中国数学奥林匹克赛前培训练习1

1、中国数学奥林匹克赛前培训练习11.求出所有的整数x，使得多项式f (x) = x6 + 15x5 + 85x4 + 225x3 + 274x2 + 120x + 1的值是完全平方数。2.设 三角形ABC的外接园为， M为三角形内一点， 且在角A的平分线上，设AM,BM,CM与交于, P为与AB的交点， Q为与AC的交点。证明：PQ平行于BC.3. 某羽毛球俱乐部的2n名成员为n对夫妻。俱乐部准备为所有成员安排一轮回避配偶的混合双打比赛。规定配偶夫妻在赛程中既不作为搭档，也不作为对立面出现。要求：( i) 同性别的每两名成员恰作为对立面在一场混双比赛中相遇；4. 设数轴的0，1区间里有六个质点，

2、依照从0到1的次序将这六个质点标记为初始时，质点的位置都在区间内部；相邻质点与的距离分别是 ；并且各质点都以相同的不变速度沿数轴朝指向0点的方向运动，在以后的运动中，如果某个质点碰到区间端0或1，那么该质点立即折返，以同样大小的不变速度值反向运动，如果某两个质点相向运动发生对撞，那么这两个质点立即各自折返，都以同样大小的不变速度值反向运动。约定以表示第个质点与第个质点第次对撞的位置坐标，试求所有可能的。5、求所有自然数n1,使得不整除(n-2)!参考答案1.求出所有的整数x，使得多项式f (x) = x6 + 15x5 + 85x4 + 225x3 + 274x2 + 120x + 1的值是完

3、全平方数。解：f (x) = x (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1，则x = 0, 1, 2, 3, 4, 5时，f (x) = 1为完全平方数，f (2) = f (7) = 71 2，也为完全平方数，进一步验证，x = 1, 3, 4, 5, 6时，f (x)不是完全平方数。下面证明：只有上述8个数使得f (x)为完全平方数。 f (x) = f (x5)， 只需考虑x 0的情况：当x 7时，2x + 5 19，令u = 2x + 5，则u 19为奇数。64 f (x) = u 635u 2 + 259u 2161，令v = 8 f ，则考虑不

4、定方程v 2 = u 635u 4 + 259u 2161。u 19为奇数。令v = u 3u + a，a Z，则v 2 = (u 3u + a) 2 = u 635u 4 + 259u 2161，整理得 h(a) = a 2 + (35u2u 31) a + (u 3 + + 161 + ) = 0， h(0) 0，求h(a) = 0的整数根， h(1) = 0，即4u 3 = 189u 2 + 70u + 645 (*)若u 47，则4u 3 188u 2 189u 2；若u 48，则4u 3 189u 2 + 70u + 74u 189u 2 + 70u + 645，这表明(*)不成立，

5、因此本题没有u 19的奇数解。故x = 7, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 2时，f (x)为完全平方数。3. 某羽毛球俱乐部的2n名成员为n对夫妻。俱乐部准备为所有成员安排一轮回避配偶的混合双打比赛。规定配偶夫妻在赛程中既不作为搭档，也不作为对立面出现。要求：( i) 同性别的每两名成员恰作为对立面在一场混双比赛中相遇；解：给俱乐部的成员按家庭用0, 1, , n1编号。第i 个家庭成员记为hi和wi，其中hi是丈夫、wi是妻子。 将nn方格表的行用0, 1, , n1编号，列也用0, 1, , n1编号。仿照第1题解答中的办法填写nn方格表，按照所填方格表安排赛程，规定：如果i j，

6、aij = k，aji = l，那么就安排hi与wk作为搭档，hj与wl作为搭档，双方进行一场混和双打比赛。在所填nn方格表上，主对角线的第i格填写的是i。因此，如果i j，aij = k，aji = l，那么k i, j，l i, j。因而配偶回避，既不作为搭档，也不作为对立面。任何两个非配偶的不同性别成员，恰作为搭档一次，也作为对立面一次。(因为每行是0, 1, , n1的一个排列，每列也是)任两同性别成员恰作为对立面一次。对于不同的i, j，由aij和aji安排的混双比赛恰让hi和hj作为对立面一次。不同的k和l恰作为 (aij, aji) (i j) 出现一次，于是wk与wl恰作为对立面一次。4. 设数轴的0，1区间里有六个质点，依照从0到1的次序将这六个质点标记为初始时，质点的位置都在区间内部；相邻质点与的距离分别是 ；并且各质点都以相同的不变速度沿数轴朝指向0点的方向运动，在以后的运动中，如果某个质点碰到区间端0或1，那么该质