证明角相等的方法

1、证明两角相等的方法 初三数学备课组【重点解读】证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；（4）凡直角都相等；（5）角的平分线分得的两个角相等.2、三角形（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻

2、的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；（5）相似三角形的对应角相等.3、四边形（1）平行四边形的对角相等；（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等.4、圆（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.（5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.（6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它

3、的中心角.（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等.6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】（一） 利用全等相关知识证明角相等例1 已知：如图，于点，于点，与交于点，且 求证：平分分析：要证平分，因为于点，于点，所以只要证明OD=OE；若能证明若能证OBDOCE即可，因为可证ODB=OEC=90,BOD=COE，而BD=CE，故问题得到解决证明：于点，于点ODB=OEC=90在OBD和OCE中ODB=OECBOD=COEBD=CEOBDOCEOD=OE于点，于点平分说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆

4、定理例2 如图，在梯形ABCD中，ADBC，E是梯形内一点，EDAD，BE=DC，ECB=45 o求证：EBCEDC分析：要证明EBCEDC，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果能构造出两个全等的三角形即可。延长DE与BC交于点于点F， 这样就很容易证BEFDCF，从而问题得到解决。证明：延长DE与BC交于点于点FADBC，EDAD DFBCBFE=DFC=90ECB=45 oECB=CEB=45 o CF=EF在RtBEF和RtDCF中EF=CF ，BE=DCRtBEFRtDCFEBCEDC说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等例3 如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，

5、CDBA，四边形AEBC是平行四边形求证：ABDABE分析：要证ABDABE，若能证ABDABE即可因为可证BEACBD，AEBCAD，而AB为公共边，故问题得到解决证明：四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD四边形AEBC是平行四边形，BCAE，ACBEADAE，BDBE又ABAB，ABDABEABDABE说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系例4已知：ABC中，A

6、D是高，CE是中线，DC=BE，DGCE，G是垂足， 求证：G是CE的中点；B=2BCE. 分析：已知中多垂直和中线条件，可联想直角三角形斜边上的中线性质；要证明G是CE的中点，结合已知条件DGCE，符合等腰三角形三线合一中的两个条件，故连结DE，证明DCE是等腰三角形，由DGCE，可得G是CE的中点.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE，B转化为EDB.证明：连结DE，ADB=90，E是AB的中点，DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），又DC=BE，DC=DE，又DGCE，G是CE中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.DE=DC，DCE=DEC（等边对等角）

7、，EDB=DEC+DCE=2BCE（三角形的外角等于两不相邻内角的和），又DE=BE，B=EDB，B=2BCE直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例5 如图，直线，连结，直线及线段把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点落在某个部分时，连结，构成，三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）（1）当动点落在第部分时，求证：；（2）当动点落在第部分时，是否成立

8、（直接回答成立或不成立）？（3）当动点在第部分时，全面探究，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明分析：本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性质图1（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E ACBD , PEA = PBD . APB = PAE + PEA , APB = PAC + PBD . 图2解法二：如图2过点P作FPAC , PAC = APF . ACBD , FPBD . FPB =PBD . 图3 APB =APF +FPB =PAC + PBD .解法三：如图3， ACBD , CAB +ABD = 180 即 PAC +PAB

9、 +PBA +PBD = 180. 又APB +PBA +PAB = 180, APB =PAC +PBD . （2）不成立. 图4（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是PBD=PAC+APB .(b)当动点P在射线BA上，结论是PBD =PAC +APB .或PAC =PBD +APB 或 APB = 0，PAC =PBD（任写一个即可）.(c) 当动点P在射线BA的左侧时，图5结论是PAC =APB +PBD . 选择(a) 证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M ACBD , PMC =PBD .又PMC =PAM +APM , PBD =PAC +APB . 选择(b) 证

10、明：如图5 图6 点P在射线BA上，APB = 0. ACBD , PBD =PAC . PBD =PAC +APB 或PAC =PBD+APB 或APB = 0，PAC =PBD. 选择(c) 证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F ACBD , PFA =PBD . PAC =APF +PFA , PAC =APB +PBD总结：这类题主要考查平行线的性质，三角形的内角和，外角性质及其应用，在求解角的度数时，一般运用三角形的角及外角的关系，把所求的角集中在同一个三角形中，然后利用内角和求角度，在证明角之间的关系时，常考虑利用三角形的内角和定理和外角性质，若题中没有三角形，常通过作辅助线

11、构造三角形。（三）利用四边形的相关知识证明角的有关问题例6 已知：如图，在ABC中，ABAC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使，连结FC求证：FA分析：要证明FA，由图知只要证明四边形AEFC是平行四边形即可。证明：AB=ACABC=ACBEB=EDEBD=EDB EDB=ACB EFACE是AB的中点 AE=EB DFDE，EB=ED AE=EB= DFDEAE+EB= DF+DE即AB=EFAB=ACEF=AC又EFAC四边形AEFC是平行四边形FA说明：本例的证明用到了等腰三角形的两底角相等，平行四边形的对角相等。（四）利用圆的相

12、关知识例7如图，已知BC是直径，ADBC.求证：（1）EAF=AFE （2）BE=AE=EF分析：由BC是直径，得到BAC是直角，再利用， 得到ABE=BAE；再证EAF=FAE。证明：（1）BC是直径BAC=90 oABE+EFA=90 o ，BAE+EAF=90 oABE=BAEEAF=AFE （2）略说明：本例的证明用到了等弧所对的圆周角相等，等角的余角相等例8 已知：如图，AD为锐角ABC外接圆的直径，AEBC于E，交O于F。 求证：1=2分析：1和2分别是和所对的两个圆周角，故只需证=，但不易证明，由于2+C=90 o ，联想到把1放到直角三角形中，连结BD，可得ABD=90 o，从

13、而问题得证。证明：连结BDAD为直径ABD=90 o1+D=90 oAEBC于E2+C=90 oC=D1=2总结：此题关键是见直径构造90 o的圆周角例9已知：如图，AB为O的直径，AC为弦，CDAB于D，若AEAC，BE交O于点F，连结EF、DE求证：（1）AE2ADAB；（2）ACFAED分析：（1）因为AE=AC，要证AE2ADAB，实际上证AC2ADAB，可转化成比例式，放入三角形中用相似三角形来证明。（2）欲证ACFAED，又知ACFABE，则只需证AED=ABE，由（1）得ADEAEB，对应角相等得证证明：（1）连结BCAB是O的直径，ACB90又CDAB于D，ADC90而CABD

14、AC，CABDAC，AC2ADAB又AEAC，AE2ADAB（2）由（1），AE2ADAB，在AED和ABE中，EABDAE，EABDAEABEAED而ABEACF，ACFAED总结：圆周角定理可提供等角、直角等结论，进而可用于相似三角形判定，从而可得比例式，求线段长等结论，解决此类问题是灵活选用圆周角定理和相似等内容，并适时添加辅助线。（五）利用三角函数求两角之间的关系例10 已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y= x+5经过D、M两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM、AC

15、、BC，试比较MAB和ACB的大小，并说明你的理由.解：（1）CDx轴且点C（0，3），设点D的坐标为(x，3) 直线y= x+5经过D点，3= x+5x=2即点D(2，3) 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（1，y），又直线y= x+5经过M点，y =1+5，y =4即M（1，4）设抛物线的解析式为点C（0，3）在抛物线上，a=1即抛物线的解析式为 （2）作BPAC于点P，MNAB于点N由（1）中抛物线可得点A（3，0），B（1，0），AB=4，AO=CO=3，AC=PAB45ABP=45，PA=PB=PC=ACPA=在RtBPC中，tanBCP=2在RtANM中，M（-1，4），MN=

16、4AN=2tanNAM=2BCPNAM即ACBMAB 说明：本例第二问判断ACB和MAB的大小关系是通过构造直角三角形，通过计算这两个角的三角函数值来解决问题的。在解决这类问题时如果不能用全等等方法来寻找思路时，不妨从直角三角形入手，分别计算所求角的三角函数值，从而使问题得到解决.同时还要注意通过一些特殊的点，可能构成特殊的三角形。【智能巧练】如图，ABC中，B的平分线与ACB的外角平分线相交于点D，则D与A的比是_ .已知，如图，在ABC中，AC2=AD AB。求证：ACD=ABC。 如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE=CF求证：E=F；BE

17、=DF 如图，ABC中，高BD、CE交于点F，且CG=AB，BF=AC，连接AF， 求证：AGAF 第4题 第5题 RtABC中，A=90，AB=AC，D为BC上任意一点，DFAB，DEAC，垂足分别为F、E，M为BC中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并说明之.6已知：如图，AD是ABC外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D. 延长DA交ABC的外接圆于点F. 求证：FBC=FCB；若，求FB的长.BCDEAF 第7题 第8题7梯形ABCD中AB/CD，对角线AC、BD垂直相交于H，M是AD上的点，MH所在直线交BC于N. 在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论组成一

18、个正确的命题，并证明这个命题. AD=BC MNBC AM=DM8如图，已知直线AB过圆心O，交O于A、B，直线AF交O于F（不与B重合），直线l交O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD求证：BADCAG；ACADAEAF在问题中，直线l向下平行移动，与O相切，其他条件不变请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；问题中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由BOA图（2）图(1)BOAFDCGEl9如图，O的内接ABC的外角ACE的平分线交O于点D，DFAC，垂足为F，DEBC，垂足为E，给出下列4个结论：CE=CF；ACB=EDF；DE是O

19、的切线；=；其中一定成立的是（ ）A. B. C. D . 10已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别与EF的延长线交于H、G.求证：BHE=CGE11已知：AB是O的直径，弦CDAB于M，点E是上一动点. 如图1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，连结AD、CE，求证：CED=ADE =NFNE 如图2，若DE与AC的延长线交于F，且DE=AC，那么=NFNE的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由. 图1 图2【答案点击】 12； 证明ACDABC； 证明ABECDF，或连结ED、FB，证明平行四边形EBFD； 证

20、明CAGBFA，G=BAF，G+GAE=90，BAF+GAE=90，AGAF； MEF是等腰Rt，连结AM，证AMEBMF 6、DAC=FBC，EAD=FAB=FCB，DAC =EAD，FBC=FCB 证明FBAFDB，得FB=6 7、题设 结论 证明略8、略，连结DF，可证得ACEAFD，结论仍成立.9、分析 可证得CDFCDE，得CE=CF成立；ACB和EDF（无直接关系，找相关的角）：ACB与ACE邻角互补，EDF也和ACE互补(四边形的内角和360)，同角的补角相等，即ACB=EDF；所对的圆周角为DCA，所对的圆周角为DAB，DAB=DCE（四边形的外角等于不相邻的内角），又DCA=

21、DCE ，DCA=DCE，=，故选D. 一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题.10、提示:连结BD，取BD的中点M，连结FM、EM.只需证FM=EM，即可证得BHE=CGE.11、证明：DE=AC，CED=ADE连结CNCN=DN， NCF=ADE（圆的轴对称性质）CED=ADE，CNF=ENCNCENFC，=NFNE【自主检测】1已知如左图，在ABC中, BAC=90， AB=AC,M为AC的中点，ADBM。求证:AMB=DMC 2. 如右图在ABC中，EFAB，CDAB，G