2020大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义：第9章第03节圆的方程Word版含答案.doc

1、第三节圆的方程考点咼考试题考查内容核心素养圆的方程2015全国卷n T7 5分求过三点的圆的方程数学运算2015全国卷I T20 12分直线与圆的位置关系数学运算2016全国卷川 T15 5分直线与圆的位置关系数学运算命题分析圆的方程是高考热点，每年必考，选择填空解答都有可能，客观题突出小而 巧，主要考查圆的标准方程，主观题与圆锥曲线结合命题.踝前懂H菽轻鼻2m辛冬灿真樋杯界肃必知识清单1.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于_宀【/ 定长的点的集合(轨迹)标准2 2 2(x a) + (y b) = r (r 0)方程圆心:(a, b),半径：r一般x2 + y2+ Dx + Ey+ F

2、 = 0_,圆心:(DE、 0)半径：2阴 + E2 4F2. 点与圆的位置关系点 M(Xo, y)与圆(x a)2 + (y b)2 = r2 的位置关系：2 2 2(1) 若 M(xo, yo)在圆外，贝H(xo a) + (yg b) r _.222(2) 若 M(xo, yo)在圆上，贝H(xg a) + (yg b) = r _.ooo(3) 若 M(xo, yo)在圆内，贝H _(xo a) + (yg b) vr _.提醒：1辨明两个易误点(1) 求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个 独立方程.(2) 对于方程x2 + y2 + Dx + Ey

3、+ F = 0表示圆时易忽视 D2+ E2 4F 0这一条件.2.求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理，垂径定理等平面中圆 的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离.（2）在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形.0小题查检1 判断下列结论的正误（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）确定圆的几何要素是圆心与半径.（）2 2 2（2）方程（x+ a） + （y+ b）=t（t R）表示圆心为（a, b）,半径为t的一个圆.（）方程x2 + y2 + 4mx 2y = 0表示圆.（）（4）若点 M（xo,

4、 yo）在圆 x2 + y2 + Dx + Ey + F= 0 夕卜，贝V x0+ yf+ Dx+ Ey+ F 0.（）答案：（1）2（2） X （3） V （4） V2.（教材习题改编）圆3x2+ 3y2+ 6x 12y+ 7= 0的圆心坐标为（）A. ( 3,6)C. (1,2)B (3, 6)解析：选D圆的方程可化为x2+ y2+ 2x 4y +1 = 0所以圆的圆心为D. ( 1,2)(1,2).3. （教材改编）圆C的圆心在x轴上，并且过点A（ 1,1）和B（1,3），则圆C的方程为解析：设圆C的方程为x2+ y2 + Dx + Ey+ F = 0,E= 0由题意 S1+ 1 D +

5、 E+ F = 0+ 9+ D + 3E+ F = 0 E= 0, F = 6, D = 4.答案：x2 + y2 4x 6 = 04. （2016浙江卷）已知a R,方程a2x2 + （a + 2）y2 + 4x+ 8y+ 5a = 0表示圆，贝恫心坐标 是，半径是解析：由已知方程表示圆，贝Ua2= a+ 2,解得a= 2或a= 1.当a = 2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当 a = 1 时，原方程为 x2 + y2 + 4x+ 8y 5 = 0,化为标准方程为（x + 2）2+ （y+ 4）2= 25,表示以（一2, 4）为圆心，半径为 5的圆.答案：（一2, 4）5课堂吻直突忒求

6、圆的方程明技法求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.待定系数法： 若已知条件与圆心(a, b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a, b, r的方程组，从而求出 a, b, r的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E, F的方程组，进而求出 D , E, F的值.提能力【典例1】 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A . (x 1)2+ (y1)2= 1B. (x+ 1)2+ (y+ 1)2= 1C. (x+ 1)2+ (y+ 1)2= 2D. (x 1)2+ (y 1

7、)2= 2解析：选D 圆的半径r =12 + 12= 2,圆的方程为(x 1)2+ (y 1)2= 2.【典例2】(2016全国卷n )圆x2 + y2 2x 8y+ 13= 0的圆心到直线 ax+ y 1= 0的距a 4一 3 则 一1,AC.3D. 2解析：选A 由圆的方程x2+ y2-2x 8y+ 13= 0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距 离公式得 d= I 4 J= 1，解之得 a=寸1 + a3刷好题1. (2016天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点 M(0, .5)在圆C上，且圆心 到直线2x y= 0的距离为纠5则圆C的方程为5解析：设。C的圆心C(a,0)(a0

8、),|2a|= 4/5,22+ 1 2 5 a= , a0,. a = 2.：O C 的方程(x 2)2+ y2= r2.又 M 在O C 上, 22+ 代5)2= r2, r2= 9.圆 C 方程(x 2)2+ y2= 9.答案：(x 2)2+ y2= 92 22. (2015全国卷I )一个圆经过椭圆x6 + 丁 = 1的三个顶点，且圆心在 x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为解析：设圆心坐标为(m,0)，则半径为4 m,由题意知 m2+ 22= (4 m)2. 解得m=3,所以圆的标准方程为x 2 2+ y2= 25.答案：x 2 2+ y2= 25与圆有关的轨迹问题明技法求与圆有关的轨迹

9、问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1) 直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2) 定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3) 几何法，禾U用圆的几何性质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.提能力【典例】(2018潍坊调研)已知圆x2 + y2= 4上一定点A(2,0), B(1,1)为圆内一点，P, Q 为圆上的动点.(1) 求线段AP中点的轨迹方程；若/ PBQ = 90 求线段PQ中点的轨迹方程.解：(1)设AP的中点为M(x, y),由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x 2,2y).因为P点在圆x2 + y2 = 4上，所以(2x 2)2 +

10、 (2y)2= 4,故线段AP中点的轨迹方程为(x 1)2+ y2= 1.(2) 设PQ的中点为N(x, y),在 Rt PBQ 中，|PN|= |BN|.设O为坐标原点，连接 ON,贝U ON丄PQ,所以 |OP|2= |ON|2+ |PN2= |ON|2+ |BN|2,所以 x2 + y2 + (x 1)2+ (y 1)2= 4.故线段PQ中点的轨迹方程为 x2+ y2 x y 1 = 0.刷好题(2018天津模拟)设定点M( 3,4)，动点N在圆x2 + y2= 4上运动，以OM、ON为两边 作平行四边形 MONP，求点P的轨迹.解：如图所示，设P(x, y), N(x, y),则线段o

11、p的中点坐标为g, y i,线段MN的中点坐标为x0y3，y4由于平行四边形的对角线互相平分，故1=XQ 32 ，y yo+ 42= 2xq= x+ 3, 从而iyo= y-4.又N(x+ 3, y- 4)在圆上，故(x+ 3)2+ (y-4)2= 4.因此所求轨迹为圆：(x + 3)2+ (y- 4)2= 4,但应除去两点一,12和一21，28 (点P在直线0M上的情况).与圆有关的最值问题析考情与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题.提能力命题点1:斜率型最值问题【典例1】 已知实数x, y满足方程X2+ y2-4x+ 1 =

12、0,则丫的最大值为 ，最小X 值为.解析：原方程可化为(X 2)2+ y2= 3,表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆y的几何意义X是圆上一点与原点连线的斜率，所以设X= k,即y=収.当直线y = kX与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2；01=3, 解得k=. 3.(如图) 所以y的最大值为 3，最小值为一.3.X答案：3 3命题点2 :截距型最值问题【典例2】 在典例1条件下，求y x的最大值.解：原方程可化为(x 2)2 + y2= 3，圆心(2,0)，半径r = 3.设y x= b, y x可看作是直线y = x+ b在y轴上的截距，当直线y= x+ b与圆相切时, 纵截距b

13、取得最大值或最小值，此时|2 丁 b|= .3，解得b= 2 6.所以y x的最大值为一2+ 6. 命题点3 :距离型最值问题【典例3】 在典例1条件下求x2+ y2的最大值和最小值.解：x2+ y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 寸(2 - 0 $ + (0- 0 $ = 2, 所以x + y?的最大值是(2 += 7+ 4; 3,x2+ y2 的最小值是(2 3)2= 7 4 3.命题点4 :利用对称性求范围【典例4】 设点M(x0,l)，若在圆O: x2+ y2= 1上存在点N，使得/ OMN =

14、 45则x0 的取值范围是.解析:由题意可知 M在直线y= 1上运动，设直线 y = 1与圆x2+ y2= 1相切于点P(0,1).当x0 =0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N( ,0)符合要求；当0时，过M作圆的切线，切点之一为点 P,此时对于圆上任意一点N,都有/ OMNw/ OMP，故要存在/ OMN=45只需/ OMP 45.特别地，当/ OMP = 45寸，有x=.结合图形可知，符合条件 的X。的取值范围为1,1.答案：1,1明技法与圆有关的最值问题的求解方法(1)形如 尸yb的最值问题，可转化为过定点的动直线的斜率的最值问题.(如命题点x a1)形如t= ax+ by的最值问题

15、，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解.(如命题点2)形如m= (x a)2+ (y b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题.(如命题点3)(4) 与圆相关的最值，若几何意义明显时， 可充分利用几何性质， 借助几何直观求解. 否 则可用代数法转化为函数求最值.(如命题点4)刷好题2 21. 设P为直线3x 4y + 11 = 0上的动点，过点 P作圆C: x + y 2x 2y + 1 = 0的两条切线，切点分别为 A, B,则四边形PACB的面积的最小值为 .解析：圆的标准方程为(x 1)2+ (y 1)2= 1,圆心为C(1,1)，半径为r = 1,1 丐根据对称性可知，四边形 PACB的面积为2Sapc= 2XIPAIr = |FA|= |PC|2 r2,要使四边形FACB的面积最小，则只需|FC|最小，最小值为圆心到直线1: 3x 4y+ 11=0 的距离 d = |34+ 11|2= 10= 2 .%/32 +(-4 J 5所以四边形FACB面积的最小值为|PC|min r2= 4 1 = .3.答案：32. 已知 M(m, n)为圆C: x2 + y2 4x 14y+ 45= 0上任意一点，贝V -