空间中的平行关系

1、8 4 空间中的平行关系1空间中直线与平面之间的位置关系(1) 直线在平面内，则它们 公共点；(2) 直线与平面相交，则它们 公共点；(3) 直线与平面平行，则它们 公共点直线与平面相交或平行的情况统称为 2直线与平面平行的判定和性质(1)直线与平面平行的判定定理平面外 与此平面内的 平行， 则该直线与此平面平行 即线线平行 ? 线面平行 用符(2)直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面的 与该直线 即线面平行? 线线平行用符号表示： 3平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行，则它们 ；(2)两个平面相交，则它们 ，两个平面垂直是相交的一种特殊情况

2、4平面与平面平行的判定和性质(1)平面与平面平行的判定定理 一个平面内 的两条与另一个平面平行 ，则这两个平面平 行用符号表示： 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行. 垂直于同一条直线的两个平面平行 平行于同一个平面的两个平面平行.即 I 丄 a, I 丄 B ? a/ B .即 all y 3 / Y ? a / 3 (2)平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线 .即面面平行 ? 线线平行. 用符 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面用符号表示：. 如果一条直线垂直于两个平行平面

3、中的一个平面， 那么它也垂直于另一个平面. 用符号表示：自查自纠1. (1) 有无数个(2)有且只有一个 (3)没有 直线在平面外2. (1)一条直线一条直线 a?a , b? a ,且 a / b? a/ a交线 平行 a / a, a? 3 , a n 3 = b? a / b3. (1)没有公共点 (2)有一条公共直线4. (1)相交直线 a? 3 , b? 3 , a n b = P, a/ a , b/ a ? 3 a平行a/ 3, a A y = a, 3门丫= b?a/ b a / 3 , a? a ? a / 3 a / 3 , i 丄 a? I 丄 3O 已知平面a, 3和直

4、线a, b, a? a , b? B,且a / b,贝U a与B的关系是（）A 平行B 相交C.平行或相交D 垂直解：可在平面a内作一直线C,且c与a相交，若c平行于面3,则根据面面平行的判定定理知a / 3 ；若c与面3相交，则面a与3相交.故选C. （2015北京）设a 3是两个不同的平面， m是直线且m? a . “m/ 3 ”是“a/ 3的（）A .充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D .既不充分也不必要条件解：如果m? a , m / 3 ,那么a与3可能平行也可能相交；反过来，如果 m? a , a / 3，那么m/ 3,所 以m/ 3是all 3的必要不充分

5、条件.故选B.若直线I不平行于平面a,且l?a，则（）A . a内的所有直线与I异面B. a内不存在与I平行的直线C. a内存在唯一的直线与I平行D . a内的直线与I都相交解：因为直线I不平行于平面 a,且I?a，所以I与a相交.观察各选项，易知A , C, D都是错误的.故选B. （2016全国卷n ） a, 3是两个平面，m, n是两条直线，有下列四个命题： 如果mln, ml a , n/ 3 ,那么 a丄3 如果 m丄a, n / a，那么 ml n. 如果all 3, m? a ,那么m/ 3 如果m/ n, a / 3，那么m与a所成的角和n与3所成的角相等.其中正确的命题有.（

6、填写所有正确命题的编号）都正确.故填. 如图所示的四个正方体图形中,解：由m n, m a ,可得n/ a或n在a内，当n / 3时，a与3可能相交，也可能平行，故错.易知A, B为正方体的两个顶点，M ,N ,P分别为其所在棱的中点， 能得出AB/面MNP的图形的序号是.（写出所有符合要求的图形序号）解：在中，由于平面 MNP与AB所在的侧面平行，所以AB/平面 MNP ;在中，由于 AB与以MP为中位线的三角形的底边平行， 所以AB/ MP，又因为MP?平面MNP , AB?平面MNP.所以AB/平面MNP.中,只须平移AB,即可发现AB与平面MNP相交.故填.类型一线线平行GE） （20

7、17大冶市实验高中月考）如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，试判断EF和GH在原正方体中的位置关系，并加以证明.厂rQ解：在原正方体中EF / GH.n.证明如下：如图所示,A 将展开图还原为正方体 ABCD -A1B1C1D1, 则E, F , G, H分别是棱A1D1, A1B1, BC, CD的中点, 连接 B1D1, BD，贝U EF / B1D1 , GH / BD.又因为 B1D1 / BD，所以 EF / GH.【点拨】证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或 者运用线面平行的性质定理来证明；将展开图还原成正

8、方体，借助正方体模型，有利于我们看清问题.圧近（2017武汉市育才高级中学月考）已知平面a/平面直线a? a , B 3 ,则在B内过B点的所有直线中（）A 不存在与a平行的直线B. 存在无数条与 a平行的直线C. 存在唯一一条与 a平行的直线D .存在两条与a平行的直线解：易知过直线a和点B有且只有一个平面，该平面与平面3有且只有一条交线，此交线与a平行.故选C.类型二线面平行CE1 （2017渤海大学附属高级中学月考 ）在四棱锥P-ABCD中，AD / BC, AB = BC = *AD , E, F , H分别为线段AD , PC, CD的中点,AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.求

9、证:(1)AP /平面 BEF ;(2)GH /平面 PAD.1证明：(1)连接 EC,因为 AD / BC, BC= 2AD,BCE为AD的中点，所以 BC盘AE, 所以四边形ABCE是平行四边形， 所以0为AC的中点， 又因为F是PC的中点，所以F0 / AP, 又F0?平面BEF , AP?平面BEF, 所以AP /平面BEF.连接FH , 0H，因为F, H分别是PC, CD的中点,所以 FH / PD ,又PD?平面FAD, FH?平面FAD，所以FH /平面FAD.又因为0是BE的中点，H是CD的中点，所以 0H / AD ,又因为 AD?平面FAD , 0H?平面PAD ,所以0

10、H /平面PAD.又FH n 0H = H,所以平面 OHF /平面PAD. 又因为GH?平面0HF，所以GH /平面PAD.【点拨】要证明直线和平面平行，通常有两种方法：（1）利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；（2）由面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行第 （1）种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从 而得到线面平行第（2）种方法常用于非特殊位置的情形.（2016 全国卷川）如图，四棱锥 P- ABCD 中，PA丄底面 ABCD , AD / BC , AB= AD = AC=

11、 3, PA = BC =4, M为线段 AD上一点，AM = 2MD , N为PC的中点.（1）证明MN /平面PAB;求四面体N-BCM的体积.2 1解：（1）证明：由已知得 AM = 3AD = 2,取BP的中点T,连接AT, TN,由N为PC中点知 TN / BC, TN = BC=2.又AD / BC,故TN/AM，四边形 AMNT为平行四边形，于是 MN / AT.因为AT?平面PAB, MN?平面PAB,所以 MN /平面PAB.因为PA丄平面ABCD , N为PC的中点，1 所以N到平面ABCD的距离为-FA.取BC的中点E,连接AE.由 AB = AC= 3 得 AE丄 BC

12、, AE= ABB, C, H , G四点共面；平面EFA1 /平面BCHG.证明：（1）因为G, H分别是A1B1, A1C1的中点， 所以GH是厶A1B1C1的中位线，贝U GH / B1C1.又因为 B1C1 / BC,所以 GH / BC,所以B, C, H , G四点共面. 因为E, F分别为AB, AC的中点，所以 EF / BC ,因为EF?平面BCHG , BC?平面BCHG，所以EF /平面BCHG.又G, E分别为A1B1, AB的中点，A1B1 / AB, 所以A1GEB,所以四边形 A1EBG是平行四边形，所以 A1E/ GB.因为A1E?平面BCHG , GB?平面B

13、CHG ,所以A1E /平面BCHG.又因为 A1E A EF = E,所以平面EFA1 /平面BCHG .【点拨】（1）判定面面平行的主要方法：利用面面平行的判定定理；线面垂直的性质（垂直于同一直线的两平面平行）（2）面面平行的性质定理：两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面；若一平面与两平行平面相交，则交线平行.（3）利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行. BE2= 5.由AM / BC得M到BC的距离为 5，故Scm = 2X 4 X 5= 2,5所以四面体N-BCM的体积Vn-bcm =- S bcm23X FA =23 类型三

14、面面平行EED （2017武汉市汉阳一中月考）如图所示，在三棱柱ABC-AiBiCi中，E, F, G, H分别是AB, AC, A-B-,A1C1的中点，求证：CE23） （2017武汉市新洲区第一中学月考 ）已知正方体 ABCD-AiBiCiDi中，E，F分别是ABi, BCi上的点, 且BiE = CiF，求证：EF /平面ABCD ;平面 ADiC/平面 AiBCi.证明：（1）证法一：如图，过 E, F分别作分别交AB, BC于点M, N,连接EF , MN.因为 BBi平面 ABCD，所以 BBi AB, BBi 丄 BC.所以 EM / BBi / FN .又因为 ABi = B

15、Ci, BiE = CiF ,所以AE = BF.又/ BiAB = Z CiBC= 45 所以 Rt AME也 Rt BNF.所以 EM = FN .所以四边形 MNFE是平行四边形，所以 EF / MN.又MN?平面ABCD，所以EF /平面ABCD .证法二：过 E作EP / AB交BBi于点P,连接PF,所以B旦=BEBiA BiB因为 BiE = CiF , BiA= CiB,所以器=BB.所以 FP / BiCi / BC.又因为 EP n FP = P, AB n BC= B,所以平面 EFP /平面 ABCD.又EF?平面EFP，所以EF /平面ABCD.如图，连接 AiB,

16、DiC, ADi，由已知 ADi / BCi, CDi / AiB 又 AD i n CDi= Di, BCi n BAi = B，所以平面 ADiC /平面AiBCi.亦可连接BiD，由BiD丄平面ACDi, BiD丄平面AiCiB证明结论.揭示规律1. 证明线线平行的方法（i）利用平面几何知识；平行公理：a/ b, b / c? a/ c;线面平行的性质定理：a/ a, a? 3 , a n 3 = b? a / b；面面平行的性质定理：all 3, a n 丫 = a, 3 n 丫 = b? a / b；线面垂直的性质定理：ml a, n丄a ? m/ n.2. 证明直线和平面平行的方法

17、(1)利用定义(常用反证法)；判定定理：a? a , b? a ,且a/ b? a/ a ;利用面面平行的性质：all 3 l? a ? l / 3 ；(4) 向量法.m? a , n 丄 a, m n? m / a ;(5) 空间平行关系的传递性：m/ n , m , n ?a , m/a ? n / a; a丄 3, I丄 3 , I? a ? l / a .3. 证明面面平行的方法(1) 利用定义(常用反证法);(2) 利用判定定理：a , b? 3 , an b= P , a /a , b / a ? a/3 ;推论：a , b? 3 , m , n? a , an b= P , mn

18、 n = Q , a/ m , b/ n(或 a/ n , b / m)? a/3 ； a / 3(3) 利用面面平行的传递性： / 3 ? aY；a丄I利用线面垂直的性质：*? a/3 .3丄I4. 应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)辅助线或平面，对此需要强调的是：(1) 辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；(2) 辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断.5. 注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化线线平行L 性定定理线面平行L面面平行.应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”：“线线平行” ？ “线面平行” ？ “面面平行”；应用性质定理

19、时，注意由“高维”到“低维”：“面面平行” ？ “线面平行” ？ “线线平行”.总谏时作业1. (2017华中科技大学附属中学月考)已知直线a/ b，且a与平面a相交，那么b与a的位置关系是()A .必相交B .平行或在平面内C. 相交或平行D .相交或在平面内解：两条平行线中的一条与一个平面相交，则另一条也必定与该平面相交.故选A.2. (2017鞍钢高级中学月考)下列说法正确的是()A .若直线I平行于平面a内的无数条直线，则I /aB. 若直线a在平面a外，则a/ aC. 若直线a / b, b?平面a,贝U a/ aD .若直线a / b, b?平面a,那么直线a就平行于平面 a内的无

20、数条直线解：对于选项A，直线I有可能在平面a内，A错；对于选项 B,直线a在平面a外包括两种情形，即a / a 或a与a相交，B错；对于选项C,直线a有可能在平面a内，C错.故选D.3. （2015安徽）已知m, n是两条不同直线，a , 3是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A .若a, 3垂直于同平面，则a与3平行B. 若m, n平行于同一平面，则 m与n平行C. 若a, 3不平行，则在a内不存在与3平行的直线D .若m, n不平行，则 m与n不可能垂直于同一平面解：A项，a, 3可能相交，故错误；B项，直线m, n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m? a , a

21、 n 3= n, m / n,贝U m / 3,故错误；D项，假设m, n垂直于同一平面，则必有 m / n与 已知m, n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.故选D.4. （2017大连市教育学院附属高中月考 ）已知a, 3是不同的平面，m, n是不同的直线，给出下列命题： 若m丄a, m? 3 ,贝U a丄3； 若 m? a , n? a , m / 3 , n/ 3 ,贝U a/ 3； 若m? a , n? a , m, n是异面直线，则n与a相交； 若 an 3= m, n / m,且 n? a , n? 3 ,贝U n / a, n / 3 .其中真命题的个数是（）A . 1B.

22、 2C. 3D . 4解：符合面面垂直的判定定理，正确；只有m, n相交时成立，错误； n与a相交或平行，故不成立；符合直线与平面平行的判定定理，正确.故选B.5. （2017武汉市一冶四中月考）已知两条不同的直线 a, b,两个不同的平面 a, 3 ,若a丄a, b? 3 ,则“ a丄b” 是all 3的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解：当a / 3时，因为a丄a,所以a丄3 又因为b? 3 ,所以a丄b,贝U “a丄b”是“ all 3”的必要条件.当a丄b时，由a丄a, b? 3,可得all 3或a与3相交，则“ a丄b ”不是“a/

23、3”的充分条件. 故“a丄b”是“a/ 3的必要不充分条件.故选B.6. （2016全国卷I ）平面a过正方体 ABCD -A1B1C1D1的顶点A, a /平面CBQ1, a n平面ABCD = m, a n 平面ABBjAl n,则m, n所成角的正弦值为（）3_2_31A2B. 2C.3Dp4Dl解：因为平面a/平面CB1D1，所以平面 a与平面ABCD的交线m平行于平面 CB1D1与平面ABCD的交线I. 因为在正方体中平面 ABCD平行于平面 A1B1C1D1,所以I / B1D1,所以m/ B1D1 .同理，n平行于平面 CB1D1 与平面ABB1A1的交线.因为平面 ABB1A1

24、 /平面CDD1C1,所以平面 CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面 CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以n / CD1.故 m, n所成的角即为B1D1, CDj所成的角，显然所成的角亠V3为60 ,则其正弦值为与-.故选A.7.设a, 3 , 丫为三个不同的平面，a, b为直线，给出下列条件： a? a , b? 3 , a / 3 , b / a ； all yY ； a丄丫， B丄丫 ； a丄 a , b丄 B , al b.其中能推出all B的条件是 （填上所有正确的序号）解：在条件或条件中，a / B或a与B相交.由a/ Y B / Y ? a ll B,条件满

25、足.在中，a丄a, a ll b ? b a，又b丄B,从而all B,满足.故填.8.棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中，点P, Q, R分别是面A1B1C1D1, BCC1B1, ABB 1A1的中心，给出下 列结论： PR与BQ是异面直线； RQ丄平面BCC1B1 ; 平面PQR /平面D1AC; 过P, Q, R的平面截该正方体所得截面是边长为的等边三角形.以上结论正确的是.（写出所有正确结论的序号 ）解：由于PR是厶A1BC1的中位线，所以PR/ BQ,故不正确；由于RQ/ A1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1, 所以不正确；由于 PR/ BC1/ D1A, PQ /

26、 A1B / D1C，所以正确；由于 A1BC1是边长为 p的正三角形， 所以正确.故填.9.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，0为底面ABCD的中心，P, Q分别是DD1, CG的中点求证:（1）P0 /面 D1BQ ；平面D1BQ/平面PAO.证明：（1）连接DB，在 D1DB中，P, 0分别是DD1, DB的中点，贝V P0 / D1B，又P0?面D1BQ , D1B?面 D1BQ，所以 P0 / 面 D1BQ.易证四边形 APQB是平行四边形， 所以PA / BQ.又PA?面D1BQ , BQ?面D1BQ,所以FA /面D1BQ.又由（1） 知 P0 /面 D1BQ, PO

27、 A PA= P, PO , PA?平面 D1BQ，所以平面 D1BQ /平面 PAO.10. （2015四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC的中点为M , GH的中点为N.（1）请将字母F , G, H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；证明：直线 MN /平面BDH .解：（1）点F, G, H的位置如图所示.0M, 0H.证明：连接BD，设0为BD的中点，连接 因为M, 0分别是BC, BD的中点，1所以0M / CD，且0M =CD1又 HN / CD，且 HN =-CD所以 0M / HN , 0M = HN .所以MNH0是平行四边形，从而 MN / 0H.又MN?平面BDH , 0H?平面BDH ,所以MN /平面BDH .E