2019届高考高三理数一轮复习同步单元过关检测(2)含解析最新

1、单元过关检测(二)(第二章)(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中，奇函数的个 数是( )A.4B.3C.2D.1【解析】选C.只有y=x3,y=2sin x是奇函数.2. (2018 福州模拟)函数f(x)=2x-sin x 的零点个数为 ()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.显然f(x)的一个零点是0,而f (x)=2 -cos x0,即f(x) 在R上单调递增，因此函数f(x)只有一个零点.)2X -3. (2018

2、 南宁模拟)函数f(x)= +I n(1-x)的定义域是( )A.-1,2)B.(-2,1)C.(-2,1D.-2,1)x 12X - - 0,4【解析】选D.由题意得，I 1 一 x Q ? -2 x1,故函数f(x)的定 义域为-2,1).【变式备选】C.Slog1 (4% - 3)函数y=的定义域为(【解析】91选C.由题意得:lo ： (4x-3)304x-3 1? I x 1.D.C?)/ 3X+ l(x 0,【变式备选】(2018 济南模拟)已知f(x)=(尤)， *则f(2 016)=( )A.-1B.0C.1D.2【解析】 选 D.f(2 016)=f(1)=f(1-5)=f(

3、-4)=log24=2.5. (2018 秦皇岛模拟)已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f (x)的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)11【解析】选B.由题可知g(x)=ln x，因为g(1)=-10,所以g(x)的零点所在的区间是(1,2).1【变式备选】(2018 太原模拟)函数f(x)= v-6+2x的零点一定位于区间()A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(5,6)31【解析】选 B.f(1)=-30,f(2)=-?0.6. 曲线f(x)=x 3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐 标为( )A

4、.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)【解析】选 C.f (x)=3x 2-1,令 f (x)=2,即 3x2-1=2? x=1 或-1,所以P(1,3)或(-1,3),经检验，点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上.f(a - 2)x + 3(x 1)7. (2018 锦州模拟)已知函数 f(x)= I在(-乂，+ 乂)上是减函数，则a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1C.(0,2)D.(0,2【解析】选B.因为f(x)为(-乂，+上的减函数，所以f a - 2 0,”2a(a - 2) x 1 + 3 、卜1解得0a 1.8. (201

5、8 保定模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数，则()A.f(2)vf(5)vf(8)B.f(5)vf(8)vf(2)C.f(5)vf(2)vf(8)D.f(8)vf(2)vf(5)【解题导引】由函数为奇函数及f(x-4)=-f(x)确定函数的周期，再利用函数在区间0,2上是增函数求解.【解析】选B.因为f(x-4)=-f(x),所以 f(x+8)=f(x),所以函数f(x)是周期函数，且周期为8,所以 f(8)=f(0),f(5)=-f(1)=f(-1),因为奇函数f(x)在区间0,2上是增函数，所以函数f(x)在区间-2,2上是增函数，又-2

6、-102,所以 f(5)f(8)bcB.acbC.bcaD.cba【解析】选 D.因为 f(x-1)=f(x+1), 所以 T=2,a=f(3)=f(-1),b=f(v2)=fO2-2),c=f(2)=f(0),因为-1v匚-2ba.【变式备选】0已知f(x)是奇函数，当x0时,f(x)=lgx,设a=f(3),b=f c=f(-2),则A.acbB.abcC.cabD.bac【解析】选A.因为f(x)是奇函数，当x0时,f(x)=lg x,/1所以a=f(3)=lg 3, 因为 Ig 3-lg 2-lg 4,b=f =-lg 4,c=f(-2)=-f(2)=-lg 2, 所以acb.Inx

7、+ (x - b)210.已知函数f(x)=(b R),若存在rlxbI,使得f(x)-x f (x),贝y实数b的取值范围是()oo 1” 2A.(- 乂, 2)着B.D.(- 乂 ,3)【解析】选C.由题意,得f (x)C.1 + 2x(x - b) - Inx - (x - b)2x2Inx + (x - b)2则 f(x)+xf (x)=1 + 2x(x - b) - Inx - (x - ft)2 1 + 2x(x - b).若存在 x P ,使得 f(x)-x f(x),贝卩 1+2x(x-b)0,所以 bx+2%.设1 力-11 v2g(x)二x+,贝卩 g (x)=1-二 =,

8、当x 时,g (x)0;V2当2 x 0,所以g(x)在P 2上单调递减，在 2上单调递增，所以当x=2时，函数g(x)取最大值，最大值为g(2)=2+ J J ,所以 b0)，则yi二丫 ,m当 x=10 时,yi=M)=2,所以 m=20;因为每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，令正比例系数为n(n0),则y2=nx,4当 x=10 时,y 2=10n=8,所以 n=所以两项费用之和：20 4%【20 4x_:y=yi+y2= + 2 3 =8(万元).20 4%当且仅当Y二E ,即x=5时，取等号.所以仓库应建在离车站5千米处，可使这两项费用之和最小，为8万12. 已知函数f

9、(x)是定义在 R上的偶函数，且对任意的x R,都有 f(x+2)=f(x). 当 0w x 1 时,f(x)=x 2.若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的 图象在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是 ()1A.0B.0 或1 1 1C.-J或PD.0或【解析】选D.因为f(x+2)=f(x),所以T=2.又0wx 1时,f(x)=x,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图. 2显然a=0时,y=x与y=x在0,2内恰有两不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0 x a,彳 2f(x)=(% + 5尤+乙尤壬比函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点则实数a的取

10、值范围是()A.-1,1)B.0,2C.-2,2)D.-1,2)r 2 - xf x a,” 2【解析】选D.由题意知g(x)= I无+乙尤 a,因为g(x)恰有三个不同的零点，所以2-x=0,当xa时，有一个解，由x=2得a2.由 x2+3x+2=0得x=-1或x=-2,由x-1.综上，实数a的取值范围 为-1,2).【一题多解】本题还可以采用以下方法选D.已知利用排除法，在同一平面直角坐标系内作出函数y=x+2,y=x2+5x+2的图象和直线y=2x,如图所示.由图可知，当a-1时,直线y=2x与y=x2+5x+2的图象在(-% ,a上有两个交点，由于函数g(x)=f(x)-2x 恰有三个

11、不同的零点，即函数y=f(x)的图象与直线y=2x恰有三个交 点,故-1 a1),贝卩 a 的值是.i(-i)2. 2【解析】1dx=(x +ln x) 1 =a +ln a-1=3+ln 2,得(a2 -1 = 3,所以a=2.答案：216. (2018 黄冈模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x 0时，f(x)二e x-ax,若函数f(x)在R上有且仅有4个零点，则a的取值范 围是.【解题指南】根据函数在R上为偶函数，结合函数的图象，讨论x0时 的情形即可.【解析】函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以研究函数零点的个数 只考虑x0的情况，作出函数y=ex,y=ax图象，当两函数

12、有两交点时， 满足题意,即求出过原点与函数y=ex相切的直线斜率，y =ex,设切点0 y0坐标为(xc/ )，- =? xo=1,切线的斜率为k=e,故当ae时有四个零占I八、答案：(e,+ X)【变式备选】函数f(x)=log 2(x+2)-x 2的零点个数为个.【解析】令f(x)=0得log 2(x+2)=x 2,画出这两个函数如图所示，由图可知,零点为2个.答案：2【方法技巧】对于函数与方程，常考:1.结合二次函数的图象，判断一 元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.函数 零点的求法:(代数法)求方程f(x)=

13、0的实数根;(几何法)对于不 能用求根公式的方程，可以将它与函数f(x)的图象联系起来，并利用 函数的性质找出零点.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤)b - 2X17. (10分)已知定义域为R的函数f(x)二丄亠口是奇函数，其中a,b 为实数.(1) 求a,b的值.(2) 用定义证明f(x)在R上是减函数.【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0,可得b=1.又 f(-1)=-f(1),1 _ 2_1 ! - 2所以“=- + ,解得 a=1.1 - 2X当a=1且b=1时,f(x)二一 1 ,经检验, 满足f(x)是R

14、上的奇函数.1 - 2X 2由(1)得 f(x)=丄亠 1 =-1 + ；* 1,任取实数 X1,X 2,且X1VX2,2 2则 f(x 1 )-f(x 2)=二L -丄 _ 2(2 2 - 2 L)=(2叫 + 1) (2勺 + 1).尤心弓因为 X10,所以 f(x 1)-f(x 2)0,即 f(x 1)f(x 2),所以函数f(x)在R上为减函数.18. (12分)(2018 青岛模拟)已知函数f(x)=ax 2+bx+4ln x的极值点为1和2.(1) 求实数a,b的值.求函数f(x)在区间(0,3上的最大值.4 2ax2 + bx + 4【解析】(1)f (x)=2ax+b+ J丄,

15、x (0,+),由y=f(x)的极值点为1和2,所以2ax2+bx+4=0的两根为1和2,(2a + b + 4 = 0,( a = lf所以8a + 2b + 4 = 0,解得 = - 6.(2) 由(1)得 f(x)=x 2-6x+4ln x,4所以 f (x)=2x-6+ 2x2 - 6x + 4 2(x - 1) (x - 2)=*=,x (0,3.当x变化时,f (x)与f(x)的变化情况如表：x(0,1)1(1,2)2(2,3)3(x)+0-0+f(x)-54ln 2-84ln 3-9因为 f(3)=4ln 3-9f(1)=-5f(2)=4ln 2-8, 所以 f(x) max=f

16、(3)=4ln 3-9.19. (12分)(2018 天津模拟)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为13yJ2转(H)0x3-叫+8(0x120).(1) 当x=64千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升？(2) 若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米？100 25【解析】(1)当x=64千米/小时时,要行驶100千米需要f沏=山小时,(1o 3 25x 643 - 一 x 64 + 8 一 要耗油x 16= 11.95(升).(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米,由题意得，(1 o 3 a护-x + 8- 128 00

17、080丿 x 尢=22 522. 5i- 8rx + 所以 a=12S 000 x 80,1 8 3设 h(x)= I 2”()()x2+m,则当h(x)最小时,a取最大值，18 x3 - 803h(x)= 64 000x_/=64 000/令 h (x)=0 ? x=80,当 x (0,80)时,h (x)0,故当x (0,80)时,函数h(x)为减函数,当x (80,120)时，函数h(x) 为增函数，所以当x=80时,h(x)取得最小值，此时a取最大值为22. 51-8 fx 802 + -128 000 8080=200.所以若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶200千米.a20

18、. (12分)(2018 宁波模拟)已知函数f(x)=ln x- ：其中a R,且 曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线y=x.(1)求a的值.求函数f(x)的单调区间和极值.a2【解析】(1)f (x)=,因为曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线y=x,所以 f (1)=a+1=-1,所以 a=-2.21 2 x - 2 一 2 2 由(1)知 f(x)=ln x+ -,则 f(x)= = i , 令f (x)=0,解得x=2,又f(x)的定义域为(0,+ 乂), 当x (0,2)时，厂(x)0,所以f(x)在(2,+ 乂)内为增函数，故该函数的单调递增区间为

19、(2,+ g),单调递减区间为(0,2).由上面得如下表格：x(0,2)2(2,+ )(x)-0+f(x)减In 2+1增由表格知函数f(x)在x=2处取得极小值In 2+1.21. (12 分)(2018 海口模拟)设函数 f(x)=x 2+ax-In x(a R).(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间. 过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线，证明：切点的横坐标为1.【解析】(1)a=1 时,f(x)=x 2+x-In x(x0),1 (2x - 1) (% + 1)所以 f (x)=2x+1- A 二,当 x 2丿时,f (x)0.(0,1) (1, + 8所以f(x)的单调递减区间为

20、l打，单调递增区间为1 设切点为 M(t,f(t),f (x)=2x+a- v,1g切线的斜率k=2t+a-又切线过原点，则k=/(f)1所以厂=2t+a- r,即 12+at-In t=2t2+at-1.所以 t2-1+In t=0,存在性:t=1满足方程12-1+In t=0,所以t=1是方程12-1+In t=0 的根.1再证唯一性:设 (t)=t 2-1+In t,(t)=2t+ 广 0, (t)在(0,+ 乂)上单调递增,且 (1)=0,所以方程12-1+ln t=0 有唯一解.综上,切点的横坐标为1.x22. (12 分)(2018 娄底模拟)已知函数 f(x)= hz,g(x)二

21、k(x-1).(1)证明：任意k R,直线y=g(x)都不是曲线y=f(x)的切线.1 若存在x e,e 2,使f(x) 0且X01),In - 1 in x0则k=(加勺尸云,即 In x 卄X0-1=0,设 h(x)=ln x+x-1,x (0,+ g),1则h (x)= v+10,所以h(x)在(0,+ g)上单调递增，又h(1)=0,从而当且仅当X0=1时，成立，这与1矛盾.所以，任意k R,直线y=g(x)都不是曲线y=f(x)的切线.1 X1Xf(x) g(x)+ 2,即 H?v-k(x-1) 2 ,令 (x)= -k(x-1),xe,e 2,1则存在 x e,e 2,使 f(x) wg(x)+ 成立？ (x) min w- Inx - 1 f (x)=(加X)-k=- I/ 11. 1=-lnx:1当k时，(e 2)= -k(eJ*(x) 0,即k w 0,则 (x) 0,所以 (x)在e,e 2上为增函数，1于