人教版初中数学课标版九年级上册212解一元二次方程第1课时直接开平方法

1、教学设计案例21.2解一元二次方程第 1 课时 直接开平方法一、内容和内容解析（1）内容：会用直接开平方法解形如 x2=p 或(x+n) 2=p(p 0) 的一元二次方程（2）内容解析：一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一， 而一元二次方程的解法更是本章的重点内容。本节课中，首先通过知识回顾环节的3 个小题为本节课的学习做一铺垫。然后再通过“探究新知”环节中“问题串”建立一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义， 通过直接开平方法得到方程的解；然后将2它一般化为 x =p 的形式 , 通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元2二次方程的奠基，并自然地引出“降次”的策略，归纳出形如

2、(x+n) =p(p 0) 的一元二次方程的解的情况， 不仅为后面用配方法解比较复杂的一元二次方程的学习做好铺垫， 而且也为我们后续学习二次函数等知识打下坚实的基础。同时，这节课的内容还突出体现了化归、类比、分类讨论等数学思想方法。基于以上分析， 确定本节课的教学重点是： 运用直接开平方法解形如x2=p 或（ x+n）2=p（p0）的一元二次方程，领会降次转化的数学思想。二、目标和目标解析1.目标：(1) 理解一元二次方程降次的转化思想(2) 会利用直接开平方法解形如 x2=p 或（x+n）2=p（p0）的一元二次方程2.目标解析达成目标的标志是：如果方程能够转化符合为形如 x2=p 或（ x

3、+n）2=p（p0）的一元二次方程时，那么就能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。三、教学问题诊断分析在以前的学习中， 学生不仅了解了平方根的意义、 掌握了完全平方式的结构特征，而且还具备了一些方程的转化能力。 本节课首先复习平方根的相关知识，再从具体的实际问题中列出一元二次方程， 并根据平方根的意义直接开平方求解方程，对于方程的解是否符合实际问题，进行探讨。第 1页然后，对需要合理变形转化为形如 x2=p 或（x+n）2=p（p0）形式可以直接开平方的方程， 学生在以前的学习中没有类似的经验， 可能会出现思维障碍。基于以上分析本节课的教学难点是： 把不能够直接开平方的方程转化为

4、形如 x2=p 或（ x+n）2=p（p0）形式 的转化方法与技巧 。四、教学支持条件分析利用多媒体技术，提供丰富的学习内容。五、教学过程设计（一）情境引入导语：上节课我们主要学习了一元二次方程和相关的概念， 那么今天这节课我们一起来研究如何解一元二次方程。师生活动： 点题，板书课题设计意图 ：开门见山明确本节课内容。（二）学习目标教师追问 1：首先我们看一下本节课的学习目标。 （大屏幕展示）学习目标： 1. 理解一元二次方程降次的转化思想2. 会利用直接开平方法解形如 x2=p 或（x+n）2=p（p0）的一元二次方程师生活动： 学生代表朗读本节课的学习目标。设计意图 ：让学生明确本节课的学

5、习内容，抓住学习重点， 可以为本节课的学习起到事半功倍的效果。（三）知识回顾教师追问 2：为了更好的完成本节课的学习目标，我们先一起复习一下平方根的相关知识，完成学案上知识回顾的内容。知识回顾：1. 平方根的定义：如果一个数的等于 a，那么这个数就叫做 a的平方根。第 2页若x2 =a，则 x叫做 a的平方根。记作 x=即x=或x=，2. 求下列各数的平方根416( )，5( )，9 ( )，8( )，0()3. 平方根的性质：正数有个平方根，它们是，0的平方根是，负数平方根。师生活动： 由学生独立完成，学生代表回答，教师及时订正。设计意图 ：通过对平方根相关知识的回顾，主要为直接开平方法解一

6、元二次方程的学习做好铺垫。（四）探索新知教师追问 3：我这有件事想请各位同学帮帮忙行吗？（引出问题 1）问题 1：一桶油漆可刷的面积为 1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？仔细审题并完成以下问题：解：设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列方程为整理得x2=根据平方根的意义得，x=即 x1=; x2=;师生活动：让学生独立思考并完成上述问题， 然后以小组为单位， 组内互查互助，最后组内代表回答。 如果学生不能够独立完成可以小组内进行合作交流。设计意图： 通过将问题 1 设计成填空的

7、形式，淡化列方程解方程的难第 3页度，引导学生自主探究、分析、总结，进而得到用直接开平方法解一元二次方程的方法， 不仅让学生经历建立和求解一元二次方程的完整过程，而且又培养了学生的自主学习能力。教师追问 4：方程 106x2=1500 是几元几次方程？教师追问 5：5 和 5 都是方程 106x2=1500 解吗？教师追问 6：那么问题 1 中盒子的棱长是5 和-5 吗？为什么？师生活动： 学生独立完成，如果学生回答有困难时，教师再适时加以引导。设计意图 : 让学生体会一元二次方程的解有两个，并学会根据具体问题的实际意义检验结果的合理性的习惯。教师追问 7：类似地，你能求出下列方程的解吗？它们

8、解的情况有什么不同？（1）x2-3=0（2）x2=0（3）2x2=-8教师追问 8：上述三个方程在求解时有什么特点？它们解的情况有什么不同？师生活动： 学生独立在学案上完成，然后以小组为单位，组内互相交流，最后小组代表回答。教师追问 9：若我们把上述方程看作是形如x2=p 的形式，你能归纳出这类方程解的情况吗？师生活动： 学生先独立思考，并完成在学案上；然后组内进行交流，归纳出一般形式 x2=p, 并根据 p 的取值范围得到方程的解的三种情况，学生代表回答，投影展示，教师板书。第 4页归纳： 一般地，对于方程x2=p（1）当 P0 时，方程有两个不等的实数根，（ 2）当 P=0时，方程有两个相

9、等的实数根 x1=x2=0（ 3）当 P0 时，方程没有实数根设计意图： 根据平方根的意义解形如 x2=p 的方程，并根据 p 的取值范围讨论出方程解的三种情况，不仅为探究后面配方法的学习奠定基础，而且还向学生渗透模型化的思想和化归思想。教师追问 10：对照前面的知识，你能求出方程（x+3) 2=5 的解吗 ?师生活动： 学生独立思考，并完成在学案上，然后组内互查互助，最后学生代表回答。不难想到，这一类方程与x2=p 没有实质差异，也可以根据平方根的意义， 利用直接开平方求解。 教师可引导学生观察解方程的过程，实际上把一个一元二次方程（ x+3) 2=5 进行了“降次”，转化成为两个一元一次方

10、程进行求解。设计意图： 让学生体会方程的结果特征，很自然地引出“降次”解一元二次方程的策略，为后续实现化归奠定基础。教师追问 11：上述方程若转化成形如（ x+n）2=p 形式，它的解有什么特点？你能归纳出用直接开平方法解一元二次方程步骤吗？师生活动： 以小组为单位合作探讨，学生进行归纳。总结出：如果方程能转化成 x2=p或（ x+n) 2 =p (p0）的形式，那么就可得 x=p或x+n=p设计意图 ：从特殊到一般， 归纳出用直接开平方法解一元二次方程的第 5页一般思路。使学生养成提练解题思路、归纳解题步骤的能力，体验类比、转化、降次的数学思想方法。(五) 例题解析例 1：解方程： 3x2-

11、25=0例 2：解方程 2(x+2）2-8=0例 3：解方程 x2+6x+9=5师生活动： 学生独立思考，个别学生可能在将方程转化为形如 x2=p 或（ x+n）2=p（p0）的形式有困难，教师要及时引导学生进行订正，学生代表黑板板书。设计意图： 强化学生对转化为形如x2=p 或（ x+n）2=p（p0）方程过程的理解，并进一步让学生熟悉直接开平方解一元二次方程的方法。（六）巩固新知1. 方程 x2 =16的解是（）.A.x= 4 B.x=4 C.x= -4 D.x=162. 若代数式 5x2-4 的值为 21，则 x的值一定为（）A.x=5B.x=5C.x= - D.x=553. 解下列方程

12、：（1）9x2 -5=3 （2）(x+6) 2-9=0 (3) 3(x-1)2-6=0 (4) x2+4x+4=16师生活动： 学生独立在学案上完成，教师巡视、指导，然后小组内互查互助、合作交流，最后学生代表订正答案。设计意图： 让学生在实践中强化用直接开平方解一元二次方程的方法（七）课堂小结教师追问 12：谈谈这节课我们都学会了那些知识？教师活动 : 学生自己总结，若有困难教师引导。第 6页设计意图 : 创造一个平等民主的学习氛围，尽可能地让学生把自己的所思所想表达出来。 通过小结，让学生对本节课所学内容进行梳理，进而培养学生归纳概括能力。（八）目标检测设计1. 方程 x2=2 的解是（）A.x =2x=-2B.x=C. x=2 x=-2 D.x=212122. 方程 2x2+18=0