“正用”、“逆用”两角和与差的公式解题

1、“正用”、“逆用”两角和与差的公式解题利用两角和与差的三角函数公式解题时，应注意观察、分析题设的结构特征和公式的结构特点，灵活地运用公式，创设运用公式的情境，才能简明快捷地解题现举例说明“正用”、“逆用”两角和与差的公式求值、证明的一些技巧技巧应用一：正用公式 巧选三角函数求解三角函数值中隐含着角的范围，往往需要缩小角的范围以达到正确求解的目的而所求角的范围上往往也隐含着某种函数的单调性，所以如果能恰当选择三角函数进行求值，便可避开对角的范围进行缩小而带来的麻烦，方法简捷易行例1已知，和都是锐角，求的值分析：因为，为锐角，所以若求，此时可以为锐角也可以为钝角再进一步确定的值时，尚需缩小，的范围

2、，将比较麻烦若求，则可能为正也可负，为正时，为锐角，为负时，为钝角，此时比较容易确定的值，因此，只需求出便可解：，且和都是锐角，又，评注：此题中求比求好因为是的基本区间，与函数值对应的有且仅有一个角，而正弦函数在上不是单调函数，要求，必须进一步缩小范围，比较麻烦另外，如果所求结果非特殊值，则直接用反三角表示即可例已知， ，且、，求的值.分析：由，可求出，对和作保值变换，即，则可根据两角和的正切公式求出，再根据已知条件中角的范围求出.解： ，.，且，.由题设，且，.由，即可得.评注：由题设及求解过程知，、，且，因此，、是两个惟一确定的角，从而也是一个惟一确定的角，所以或需根据条件要求排除一个角因

3、不能正确估算角的范围而导致错解、增解是我们易犯的错误，究其原因是在解题中，缺乏思维的严密性和批判性，缺乏对多解正确性进行质疑的意识，即使有些同学有这种意识，但也缺少正确判断的方法.解题中，一要加强质疑意识和直觉判断，二要善于将已知的角的范围和相关角的函数值综合起来进行判断，以达到缩小角的取值范围的目的.技巧应用二：正用公式 巧用角的代换这是一种十分常用的数学方法，代换法解数学题是重要的解题方法，解三角题更为突出常用的角代换关系有：，例已知，且，求的值分析：解：，又， ，评注：本题解题的关键在于“变角”，即，要注意体会并掌握例已知求证：分析：注意到条件式中的角是和，求证式中的角是和，显然“不要”

4、的角和应由保留下来的角与来代换解：，即评注：三角函数式的结构一般由角、三角符号及运算符号三种元素组成三角恒等式的证明实质就是由一种结构形式转化为另一种结构形式因此在证明等式时必须仔细观察等式两边结构上的差异，然后分析这些差异和联系，最后从解决差异入手，施行适当的变换，直至消除差异，完成恒等式的证明例求证：分析：联系等式左边的与右边的，的形体结构，可将拆凑成结构，即用与来代换，然后正用与逆用两角和与差正、余弦公式进行求解.解：左边右边.评注：三角恒等式的证明实质上是通过恒等变形，消除待证式两端结构上的差异.常用的策略有：化繁为简；左右归一；证差为零；等价化归等.技巧应用三：逆用公式、多向变换使用

5、任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活运用公式所必须的尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角知识的基本功 逆用公式时，可以引入辅助角公式：关于形如（、不同时为零）的式子引入辅助角变形为的形式例求值：分析：从分析给出的各角之间的关系入手，引入辅助角寻找解决问题的思路和方法解：原式评注：在解题的过程中，对角之间的关系要进行认真的分析，以确定所要使用的三角函数的关系，如题中例化简分析：要化简此三角函数式，可以本着两个方面考虑：一是减少角的个数，这一点可以由得到；二是减少三角函数的种类，这一点可以由两角和与差的公式逆用得到解：评注：利用诱导公式可以转换三角函数的名称，在三角函数式的求值和化简中，常需要进行这种变换 例已知非零实数、满足，求的值.分析：由联想到两角和的正切公式.解：由题设，得，令，则，即.故.评注：类比三角公式，进行三角代换，使隐蔽关系显现出来，从而实现难题巧解.技巧应用四：根据公式特点 巧用因果联系联系公式形式与条件特点，建立适当的关系式，寻求解题途经例已知关于的方程的区间上有两个相等的实数解、，求的值分析：由于，因而需从已知条件设法从整体上求出和也可以考虑把已知方程中的化为一个三角式，再建立、的关系解：设，则消去，得 由已知、是的两个根，由根与系数关系，得