北师大版九年级数学下册练习：小专题十五证明圆的切线的两种方法

1、小专题 ( 十五 )证明圆的切线的两种方法类型 1直线与圆有交点直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”. “证垂直”时通常利用圆中的关系得到90的角，如直径所对的圆周角等于90等 .【例 1】如图， AC是O 的直径， BC是O 的弦， 点 P 是O外一点， 连接 PA，PB，AB，已知 PBA C.求证： PB 是O的切线 .证明：连接OB.AC是O 的直径， ABC90， C BAC90.OA OB， BAC OBA.PBA C， PBA OBA C BAC90，即 PBOB.又 OB是O的半径，PB 是O 的切线 .1. 如图，在 ABC中，AB AC，以

2、 AB为直径的O 与边 BC，AC分别交于 D，E 两点，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F. 求证： DF是O 的切线 .证明：连接OD.OB OD， ODB B.又 AB AC， C B. ODB C.ODAC. DFAC， DFC90. ODF DFC90.又 OD是O的半径， DF 是O 的切线 .2. 如图，已知O 是 ABC的外接圆，AD是O的直径，且 BDBC，延长 AD到点 E，且有 EBD CAB.求证： BE是O的切线 .第 1页证明：连接OB， BD BC， CAB BAD. EBD CAB， BAD EBD.OA BO， BAD ABO. EBD ABO.AD是O 的

3、直径， ABD90. OBE EBD OBD ABO OBD ABD90.点 B 在O上，BE 是O 的切线 .3. 如图， ABC 是O的内接三角形，AB为直径，过点B 的切线与 AC的延长线交于点D，E 是 BD中点，连接CE.求证： CE是O 的切线 .证明：连接CO， OE，AB 为O 的直径， ACB90. BCD90.E是 BD中点，1CE BE 2BD.又 OC OB，OE OE， COE BOE(SSS). OCE OBE.BD为O 的切线， OBE90. OCE90.又 OC是O的半径，CE是O 的切线 .4. (2019 滨州 ) 如图， AB为O的直径，点 C 在O上，

4、ADCD 于点 D，且 AC平分 DAB.求证：(1) 直线 DC是O的切线；(2)AC 22ADAO.证明： (1) 连接 OC.OA OC，第 2页 OAC OCA.AC平分 DAB， OAC DAC. DAC OCA.OCAD.又 ADCD，OCDC.又 OC是O的半径，DC是O 的切线 .(2) 连接 BC.AB 为O 的直径，AB 2AO， ACB90.ADDC， ADC ACB90.又 DAC CAB， DAC CAB.ACAD2 ，即 ACABAD.ABAC22ADAO.AC类型 2不确定直线与圆是否有交点直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”. 证明垂线段的

5、长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.【例 2】如图，在 ABC 中， AB AC， O为 BC的中点， AC与半圆 O相切于点 D.(1) 求证： AB是半圆 O所在圆的切线；2(2) 若 cosABC 3， AB 12，求半圆 O所在圆的半径 .解： (1) 证明：连接OD， OA，过点 O作 OEAB 于点 E.AB AC， O为 BC的中点， CAO BAO.ODAC，OEAB，OD OE.第 3页OE是O 的半径 .AB 是半圆 O所在圆的切线.2(2) 由 cosABC 3， AB 12，得 OB 8.由勾股定理，得AO22AB OB 4

6、5.11SAOB 2ABOE 2OBAO，OEOBAO 8 5，AB38 5即半圆 O所在圆的半径是 3 .5. 如图， O为正方形 ABCD对角线 AC上一点，以 O为圆心， OA长为半径的O 与 BC相切于点 M，与AB，AD分别相交于点E， F. 求证： CD与O相切 .证明：连接OM，过点 O作 ONCD于点 N，O与 BC相切于点 M，OMBC.在正方形ABCD中， CA平分 BCD，又 ONCD，OMBC，OMON.ON 是O的半径 .CD与O 相切 .6. (2019 绥化 ) 如图，在梯形 ABCD中， ADBC，AEBC 于 E， ADC的平分线交 AE于点 O，以点 O为圆心， OA为半径的圆经过点B，交 BC于另一点F.(1) 求证： CD与O 相切；(2) 若 BF 24， OE 5，求 tan ABC的值 .解： (1) 证明：过点O作 OGDC，垂足为G.ADBC，AEBC，OAAD.DO平分 ADC，OAAD，DGDC，OA OG.OG是O 的半径，DC是O 的切线 .第