2019年届步步高大一轮复习讲义常考题型强化练——数列.doc

1、常考题型强化练数列A组专项基础训练（时间：35分钟，满分：57分）、选择题（每小题5分，共20分）1.设等差数列 an前n项和为Sn,若a1 = 11, a4+ a6= 6，则当Sn取最小值时，n等于C. 8A . 6答案 A解析 设该数列的公差为 d,则 a4 + a6= 2ai + 8d= 2x ( 11)+ 8d= 6,解得 d= 2, Sn= 11 n+ “ ； 1 x 2 = n2 12n= (n 6)2 36,当n= 6时，取最小值.2.已知an为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2 a3= 2a1,且a4与2a7的等差中项为则S5等于3.4.A . 35答案 C解析 设数列an的

2、公比为q,则由等比数列的性质知, a2 a3= a1 a4= 2a1，即卩 a4 = 2.55由a4与2a7的等差中项为4知，a4 + 2a?= 2x 4,51- a7=二2x 4-4.113 18 即卩 q= 2 二 a4= a1q = a1 x= 2,16 I1 - j5 )-a1 = 16, - - S5= 31.11 22q3=釜B . 33C. 3129数列an的前n项和为Sn,若a1= 1 , an+ 1= 3Sn(n 1)，则A . 3X 4B . 3X 4 + 1C . 43D . 43+ 1答案 A解析 由 an+ 1 = 3Sn? Sn+ 1 Sn = 3Sn? Sn+ 1

3、 = 4Sn,二数列Sn是首项为1,公比为4的等比数列， Sn= 41, a6= S3 S5= 4 4 = 3 x 4.a6等于已知等差数列an的公差d = 2, a1+ a4 + a7+ a97 = 50,那么的值是a3+ a6+ a?+ a?9A . 78B . 82C. 148D. 182答案 B解析 T a3+ a6 + a9+ a99=(ai + 2d)+ (a4 + 2d) + + 2d) + + 97+ 2d)=ai + a4 + a7 + + a97 + 2d x 33=50 + 66x (- 2) = 82.:、填空题(每小题5分，共15分)5. (2011广东)等差数列an

4、前9项的和等于前4项的和.若ai = 1, ak + a4 = 0,则k=.答案 10解析 设等差数列an的前n项和为Sn,则S9 S4= 0,即 a5 + a6 + a7+ a8+ a9= 0,5a7= 0, 故 a7= 0.而 ak + a4 = 0,故 k= 10.6. 已知数列an的前n项和为Sn,且Sn= 2n an,则数列 an的通项公式an=. 答案2 1 n-1解析 由于Sn = 2n an，所以Sn+ 1 = 2(n + 1) an+1,后式减去前式，得Sri+ 1 Sn= 2 1 1an+1 + an，即卩 an+1 = gan+ 1，变形为 an + 1 2= (an 2

5、)，则数列an 2是以 a1 2 为首1项，为公比的等比数列.又a1 = 2 a1,即卩a1= 1.则 a* 2= ( 1)Q / 1,所以 an= 2 -1.7已知等比数列an中，各项都是正数，且a1,a3,2a2成等差数列，则叟4字的值为.2a7+ a8答案3+ 2 2解析 设等比数列an的公比为q,1t a1, ?a3,2a2成等差数列，二 a3= a1 + 2a2.a1q2= a1+ 2a1q. a q2 2q 1 = 0. q = 1 2.各项都是正数， q0. q = 1 + . 2.a9+ a1022=q2= (1 + 2)2= 3+ 2 2.a7 + a8三、解答题洪22分）&

6、 （10分）已知等差数列an的前n项和为Sn, n N , a3= 5, S10 = 100.（1）求数列 an的通项公式;设bn= 2an+ 2n,求数列bn的前n项和Tn. 解 设等差数列an的公差为d,a1 = 1,解得d= 2,a1 + 2d = 5,由题意，得10x 9伽 + d= 100,所以 an= 2n 1.1因为 bn= 2an+ 2n= ?x 4 + 2n, 所以 Tn= b1+ b2+ + bn1=3(4 + 42+ + 4n)+ 2(1 + 2+ + n)14n+ 1-4622 n 22+ n + n= 3x 4 + n + n 3.9. （12分）已知数列an的前n项

7、和为Sn,且满足:1 1断与an是否为等差数列，并说明你的理由.解因为 an= Sn Sn 1（n2）, 又因为 an+ 2SnSn 1 = 0 ,an+ 2SnSn-1 = 0(n2, n N), a1 = ，判所以 Sn Sn 1 + 2SnSn 1 = 0(n2),1 1所以= 2（n2），又因为$ Sn-1S1= a1 = 2,2为公差的等差数列.11所以 3= 2+ (n 1) x2= 2n,故 Sn=Sn2n11 I所以当 n2 时，an= Sn Sn- 1 = =2n 2(n 1)2n(n 1)一 1所以an+ 1 =2n n+ 1an+1 an1C 12n0+ 12n n+ 1

8、 2n n 11丄.1=n- 1 n n 1 n+ 1所以当n2时，an+1 an的值不是一个与n无关的常数, 综上，可知 是等差数列，an不是等差数列.故数列an不是一个等差数列.B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）、选择题（每小题5分，共15分）1.已知数列an是首项为a1 = 4的等比数列，且 4a1, a5, 2a3成等差数列，则其公比q等于A . 1B. 1C . 1 或1D. . 2答案C解析依题意，有 2a5= 4a1 2a3, 即卩 2a1q4 = 4a1 2a1q?,整理得4 2 2 2q + q 2= 0，解得 q = 1(q = 2 舍去),所以q= 1或q

9、= 1.(2X 1,2.已知函数f(x)=fx 1 + 1,XW 0,x0,把函数g（x）= f（x） X的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为a =an=2，C. an= n 1, n NB . an= n(n 1), n ND. an= 2n 2, n N答案 C解析 当xw 0时，g(x)= f(x) x= 2x-1 - x是减函数，只有一个零点 ai= 0;当 x0 时，若 x= n, n N ,贝U f(n)= f(n 1) + 1 = = f(0) + n= n;若x不是整数，则 f(x)= f(x 1)+ 1 =f(x x 1) + x + 1 ,其中x代表x

10、的整数部分，由 f(x)= x得 f(x x 1)= x x 1 ,其中1x x 10，在(1,0)没有这样的x. g(x) = f(x) x的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,，通项an= n 1,故选C.3. 在直角坐标系中，o是坐标原点，P1(X1, y1), P2(x2, y2)是第一象限的两个点，若1, X1,X2,4依次成等差数列，而1, y1, y2,8依次成等比数列，则OP1P2的面积是()A . 1B . 2C. 3D . 4答案 A解析由等差、等比数列的性质，可求得 X1= 2, x2 = 3, y1= 2, y2= 4,- P1(2,2), P2(3,4). OP1P

11、2= 1.:、填空题(每小题5分，共15分)1 + 2a2,n为偶数，4. 已知数列an满足：a1= 1, an=1 n 1.1+ 2a,n 为奇数，n= 2,3,4，设bn= a2n-1+ 1, n= 1,2,3，则数列bn的通项公式是 .答案bn= 2n解析由题意，得对于任意的正整数n, bn= a2n-1+ 1,bn+ 1 = a2n+ 1 ,口2又 a2n+1 = (2a 2 + 1) + 1 = 2(a2n1 + 1) = 2bn, bn+1 = 2bn，又 b1 = a1 + 1 = 2,- bn是首项为2，公比为2的等比数列， bn = 2n.5. 设数列an满足a1+ 2a2=

12、 3,点Pn(n, an)对任意的n N，都有PnPn +1= (1,2)，则数列 an的前n项和Sn=.4答案 n(n 3)解析 PnPn + 1 = OPn+ 1 OPn = (n + 1 ,an + 1)(n ,an) =(1 ,an +1 an) =(1,2) ,- an+ 1an= 2- an是公差为2的等差数列.1由 a1 + 2a2= 3,得 a=；,n 14Sn= 3+ 尹(n 1)X 2= n(n 3).1 16.若数列an满足an+1an水1=d（n N , d为常数），则称数列an为调和数列，已知数列“一 Xn为调和数列且 Xi+ X2+ X20 = 200,则X5+ X

13、16 =答案 201解析 由题意知，若an为调和数列，则 -为等差数列,。亦为调和数列，可得数列Xn为等差数列，由等差数列的性质知，X5 + X16= X1 + X20= X2 + Xp = X10+ X11 =器=20.三、解答题、 、 1 17. （13分）已知数列an的前n项和Sn与通项an满足Sn = _an.(1)求数列 an的通项公式；1 1 1 、设 f(X)= lOg3X, bn= f(a”+ f(a2)+ + f(an), Tn= + b + + 氤，求 T2 012 ；若Cn= an (an)，求Cn的前n项和Un.1解 (1)当 n = 1 时，a1= 1,31 1当 nA 2 时，an= Sn Sn 1,又 Sn= ?n?1所以 an = an 1 ,1 1即数列an是首项为3，公比为3的等比数列, 故 an= i）.由已知可得f(an) = log 3 3 = 一 n,n n +12 ，贝V bn= 1 2 一 3 一n = 丄C n+ 1 又