直线与抛物线的位置关系专题

1、抛物线的简单几何性质叶双能一教学目标：1. 掌握抛物线的简单几何性质2. 能够熟练运用性质解题3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想 二教学重难点：重点：抛物线的几何性质 难点：抛物线几何性质的运用 . 易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零 .三教学过程（一）复习回顾：（1）抛物线 y ax2（a 0） 的焦点坐标是 ;准线方程 .（2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点M （1,4） ，则抛物线的标准方程为2（3）过点M 2,0作斜率为1的直线I，交抛物线y 4x于A , B两

2、点，求|AB| （二）典例分析：2例1已知抛物线y 4x,直线I过定点P 2,1 ,斜率为k.k为何值时，直线I与抛物线2 y2 4x :只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？设计意图：（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线与抛物线的位置关系.（2） 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法；（3）培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想.变式1：已知抛物线方程 y2 4x ,当b为何值时，直线I : y x b与抛物线（1）只有一 个交点；（ 2）有两个公共点； （3）没有公共点；（4）当直线与抛物线有公共点时，b的最大值是多少？例2：过点Q 4,1作抛物线y2 8x的弦AB

3、，恰好被点Q所平分.（1）求AB所在的直线方程；（2 ）求|AB|的长.变式1：斜率为1的直线I经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于 A、B两点，求 线段 AB 的长.（教材 69 页例 4）方法（一）方程联立求交点坐标根据两点间距离公式方法（二）方程联立根据韦达定理求 x1+x2运用弦长公式方法(三)(数形结合)方程联立根据韦达定理求x1+x2运用焦点弦公式(1) 焦点在 x 轴上:AB|=|Xi|+|x2|+p拓展：标准方程对应的焦点弦公式：1 1 21 H(2) 焦点在 y 轴上：|AB|=|yi|+|y2|+p(由焦半径公式推导而来)变式2：已知抛物线 y x与直线y k(x

4、 1)相交于两点。(1) 求证：OA OB ； 1(2) 当 OAB的面积等于.10时，求k的值(-)6(本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法(1) 分解成两个共底的三角形的面积之和(2) 利用底乘高的一半公式变式3:已知抛物线c： y2 2x.(1).若直线y kx k 1与曲线C只有一个交点，求实数 k的取值范围.(2)求过点P 0,1且与抛物线C只有一个公共点的直线方程.(3).过点A 1,1作抛物线C弦AB，恰好被点A所平分，求 AB的直线方程和弦| AB |的长.(1)c 1 31 30, ,-2 2；(2)x10或 y 1 或 y x 1 )；(3) y2x,2 2例3.过抛物

5、线y2(1).求证：yy2p MX?2p4(2).求证：ABXX2p兰1(为直线的倾斜角)sin11 2(3).求证：两|FB| p.求证 A1FB1902 px的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(X1, y1), B(X2, y2)(5).求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.求证：以AF (或BF)为直径的圆与y轴相切(7) .求证：点A、0、B1三点共线.(8) .若 AF a, BF b，M 是 A1,B1 的中点，求证 MFTab变式练习：若抛物线的方程为X2 2py，则能得到什么结论？例4 已知抛物线 C : y2 4X .(1) 在抛物线 C上求一点P,使得点P到直线y x

6、3的距离最短(2) 在抛物线C上求一点P,使得点P到点 A 3,0的距离最近，并求最近的距离.(3) 若点A的坐标为1,1，在抛物线C上求一点P使得|PF| |PA|最小，并求最小值.(4) 若点A的坐标为1,4，在抛物线C上找一点P使得|PF| |PA|最小，并求最小值.(5) 在抛物线 C上求一点P,使得点P到点 A 0,2距离与P到准线的距离之和最小，并 求最小的值.(6 )求下列函数的最值.y 1(l)z(2) z x yx 2(7)过抛物线C的焦点F,做互相垂直的两条焦点弦AB和CD，求| AB | |CD |的最小值.变式1:过抛物线y2 4ax (a 0)的焦点F,做互相垂直的两

7、条焦点弦AB和CD，求| AB | |CD |的最小值.变式2:过定点M(4,0)作直线L,交抛物线y2 4x于A、B两点，F是抛物线的焦点，求 AFB 的面积的最小值。2变式3:已知抛物线C: y 4x的焦点为F,过点F的直线L与C相交于A、B两点。16(1)若AB 一，求直线L的方程。(2)求AB的最小值。3例5.已知抛物线y2 2px(p 0)的动弦AB恒过定点M(2p,0)，求证：kOA.kOB1变式1:若直线L与抛物线y2 2px(p 0)交于A、B两点，且OA丄OB ,:求证：直线L过定点变式2：如图所示，F是抛物线 寸 2px(p 0)的焦点，点A 4,2为抛物线内一定点，点P为

8、抛物线上一动点，且|PA | |PB|的最小值为8.(1) 求抛物线的方程；(2) 若0为坐标原点，问是否存在点 M，使过点M的动直线与抛物线交于B,C两uuu uuir 点，且OB.OC 0 ,若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.三练习反馈：1. 抛物线 y 12x上与焦点的距离等于 9的点的坐标为 .2. 过抛物线y2 8x的焦点作直线交抛物线于A(Xi, yi ), B(x2,祠 两点，如果人x? 6 ,贝 y | ab |=.23.已知抛物线y 2px( p0)的焦点为F,点PXi,% 卫X2,y?,F3沁出 在抛物线上，且Xi,X2,X3成等差数列，则有()A. | FP

9、i | |FP2 | |FP3 |C. 2| FP2 | | FP3 | |FPi|4一个正三角形的三个顶点，都在抛物线三角形的面积B. |FPi|2 |FP2|2 |FP3|2D. IFP2I2 IFP3M FPi|2y4x上，其中一个顶点为坐标原点，求这个25直线y x 2与抛物线y 2x相交于 代B两点，求证：OA OB6已知直线与抛物线 点D,点D的坐标为2 _y 2 px (p 0)交于代B两点,2,i ,求p的值.OA OB,且OD AB并交AB于第2题图7.设直线y 2x b与抛物线y2 4x交于A,B两点，已知弦| AB | 3 5，点P为抛物线PAB30,求点P的坐标(i6,8 , 9, 6 )8过抛物线 y 2px（p 0）焦点F的直线交抛物线于 代B两点，通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点 D，求证：直线 DB平行于抛物线的对称轴29（05北京）如图，O为坐标原点，过点.P 2,0，且斜率为k的直线l交抛物线y 2x于M x1, y( , N x2,y2 两点.（1）写出直线l的方程；（2）求X1X2与y2的值；（3）求证OM ON2x相交210.已知直线l : y x b与