《植树问题》专题研究(最新整理)

1、植树问题专题研究在小学数学应用题中，有这么一类问题：以植树为内容，研究植树的棵树， 棵与棵之间的距离，和需要植树的总长度等数量间关系的问题，称为植树问题。它也属于典型应用题之一，有它独特的解答方法。为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。与此同类的问题还有锯木头、爬楼梯、敲钟等。同样可以用植树问题的解法来解。一、线状路径的植树问题：在线状路径上等距离植树，是把总距离按株距的长短平均分，有这样的多少段（叫做段数），就可以确定值多少棵树。一般来说，涉及总距离，株距，段数和植树的

2、棵树等量。在线状路径上等距离植树可以分为一下几种情况：在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都植树。数量关系式是： 棵树=总长棵距+1；即：棵数=段数+1.例1：在一条长80米的小路旁种松树，每隔16米种一棵，两端都种，共可以 种树多少棵？分析：这是在一段不封闭的直线上种树，首先应当先求出80米中包含了多少个16米，再根据“两端都种”，（即首尾都种）求出“共可以种树多少棵？”解：80米中包含了多少段？8016=5（段）共可以种树多少棵？5+1=6（棵） 答：共可以种树6棵.例 2： 公路的一旁每隔 40 米有木电杆一根(两端都有).共 121 根.现改为水泥电杆 51 根(包括两端),求两根相

3、邻水泥电杆之间的距离.分析: 这是在一段不封闭的直线上电杆间隔问题，如同植树问题。首先应先求出公路全长为 40(121-1)，再根据其数量关系：根数=总长根距+1，变换为： 根距=全长（根数-1），然后就可以求出两根相邻水泥杆之间的距离。解 公路的全长为多少米？40（121-1）=4800两根相邻水泥杆之间的距离是多少米？4800（51-1）=96答:两根相邻水泥杆之间的距离是 96 米。练习：1、从公园通往湖心的小岛有一条长 900 米的小路，在小路的两侧，从头到尾每隔 15 米栽 1 棵树，需要多少棵数？2、甲村到乙村,原计划栽树 175 棵,相邻两棵树距离 8 米,后决定改为栽树 117

4、 棵,问相邻两树应相距多少米?在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都不植树。数量关系式是：棵树=总长棵距1；即：段数-1例3：在相隔50米的两座楼房之间种桃树，每隔5米种一棵，共可以种树多少 棵？分析：这是在一段不封闭的直线上种树，两端因为有楼，所以都不种。这样， 共种树的棵树，应当比段数少1。即在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都不植树。解：50米中包含了多少段？505=10（段）共可以种树多少棵？10-1=9（棵） 答：共可以种树9棵.例 4：下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？分析：如上图所示。此题类似于两端都不植树的问题，关键是求

5、出重叠的“环扣”数(每个长 6 毫米)。根据其数量关系知，五个连在一起的“环扣”数为 5-14(个)，然后求出重叠部分的长，接着就可以求出五个铁环连在一起的长。同理，十个铁环连在一起的长度。解：五个连在一起的“环扣”数是多少？5-14(个)重叠部分的长为多少？6（5-1）=24（毫米）五个铁环连在一起的长是多少？4 厘米=40 毫米405-24=176（毫米）十个铁环连在一起的长度是多少？4010-24=346（毫米）答：五个铁环连在一起的长度为 176 毫米。十个铁环连在一起的长度为 346毫米。练习：3、有 12 名小学生站成一排，要求在每两名小学生中间放 2 盆花，需要摆放几盆？4、一次

6、检阅,接受检阅的一列彩车车队共 30 辆,每辆车长 4 米,前后两车相隔 5米,问这列车队共长多少米?在封闭线路上植树。数量关系式是：棵树=总长棵距。即：棵树=段数例5：人民公园环湖路长6900米，沿湖边每隔15米种一棵树，每3棵树之间安放一条长椅供游人休息。求共要种树多少棵？安放椅子多少条？分析：这是在封闭曲线上植树可直接用公式：“棵树=总长棵距”求解。而“每3棵树之间安放一条长椅”，正好是每隔一段棵距放一条椅子，椅子数正好是棵树的一半。解：共要种树多少棵？690015=460（棵）安放椅子多少条？4602=230（条）答：共要种树460棵，安放椅子230条。例 6： 一个圆形水库,周长是

7、2430 米,每隔 9 米种柳树一棵.又在相邻两棵柳树之间每 3 米种杨树 1 棵,要种杨树多少棵?分析:沿着封闭的圆形水库四周植树,段数与棵数相等,首先可以求出四周共可以种多少棵柳树，再求出相邻柳树间，每隔 3 米种杨树，每段可种杨树的棵树。最后可求出共种的杨树棵树。解：四周可种多少棵柳树？24309=270（棵）相邻柳树间，每隔 3 米种杨树，每段可种杨树多少棵？ 93-1=2（棵）总共可种杨树多少棵？2270=540（棵）答:水库四周要种杨树 540 棵.练习：5、公园的一个湖的周长是 1800 米,在这个湖的周围每隔 20 米种一棵柳树.然后在每两棵柳树之间每隔 4 米种一棵迎春花,需

8、要柳树多少棵、迎春花多少棵? 6、明明要爷爷出一道趣味题,爷爷给他念了一个顺口溜:湖边春色分外娇,一株杏树一株桃,平湖周围三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少?在方正形路上植树：如果每个顶点都要植树，数量关系式是：棵数=（每边棵数-1）边数，由此可以推出在此种路径下等距离植树的数量关系为： 棵树=边长棵距+1。例7：一个正方形鱼塘的周长是1200米，在4个角上都种上树后，每条边上 都有16棵树，求每棵树之间相距多少米？分析：沿正方形的四周种树，看似在封闭线路上植树。但由于四个角上都种上了树，是每边都种了16棵树，实际上是等同于在不封闭直线上种树，每边实际分成了（161）段。这

9、样就可以用“边长（161）”求出棵距。当然，也可以用：“周长（1644）” 求出棵距。解1：12004（161）=20(米)解2：1200（1644）=20(米)答：每棵树之间相距20米。练习：7、有一个正方形池塘,在它四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都有 5棵,问池塘四周共种树多少棵?二、在面状区域上的植树问题在一个平面区域里等距离，等株距植树的问题，一般是先算出每一棵树所占的面积：行距株距，就可以求出植树的棵树，其数量关系是：棵树=总面积（行距株距）。例 8：长方形场地：一个长 84 米，宽 54 米的长方形苹果园中，苹果树的株距是 2米，行距是 3 米这个苹果园共种苹果树多少棵？分析

10、： 这道题就是一个在平面区域里等行距、等株距植树的问题。根据题意，可以先算出长方形地的面积，再求出一共能种多少棵树。还有一种方法， 先算出一行能种多少棵树，在算出能种苹果树多少行，最后这块地共种苹果树多少棵。解法一： 一行能种多少棵？842=42(棵)这块地能种苹果树多少行？543=18(行)这块地共种苹果树多少棵？4218=756(棵)如果株距、行距的方向互换，结果相同：(843)(542)=2827=756(棵) 解法二：这块地的面积是多少平方米？8454=4536(平方米)一棵苹果树占地多少平方米？23=6(平方米)这块地能种苹果树多少棵？45366=756(棵)当长方形土地的长、宽分别

11、能被株距、行距整除时，可用上述两种方法中的任意一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，就只能用第二种方法。练习 8、在一块长方形地里种植，这块地长 150 米，宽 120 米，按行距 3 米，株距 2.5 米种植，如果成活率为 96，这块地里成活多少棵树苗？三、锯木头问题锯木头问题也属于植树问题，可得到：木头锯成的段数=锯的次数+1，由此可以得出其数量关系为：锯完所需时间=次数每锯一次的时间；每段木头的长度=木头原来的总长段数。例 9：一个木工锯一根长 19 米的木料，他先把一头损坏部分锯下 1 米，然后锯了 5 次，锯成同样长的短木条，每根短木条多少米？分析：这是植树问题的同类

12、问题锯木头问题。这道题实际上是将一根长 18 米的木料锯了 5 次，锯成了 6 段，求每段木头的长度，可用总长锯的次数。解、实际上锯的总长度是多少？19-1=18（米）共锯成了多少段？5+1=6（米）每段短木条的长度多少米？186=3（米）答：每段短木条的长度 3 米.例 10：有一个工人把 12 米的圆钢锯成 3 米长的小段，锯断一次要 5 分钟，共需要多少分钟？分析：这道题首先可以求出共锯了多少段，要锯多少次，然后再求需要多少分钟，根据锯完所需时间=次数锯一次所需的时间。解、共锯了多少段？ 123=4（段）要锯多少次？ 4-1=3（次）共需要多少分钟？ 35=15（分） 答：共需要 15

13、分钟。练习 9、有一根圆钢长 22 米，先锯下 2 米，剩下的锯成每根都是 4 米的小段， 又锯了几次？10、有 2 根木料，打算把每根锯成 3 段，每段锯开一处需要 3 分钟，全部锯完需要几分钟？四、敲钟问题敲钟问题是植树问题的应用，同样可以用植树问题的解法来解，可得到： 敲钟次数=间隔数+1.由此也克得到其数量关系为：总时间间隔数=每个间隔数。其与“在不封闭直线上的植树”情况相似。例11：有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒。如果敲响6下，从敲响 第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒。现在要敲12下，那么，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多少秒？分析：这是植树问题的

14、应用，可以看作是在不封闭直线上的“种树”。首先， 需要求出两响之间的间隔；然后，再求需要的时间。（433）是“敲响第一下到最后一下”的总时间，（61）是“敲响第一下到最后一下”的间隔数，总时间间隔数=每个间隔数（即两响之间的间隔）。然后，按照“在不封闭直线上的种树”的公式，求出一共需要多少秒？解：两响之间的间隔是多少秒？（433）（61）=8（秒）敲响12下，一共需要多少秒？8（121）+3=91（秒） 答：敲响12下，一共需要91秒。练习11、时钟4点钟敲4下，6秒钟敲完，那么12点钟敲12下，多少秒敲完？五、爬楼梯问题爬楼梯问题也是植树问题的一个延伸。根据植树问题的解题方法可得到： 间隔数

15、=终点楼层-起点楼层。由此也可得出其数量关系为：所需时间=走每段楼梯所用的时间段数。例 12：父子俩一起攀登一个有 300 个台阶的山坡，父亲每步上 3 个台阶， 儿子每步上 2 个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？ (重复踏的台阶只算一个)。分析：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，可先算出儿子踏过的台阶数和父亲踏过的台阶数。由于 23=6，所以父子俩每 6 个台阶要共同踏一个台阶，再算出共重复踏了的台阶数。最后求得父子俩共踏了台阶个数。解：儿子踏过的台阶数为多少个？3002150(个)，父亲踏过的台阶数为多少个？3003100(个)重复踏了的台阶数为多少个？

16、300（23）50(个)父子俩共踏了台阶个数为多少个？150100-50200(个）答：父子俩共踏了 200 个台阶。练习 12：小明要到高层建筑的 11 层，他走到 5 层用了 100 秒，照此速度计算， 他还需走多少秒？解植树问题时要记住：在牢记公式的基础上，根据实际灵活运用；注意线段图的运用，这样，可以更形象的发现数量间的变化。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful

17、 life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can