平 而的距离角 度两条异而宜线所成的角、直线和平而所成的角、 二而角两条异而直线所成的角、直线 和平面所成的角、二面角二、主要解题方法：（一）位置关系1

2、、两条异而直线相互垂直证明方法：证明两条异而直线所成角为90。： 证明两条异面直线的方向量相互垂直2、直线和平而相互平行证明方法：证明直线和这个平而的一条直线相互平行：证明这条宜线的方向量和这个平而的一个向量相互平行：证明这条宜线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。3、直线和平而垂直证明方法：证明直线和平面两条相交直线都垂直，证明宜线的方向量与这个平而不共线的两个向量都垂直：正明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。4、平而和平而相互垂直证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为90。；证明一个平而的一条宜线垂直于另外一个平而；正明两个平而的法向量相互垂直。（二）求距离求距离的重点在点到平

3、而的距藹，直线到平而的距离和两个平而的距离可以转化成点到 平面的距离，一个点到平而的距离也可以转化成另外一个点到这个平而的距离。1、两条异面直线的距离求法：如果知道两条。异而直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，线段长度的 求法也可以用向量来帮助解决，求线段AB的长度，可以利用AB2 =（ + MN + NB）2来帮助解决.但是前提条件是我们要知道石玩顾，丽的模和每两个向量所成的角。利用公式=I ABn II n I（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，n为这两条异面直线的法向蚩:）2、点到平面的距离求法：“一找二证三求”，三步都必须要淸楚地写出来。等体积法。向咼法，利用公_ I AB

4、n I一式d =-（其中A为已知点，B为这个平而的任意一点，n这个平而的法向量）I n I（三）求角1、两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异而直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异而直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异而直线所成角得帀是（0,-1，向量所成的角用是0,兀,如果求出的是钝角，要注意 2转化成相应的锐角。2、直线和平而所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要淸楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平而的法向量所成的角那么所要求的角为-a或兰2 23、平而与平面所成的角求法：“一找二证三求”，找出这个二而角的平而角，然后再来证

5、明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平而角，最后就通过解三角形来求。通过射影而积来求scosa = -（在其中一个平而找岀一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平而的射 、原影，那么这个三角形的射影而积与原三角形而积之比即为cos ,注意到我们要求的角为a 或n-a ）： 向量法，先求两个平而的法向量所成的角为 ,那么这两个平而所成的二而 角的平而角为或刃一 a。我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容 易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不 好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，

6、就用传统的 方法了！三、注意的问题：1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候， 传统的解法我们也要能够运用自如。2、我们如果是通过解三.角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中 一泄要岀现这样一句话，“Za是我们所要求的角”、“线段AB的长度就是我们所要 求的距离”等等。让人看起来一目了然。3、用向量来求两条异而直线所成角时，若求出cos =x,则这两条异面宜线所成的角为 = arrccos x4、在求直线与平而所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方 向咼所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要或Q-兰.若求出的角

7、为锐角，2 2就用-a,若求出的钝角，就用cr-02 25、求平而与平面所成角的时，若用第、种方法，先要去判断这个二面角的平而角是钝角还是锐 角，然后再根据我们所作岀的判断去取舍。【专题训练】1、已知三棱锥PABC中PB丄底而ABC, ZBG4 = 90,PB=BC=CA=5, E 是 PC 的中点，点 F 在 PA 上，且 3PF二FA.（1）求证:平面PAC丄PBC：（2）求平而BEF与底而ABC所成角（用一个反三角函数值表示）2、如图，四棱锥P-ABCD的底而是正方形,PA丄底面ABCD. PA二AD二2,点M、N分别在棱PD、PPC上，且PC丄平而AMN.（1）求证:AM丄PD：（2）

8、求二而角PAMN的大小；（3）求直线CD与平而AMN所成角的大小.3、如图，平而ABCD丄平面ABEF, ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF = -AD = a,G是 2EF的中点，（1）求证平而AGC丄平而BGC；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值.（3）求二而角BACG的大小.4、如图，在正方体ABCD-ABlCiDl中，E是棱已卩的中点，H为平而EDB一点，HC = 2m, 一 2m，一? （m 0）。（1）证明HC丄平而EDB;（2）求与平而03所成的角：（3）若正方体的棱长为求三棱锥A_EDB的体积。1、证明（l）： TPE丄底面.XBC, -.PB丄AC,又ZBCA=90

9、AC丄平面PBC又ACU平面PAC, J.平面PAC丄平面PBC解：设FE的延长线2 AC的延长线交于1,连MB,则NIB为平面BEF与平面ABC：的交线 在平面PCA中，由已知E是PC的中点，F是PA的四等分点, .人2=丄 AC-a7?取BC的中点H,则EH PB,EH丄底面ABC过H作E0丄田于0,由三垂线定理，E0丄MB则ZE0H为平面BEF与底面ABC所成二而角的平面角在豳CM中，吩存，在辭加中,吩卜EHtan乙EOH = =V5HO即平面BEF与底面ABC所成二而角的大小为arctan 5若利用面积射影法，指出AHDB是AEFB在底而ABC上的射影，并讣算出其而积1a167分计算出

10、 S、efb = Ta16cos池耳S 卓 FB yj 6即平而BEF与底面ABC所成二而角的大小为arccos 62、（1）证明：VABCD是正方形，CD丄AD, TPA丄底而ABCD,皆人丄CD.CD丄平而PADTAMu 平而 PAD, CD丄AM.PC丄平而 AMN, （：丄AM.AM丄平而PCD.AM 丄 PD（2）解：TAM丄平而PCD （已证） AM丄PM, AM丄NM.ZPMN为二而角P-AM-N的平而角. TPN丄平而AMN, “丄NM 在直角 APCD 中，CD二2, PD=2 2 , :.PC=2yf3 .VPA=AD, AM丄PD, 为 PD 的中点.PM二丄PD二运 2

11、由 RtAPMNRtAPCD.得 A W,CD 1PC. cos（ZPMN） = 二 Z.PMN = arccos-PM PC 2*33即二而角PAMN的大小为arccos 3（3）解：延长NXI, CD交于点E.PC丄平面AMN, AXE为CZ在平面AMX內的射影/.ZCEN为CD （即CB丄AB而ABCD丄而ABEF且交于AB,CB丄而 ABEFTAG, GBu 而 ABEF,.CB丄AG, CB丄BG又AD二2a, AF= k, ABEF是矩形，G是EF的中点,AG二BG二AB二2&, ABAG+BG2, AG丄BG VCGnBGB AG丄平而 CBG 而 AGu 而AGC,故平而AGC丄平面BGC（2）解：如图，由（【）知而AGC丄而BGC,且交于GC,在平而BGC作BH丄GC,垂足为 H,则BH丄平而AGC, ZBGH是GB与平而AGC所成的角.RfCBG中吩譬.sin ZBGH = = 2ilBG 3（3）由（II ）知，BH丄而 AGC作BO丄AC,垂足为0,连结HO,则HO丄AC, Z3OH为二而角B-ACG的平而角在 RtABC 中,30 =I3在RtABOH中，sin乙boh =丝=逓803即二而角BACG的大小为arcsi