例题与探究(5.2.2复数的乘法与除法

1、高手支招3综合探究进行复数的除法运算的步骤利用复数的除法定义：把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+ di丰0)复数x+yi叫做复数a+bi除以a bj复数c+di的商，记作(a+bi) (c+di)或，从而利用复数相等求得x,y的值即可.c +di第7页 (c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得ac bdc2 d2be -adc2 d2ex-dy =a,解这个方程组得 dx +cy = b.于是有(a+bi)(c+di)=ac ad22c dbe -ad .在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi) (c+d

2、i)写成电上的形式，再把分子与分母都乘以分c + di母的共轭复数c-di,化简后，也可以得出上面的结果.高手支招4典例精析【例1】已知=1-ni，其中m、n是实数，i是虚数单位，则m+ni=()1 +iA.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i思路分析：可先将=1-ni去分母后展开化简，再利用复数相等解之.1 +i本题也可将等式左边分母实数化，再利用复数相等解之.mm = 1 + n，八将=1-ni两边同乘以1+i，得m=(1-ni)(1+i)=1+ n+(1-n)i，由复数相等法则，得丿从1 +i小=1，壬 m 2，.而丿所以m+ni=2+i.=1，答案：C血-i3【例2】复数 2 i

3、=()1 -V2iA.iB.-IC.2、2 -ID.-2 . 2 +i思路分析：此题可以直接进行分母有理化”即分子分母同乘以分母的共轭复数),化简解得，或由观察得出：将分子化简后，分母乘以i则可以得到分子，从而解得.原式_2 iJ,2 i)i _(，2 i)i .1 - , 2i”2i)i、2 i.答案:A【例3】1若复数z= 1_ 323+i，则 1+z+z +z + 丄 2 006,、+z ()221,313A.0B.+ic. -i2 2221 J3思路分析：由于Z= + i正好是3的一个值,故具有3特性，即1+z+z2=o,利用此式，原式2 2即可化简1+z+z2+z3+Z2 006中连

4、续三项的和均为零，由于1+z+z2+z3+Z2 006的项数2007项正好是3的倍数项，故所求的和式为零答案:A【例4】如果复数（m2+i）（i+mi）是实数，则实数m等于（）A.1B.-1C. 2思路分析：要使一个复数为实数，那只需要一个条件：虚部为0.将原式（m2+i）（i+mi）展开，得m2+m3i+i+mi 2=（m2-m）+（m 3+1）i，令其虚部为零，即 m3+1=0，即 m=-1.答案:B【例5】若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b等于（）11A.-2B.C.D.222思路分析:(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i，依题意 2-b=

5、0= b=2.答案：Da 1 + i【例6】设a是实数，且 是实数，则a等于1 +i 21 3A.B.1C.D.22 2a 1(1 a)i2，因为思路分析：先化简旦 二旦01 11+i 2221 a故其虚部为零，即=0,从而得a=1.2答案:B【例7】设复数z满足A.-2+i1 2i =i,则z等于()zD.2+iB.-2-IC.2-I1 +2i思路分析：由=i,得 z= 1 2i =(12i)i=2-i.zzi i答案：C【例8】设x、y为实数，且则x+v=1 -i 1 -2i 1 -3i思路分析：先将原式两边的分母实数化，然后再利用复数相等即可求得x+y的值.xv5将原式分母 实数化，得

6、(1+i)+(1+2i)=(1+3i),即 5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i), 即2510(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,利用复数相等的充要条件得5x + 2y _5 = 0,5x + 4y-15 = 0,解得-i,=5,x+y=4.答案：4【例 9】计算下列各式：(1)i2006+( J2+J2i)8-(上2)50；(2)(丄3i)61 -i22思路分析:(1)充分利用(1 )2=2i及i4n+k=ik将高次冥化为低次冥.(2)利用3的性质解答2 00682 50 4501+22 4解:(1)i+(2 + 2 i) -() =i + : 2(1+i):-1 -

7、i252(1_i)2422525=i +(4i) -() =-1+256-i =255-i;(2) / 3 =丄+ i, 1 -空 i=- 3 , (1-3i)6=(- 3卜(3)2=1.2 2 2 2 2 2【例10】已知复数z=2(1 i) 3(1 i)2 i,若z2+az+b=1+i,试求实数a、b的值.z,需对复数z进行化简，主思路分析：要求实数a、b的值,需先确定复数z的值,而要确定复数 要通过复数乘方，加减运算,最后通过分母实数化，从而化得结果.解： z=tLU= 2 i 2 i.2 2z +az+b=(1+i) +a(1+i)+b=(a+b)+(2+a)i.由已知z2+az+b=

8、1+i,a+b=1, a = -1,2+a=1,= b = 2,J实数a、b的值分别为-1,2.【例 11】 已知 f(z)=2z+ z-3i,f(z+i)=6-3i,求 f(-z)的值.思路分析：需要先利用已知式求出z,再将-z代入f(z)=2z+ z-3i中计算.解：T f(z)=2z+ z -3i, f( z +i)=2( z +i)+ z i -3i=2 z +2i+z-i-3i=2 z +z-2i,又知 f( z +i)=6-3i, 2 z +z-2i=6-3i,即 2 z +z=6-i,设 z=a+bi,则 z =a-bi,于是有 2(a-bi)+a+bi=6-i,所3a = 6,

9、以，丿解得 a=2,b=1, z=2+i,-b = -1, f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.【例12】计算:(-31 122 2i 8一+fV2c1丿+(.丿.21 - 3i思路分析：.31i=i(一丄+3i),1- . 3i=(-2)(-丄+ i)，由此，原式可以化简222 22 212+(1 i)81解:原式=严(-丄+2EG弓)=11+2 2/1八3.、9(i)2 2=-7+8 3 i.【例13】已知复数Z1=i(1-i) 3.(1)求|乙|;(2)若|z|=1,求|z-Z1|的最大值.思路分析：(1)求模应求出复数的实部与虚部，再利用|a+b

10、i|= ： a2b2得出.(2)是考查复数几何意义的应用.解:zi=j（l-j）3= i（-2i）（1-i）=2（1-i）,|引=,2222 =2 2.|z|=1可看成半径为1、圆心为（0 ,0 ）的圆，而点Zi可看成在坐标系中的点（2,-2）, Iz-Zf的最大值可以看成点（2,-2）到圆上点距离的最大值，由右图可知|Z-Zi|max=2 . 2 +1.5 5i【例14】证明：在复数范围内 方程|z|2+（ i-i）z-（ 1+i）z= （i为虚数单位）无解.2 + i思路分析：将已知条件化简后再由复数相等来解.证明：原方程化简为 |z|2+（ 1-i）z-（ 1+i）z=1-3i.设 z=x+yi（x、y R），代入上述方程得 x2+y2-2xi-2yi=1-3i.将代入（1）,整理得8x2-12x+5=0./ =160,方程f（x）无实数解,原方程在复数范围内无解.高手支招5思考发现21V3 311 + i 1-i1. 利用某些特殊复数的运算结果，如（1 =i,（i）=1,-=-i,=i,=-i,i的幕的22 i 1-i 1+i周期性，对于简化