(完整版)中考专题复习等腰三角形与直角三角形含答案(最新整理)

1、第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为 等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为 等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是 3、等腰三角形的判定：定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 有两相等的三角形是等腰三角形，简称 【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的 相等，两底角的平分线也相等 。2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角】

2、4、等边三角形的性质：等边三角形的每个内角都都等于 等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、 等边三角形的判定：有三个角相等的三角形是等边三角形有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在 4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在 【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线

3、可以看作是的点的集合。2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为 a、b 斜边为 c 则 a、b、c 满足 逆定理：若一个三角形的三边 a、b、c 满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、】 2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：直角三角形两锐角 直角三角形斜边的中线等于 在直角三角形中如果有一个

4、锐角是 300，那么它所对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法有一个角是的三角形是直角三角形有两个角的三角形是直角三角形如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】 考点一：角的平分线例 1（2013丽水）如图，在 rtabc 中，a=rt，abc 的平分线 bd 交 ac 于点 d，ad=3，bc=10，则bdc 的面积是思路分析：过 d 作 debc 于 e，根据角平分线性质求出 de=3，根据三角形

5、的面积求出即可解：如图，过 d 作 debc 于 e，a=90，daab，bd 平分abc，ad=de=3，11bdc 的面积是 debc= 103=15，22故答案为：15点评：本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等对应训练1（ 2013泉州） 如图， aob=70， qc oa 于 c， qd ob 于 d， 若 qc=qd， 则 aoq=135考点二：线段垂直平分线例 2（2013义乌市）如图，adbc 于点 d，d 为 bc 的中点，连接 ab，abc 的平分线交 ad于点 o，连结 oc，若aoc=125，则abc=思路分析：先根据三角形的

6、一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出c，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 ob=oc，根据等边对等角的性质求出 obc=c，然后根据角平分线的定义解答即可解：adbc，aoc=125，c=aoc-adc=125-90=35，d 为 bc 的中点，adbc，ob=oc，obc=c=35，ob 平分abc，a=2obc=235=70故答案为：70点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键对应训练2（2013天门）如图，在abc 中，a b=ac，a=120，bc=6cm，

7、ab 的垂直平分线交 bc 于点 m，交 ab 于点 e，ac 的垂直平分线交 bc 于点 n，交 ac 于点 f，则 mn 的长为（ ） a4cmb3cmc2cmd1cm2c考点三：等腰三角形性质的运用例 3 （2013武汉）如图，abc 中，ab=ac，a=36，bd 是 ac 边上的高，则dbc 的度数是（）a18b24c30d36思路分析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得dbc 的度数 解：ab=ac，a=36，abc=acb=7，2bd 是 ac 边上的高，bdac，dbc=90-72=18故选 a点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运

8、用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般对应训练3（2013云南）如图，已知 abcd，ab=ac，abc=68，则acd=344考点四：等边三角形的判定与性质例 4（2013黔西南州）如图，已知abc 是等边三角形，点 b、c、d、e 在同一直线上，且 cg=cd，df=de，则e=度思路分析：根据等边三角形三个角相等，可知acb=60，根据等腰三角形底角相等即可得出e 的度数解：abc 是等边三角形，acb=60，acd=120，cg=cd，cdg=30，fde=150，df=de，e=15 故答案为：15点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为 180以及等腰三

9、角形的性质，难度适中对应训练4（2013黄冈）已知abc 为等边三角形，bd 为中线，延长 bc 至 e，使 ce=cd=1，连接 de， 则 de=34考点五：三角形中位线定理例 5（2013昆明）如图，在abc 中，点 d，e 分别是 ab，ac 的中点，a=50，ade=60，则c 的度数为（）a50b60c70d80思路分析：在ade 中利用内角和定理求出aed，然后判断 debc，利用平行线的性质可得出c解：由题意得，aed=180-a-ade=70，点 d，e 分别是 ab，ac 的中点，de 是abc 的中位线，debc，c=aed=70 故选 c点评：本题考查了三角形的中位线定

10、理，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理的内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半对应训练5（2013厦门）如图，abcd 的对角线 ac，bd 相交于点 o，点 e，f 分别是线段 ao，bo 的中点，若 ac+bd=24 厘米，oab 的周长是 18 厘米，则 ef=厘米53考点六：直角三角形例 6（2013衢州）将一个有 45角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30角，如图，则三角板的最大边的长为（）22a3cmb6cmc3cmd6cm思路分析：过另一个顶点 c 作垂线 cd 如图，可

11、得直角三角形，根据直角三角形中 30角所对的边等于斜边的一半，可求出有 45角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边解：如图，过点 c 作 cdad，cd=3， 在直角三角形 adc 中，cad=30，ac=2cd=23=6，又三角板是有 45角的三角板，ab=ac=6，bc2=ab2+ ac2=62+62=72，2bc=6， 故选：d点评：此题考查的知识点是含 30角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边对应训练6（2013重庆）如图，在abc 中，a=45，b=30，cdab，垂足为 d，cd=1，则 ab的长为（）333a2b2c+1d

12、+136d考点七：勾股定理例 7（ 2013扬 州） 矩形的两邻边长的差为 2， 对角线长为 4， 则矩形的面积为思路分析：设矩形一条边长为 x，则另一条边长为 x-2，然后根据勾股定理列出方程式求出 x的值，继而可求出矩形的面积解：设矩形一条边长为 x，则另一条边长为 x-2， 由勾股定理得，x2+（x-2）2=42，整理得，x2-2x-6=0，77解得：x=1+或 x=1-（不合题意，舍去），7另一边为：-1，77则矩形的面积为：（1+）（-1）=6故答案为：6点评：本题考查了勾股定理及矩形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据勾股定理列出等式求处矩形的边长，要求同学们掌握矩形面积的求法对

13、应训练7（2013莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 a、b、c、d 的面积分别为 2，5，1，2则最大的正方形 e 的面积是710【聚焦山东中考】1（2013临沂）如图，四边形 abcd 中，ac 垂直平分 bd，垂足为 e，下列结论不一定成立的是（）aab=adbac 平分bcdcab=bddbecdec1c2（2013枣庄）如图，abc 中，ab=ac=10，bc=8，ad 平分bac 交 bc 于点 d，点 e 为 ac的中点，连接 de，则cde 的周长为（）a20b12c14d132c3（2013淄博）如图，abc 的周长

14、为 26，点 d，e 都在边 bc 上，abc 的平分线垂直于 ae，垂足为 q，acb 的平分线垂直于 ad，垂足为 p，若 bc=10，则 pq 的长为（）35abc3d4223c4（2013威海）如图，在abc 中，a=36，ab=ac，ab 的垂直平分线 od 交 ab 于点 o，交 ac 于点 d，连接 bd，下列结论错误的是（）ac=2a bbd 平分abc csbcd=sbodd点 d 为线段 ac 的黄金分割点4c35（2013莱芜）在平面直角坐标系中，o 为坐标原点，点 a 的坐标为（1，），m 为坐标轴上一点，且使得moa 为等腰三角形，则满足条件的点 m 的个数为（）a4

15、b5c6d8 5c6（2013滨州）在等腰abc 中，ab=ac，a=50，则b= 6657（2013滨州）在abc 中，c=90，ab=7，bc=5，则边 ac 的长为 67 28（2013烟台）如图，abcd 的周长为 36，对角线 ac，bd 相交于点o点 e 是 cd 的中点，bd=12，则doe 的周长为8159（2013泰安）如图，在 rtabc 中，acb=90，ab 的垂直平分线 de 交 ac 于 e，交 bc的延长线于 f，若f=30，de=1，则 be 的长是9210（2013烟台）如图，abc 中，ab=ac，bac=54，bac 的平分线与 ab 的垂直平分线交于点

16、o，将c 沿 ef（e 在 bc 上，f 在 ac 上）折叠，点 c 与点 o 恰好重合，则oec 为度1010811（2013菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线” 被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是 它 的 “面 径 ”） 已 知 等 边 三 角 形 的 边 长 为 2， 则 它 的 “面 径 ”长 可 以 是（写出 1 个即可）232311. ，（或介于和之间的任意两个实数）12（2013威海）操作发现将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板 abc 的斜边与含 30角的直角三角板 def 的长直角边

17、 de 重合问题解决将图中的等腰直角三角板 abc 绕点 b 顺时针旋转 30，点 c 落在 bf 上，ac 与 bd 交于点 o，连接 cd，如图（1） 求证：cdo 是等腰三角形；（2） 若 df=8，求 ad 的长12. 解；（1）由图知 bc=de，bdc=bcd，def=30，bdc=bcd=75，acb=45，doc=30+45=75，doc=bdc，3cdo 是等腰三角形；（2）如图，作 agbc，垂足为点 g，dhbf，垂足为点 h， 在 rtdhf 中，f=60，df=8，dh=4，hf=4，3在 rtbdf 中，f=60，df=8，d b=8，bf=16，3bc=bd=8，

18、agbc，abc=45，3bg=ag=4，ag=dh，agdh，四边形 aghd 为矩形，33ad=gh=bf-bg-hf=16-4-4=12-4【备考真题过关】一、选择题1（2013成都）如图，在abc 中，b=c，ab=5，则 ac 的长为（）a2b3c4d51d2（2013南充）如图，abc 中，ab=ac，b=70，则a 的度数是（）a70b55c50d402d3（2013淮安）若等腰三角形有两条边的长度为 3 和 1，则此等腰三角形的周长为（）a5b7c5 或 7d63b4（2013长沙）下列各图中，1 大于2 的是（）a bc d 4d5（2013宜昌）如图，在矩形 abcd 中，

19、abbc，ac，bd 相交于点 o，则图中等腰三角形的个数是（）a8b6c4d25c6（2013南平）如图，在abc 中，ab=ac，debc，ade=48，则下列结论中不正确的是（）ab=48baed=66 ca=84db+c=966b7（2013遂宁）如图，在abc 中，c=90，b=30，以 a 为圆心，任意长为半径画1弧分别交 ab、ac 于点 m 和 n，再分别以 m、n 为圆心，大于 mn 的长为半径画弧，两弧交2于点 p，连结 ap 并延长交 bc 于点 d，则下列说法中正确的个数是（）ad 是bac 的平分线；adc=60；点 d 在 ab 的中垂线上；sdac：sabc=1：

20、3a1b2c3d47d8（2013铁岭）如果三角形的两边长分别是方程 x2-8x+15=0 的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）a5.5b5c4.5d4 8a9（2013柳州）在abc 中，bac=90，ab=3，ac=4ad 平分bac 交 bc 于 d，则 bd 的长为（）15122021abcd79a57510（2013德宏州）在 rtabc 中，c=90，ab=10若以点 c 为圆心，cb 为半径的圆恰好经过 ab 的中点 d，则 ac=（）23a5b5c5d610c11（2013大庆）正三角形abc 的边长为 3，依次在边 ab、bc、ca 上取点 a

21、1、b1、c1， 使 aa1=bb1=cc1=1，则a1b1c1 的面积是（）33 39 39abcd444411b3012（2013鄂州）如图，已知直线 ab，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 a 到直线 a 的距离为 2，点b 到直线b 的距离为 3，ab=2试在直线 a 上找一点m，在直线 b 上找一点n，满足 mna且 am+mn+nb 的长度和最短，则此时 am+nb=（）a6b8c10d1212b二、填空题13（ 2013徐州）若等腰三角形的顶角为 80，则它的底角度数为（ ） a80b50c40d20 13b14（2013白银）等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两

22、边为 146，4 或 5，515（2013广州）点 p 在线段 ab 的垂直平分线上，pa=7，则 pb= 15716（2013长沙）如图，bd 是abc 的平分线，p 为 bd 上的一点，peba 于点 e，pe=4cm，则点 p 到边 bc 的距离为cm16417（2013宿迁）如图，为测量位于一水塘旁的两点 a、b 间的距离，在地面上确定点 o，分别取 oa、ob 的中点 c、d，量得 cd=20m，则 a、b 之间的距离是m174018（ 2013漳 州） 如图， 正方形 odbc 中， oc=1， oa=ob， 则数轴上点 a 表示的数是218-19（2013泰州）如图，abc 中，

23、ab+ac=6cm，bc 的垂直平分线 l 与 ac 相交于点 d，则abd的周长为cm19620（2013资阳）在矩形 abcd 中，对角线 ac、bd 相交于点 o，若aob=60，ac=10，则 ab=20521（2013吉林）如图，在平面直角坐标系中，点 a，b 的坐标分别为（-6，0）、（0，8）以点 a 为圆心，以 ab 长为半径画弧，交 x 正半轴于点 c，则点 c 的坐标为 21（4，0）22（2013锦州）在abc 中，ab=ac，ab 的垂直平分线 de 与 ac 所在的直线相交于点 e，3垂足为 d，连接 be已知 ae=5，tanaed= ，则 be+ce=4226 或

24、 1623（2013无锡）如图，abc 中，ab=ac，de 垂直平分 ab，beac，afbc，则efc=2345224（2013哈尔滨）在abc 中，ab=2，bc=1，abc=45，以 ab 为一边作等腰直角三角形 abd，使abd=90，连接 cd，则线段 cd 的长为51324或525（2013沈阳）已知等边三角形 abc 的高为 4，在这个三角形所在的平面内有一点 p，若点 p 到 ab 的距离是 1，点 p 到 ac 的距离是 2，则点 p 到 bc 的最小距离和最大距离分别是251，726（2013鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家他曾经设计过一种圆规

25、如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端 a、b 能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点 p 处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来若 ab=20cm，则画出的圆的半径为cm2610三、解答题27（2013湘西州）如图，rtabc 中，c=90，ad 平分cab，deab 于 e，若 ac=6，bc=8， cd=3（1） 求 de 的长；（2） 求adb 的面积27解：（1）ad 平分cab，deab，c=90，cd=de，cd=3，de=3；ac 2 + bc 262 + 82（2）在 rtabc 中，由勾股定理得：ab=10，11adb 的面积为 sadb= abde= 103=152228（2013永州）如图，m 是abc 的边 bc 的中点，an 平分bac，bnan 于点 n，延长 bn交 ac 于点 d，已知 ab=10，bc=15，mn=3（1） 求证：bn=dn；（2） 求abc 的周长28解：（1）在abn