2013年上海高考数学文科-含答案,推荐文档

1、2013 年上海高考数学试题（文科）一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分x1不等式2x -1 0 ，若9x + a +1对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围为xurur14. 已知正方形 abcd 的边长为 1记以 a 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a1 、 a2 、urururura3 ；以c 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c1 、c2 、c3 若i, j, k, l 1, 2, 3且i j, k l ，则 ur + urur ur (aia j ) (ck + cl )的最小值是

2、二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分15函数 f (x)= x2 -1(x 1)的反函数为 f -1 (x)，则 f -1 (2)的值是（）3322（a）（b） -（c） 1+（d） 1-16设常数 a r ，集合 a = x | (x -1)(x - a) 0， b = x | x a -1若 a u b = r ， 则 a 的取值范围为（）（a） (-, 2)（b） (-, 2（c） (2, +)（d） 2, +)17. 钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货

3、”是“不便宜”的（）（a）充分条件（b）必要条件（c）充分必要条件（d）既非充分又非必要条件x2 + ny2= 1围成的区域（含边界）为w ( =)()18. 记椭圆44n +1n n1, 2,l ，当点 x, y 分别在nw1, w2 ,l 上时， x + y 的最大值分别是 m1 , m 2 ,l ，则lim mn = （）a0b 1 42c2d 2三解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤19（本题满分 12 分）如图，正三棱锥o - abc 底面边长为2 ，高为1，求该三棱锥的体积及表面积obac第19题图20（本题满分 14

4、 分）本题共有 2 个小题第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分甲厂以 x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1 x 10 ），每小时可获得 3的利润是100(5x +1-) 元x13（1） 求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为100a(5 +- ) ；xx2（2） 要使生产900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润21（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8分已知函数 f (x) = 2 sin(fx) ，其中常数f 0 （1） 令f=1 ，判断函数 f (x) = f (x)

5、 + f (x +f) 的奇偶性并说明理由；2f (x) 的图像向左平移f1个单位，得到函数（2） 令f= 2 ，将函数 y = 个单位，再往上平移6y = g(x) 的图像对任意的 a r ，求 y = g(x) 在区间a, a +10f 上零点个数的所有可能值22（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分已知函数 f (x) = 2- | x |无穷数列an满足 an+1 =（1）若 a1 = 0 ，求 a2 ， a3 ， a4 ；f (an ), n n * （2） 若 a1 0 ，且 a1 ， a2 ， a3

6、成等比数列，求 a1 的值；（3） 是否存在 a1 ，使得 a1 ， a2 ， a3 ， an 成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1 ； 若不存在，说明理由23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分x22 =+如图，已知双曲线c1 ： 2 - y1，曲线c2 ： | y | | x |1. p 是平面内一点，若存在过点 p 的直线与c1 、c2 都有公共点，则称 p 为“c1 - c2 型点”（1） 在正确证明c1 的左焦点是“ c1 - c2 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不

7、要求验证）；（2） 设直线 y = kx 与c2 有公共点，求证| k | 1，进而证明原点不是“ c1 - c2 型点；（3） 求证：圆 x2 + y2 = 1 内的点都不是2“ c1 - c2 型点”参考答案一、选择题11 (0, )2【解析】 x(2x - 1) 0 3x = 4 x =3 log 4【解析】cos x cos y + sin x sin y = cos(x - y) = 1 cos 2(x - y) = 2 cos2 (x - y) -1 = - 733fr10. 【解析】 由题知，tan=6l53 l =3r93c 2511. 解：7 个数 4 个奇数，4 个偶数，根

8、据题意所求概率为1- 4 =c7727【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。7从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有c 2 = 21个42个数之积为奇数 2个数分别为奇数，共有c 2 = 6个.c 265c7所以2个数之积为偶数的概率p = 1 -4 = 1 -=221712. 4 6x22gy解：不妨设椭圆 的标准方程为34b2 = 4 , 2c = 4 6 33法二：【解析】 如右图所示。+ b2= 1，于是可算得c(1,1) ，得cadb设d在ab上，且cd ab, ab = 4, bc =2, cba = 45 cd = 1, db = 1, ad = 3 c(1,1)

9、, c 2a = 4, 把c(11)代入椭圆标准方程得 1 + 1 = 1, a 2 = b 2 + c 2 b 2 = 42 = 8a 2b 233 2c = 46313 1, +)5【解析】 考查均值不等式的应用。由题知，当x 0时, f (x) = 9x +a 2 2x= 6a a + 1 a 19x + a 2x514 -5【解析】 根据对称性，当向量(ai + a j )与(ck + cl )互为相反向量，且它们的模最大时 (ai + a j )(ck + cl )最小。这时ai = ac, a j= ad, ck = ca,cl = cb,(ai+ a )j(c +k c ) =l

10、 - | a + ia ) |2 = -53j15a【解析】 由反函数的定义可知，x 0,2 = f (x) = x 2 - 1 x = a 1 a 116b 解：集合 a 讨论后利用数轴可知， a -1 1或a -1 a ，解答选项为 b法二：代值法，排除法。当 a=1 时，a=r，符合题意；当 a=2 时，q b = 1,+), a = (-,1 +),2) a b = r, 符合题意。综上，选 b标准解法如下: q b = a - 1,+), a b = r a (-, a - 1)由(x - 1)(x - a) 0 当a = 1时，x r,当a = 1符合题意；当a 1时x (-,1

11、a,+)， 1 a - 1解得1 a 2;当a 1时x (-, a 1,+) a a - 1 a + 44 + 1 = 441n联立 44u = x + y1 x 2 + (u - x)2 = 4 2x 2 - 2ux + u 2 - 4 = 0 d = 4u 2 - 8(u 2 - 4) 0 u 2 - 2(u 2 - 4) 0 8 u 2 u -2选 d19【解析】 三棱锥o - abc的体积vo- abc2,2所以x + y的最大值为,22,23= 1 s1 = 1 3dabc3设o在面abc中的射影为q, bc的中点为e,则oq = 1，qe =3 ，在rtdoqe中323，oe 2

12、= oq 2 + eq 2 12 + (3 ) 2 = 4 oe =三棱锥o - abc的表面积s3o- abc3= 3sdobc+ sdabc= 3 bc oe += 3 2所以，三棱锥o - abc的体积vo- abc3333=, 表面积s3o- abc = 33 x20解：（1）每小时生产 x 克产品，获利100 5x +1- ， 生产 a 千克该产品用时间为 a ，所获利润为100 5x +1- 3 a = 100a 5 + 1 -3 x x x2 .xx13 11 61（2）生产 900 千克该产品，所获利润为90000 5 +- 2 = 90000 -3- + xx x6 12 所

13、以 x = 6 ，最大利润为90000 61 = 457500 元。12ff21. 法一：解：（1） f (x) = 2 sin x + 2 sin(x +f (x) 是非奇函数非偶函数。) = 2 sin x + 2 cos x = 2 2 sin(x + ) 24ffffff2 f (- ) = 0, f ( ) = 2， f (- ) f ( ), f (- ) -f ( )44f4444函数 f (x) = f (x) + f (x +) 是既不是奇函数也不是偶函数。2ff（2）f= 2 时， f (x) = 2 sin 2x ， g(x) = 2 sin 2(x +其最小正周期t =

14、 f ) +1 = 2 sin(2x + ) +1，63ff1由2 sin(2x + ) +1 = 0 ，得sin(2x + ) = -，f3f3k 2f fkfk 2x + =kf- (-1) , k z ， 即 x =- (-1) - , k z36区间a,a +10f的长度为 10 个周期，2126若零点不在区间的端点，则每个周期有 2 个零点；若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含 3 个零点，其它区间仍是 2 个零点；kfk f f故当 a =- (-1) - , k z 时，21 个，否则 20 个。2126法二：【解析】 （1）f= 1时，f (x) = 2 si

15、n x, f (x) =f (x) + f (x + f= 2 sin x + 2 sin(x + f)f22f222= 2 sin x + 2 cos x = 2sin(x +),q 周期t = 2f,y = 2sin x是奇函数图像左移ff (x) =42 2 sin(xff+ ，即不是奇函数，也不是偶函数。4 后得4 )f（2） =2，将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y=g(x):6f (x -ff (x) = 2 sin 2x, g(x) =)6+ 1 = 2 sin 2(x - f ) + 1, 最小正周期t = f6.令f (x) =

16、0 sin 2(x - f ) = - 1 在一个周期内最多有3个零点，最少2个零点。62所以 y=g(x)在区间a, a+10、其长度为 10 个周期上，零点个数可以取 20,21 个22. 【 解 析 】（1）由an+1 = f (an ) an+1 = 2- | an | .a1 = 0 a2 = 2, a3 = 0, a4 = 2a 22（2） q a , a , a 成等比 a= 2 = 2- | a | a= a (2- | a |)， 且 a = 2- | a |a12332212211 (2- | a |)2 = a 2- | 2- | a | (2 - a )2 = a 2-

17、 | 2 - a |111111分情况讨论如何：当2 - a 0时，(2 - a )2 = a 2 -（2 - a ）= a 2 a = 1，且a 21111111当 2 - a 0 时，(2 - a )2 = a 2 -（a - 2）= a (4 - a ) 2a 2 - 8a + 4 = 0 a 2 - 4a+ 4 = 21111111111 2a 2 - 8a + 4 = 0 (a - 2) 2 = 2 a = 2 +2，且a 2111112综上，a1 = 1，或a1 = 2 +（3） 假设存在公差为d的等差数列an 满足题意，, 则：n n*, an+1 = 2- | an |= an

18、 + d 2 - d = an + | an | . 讨论如下:当an = m即数列an 为常数数列时，d = 0,2 = 2an an = 1 a1 = 1当数列an 不是常数数列时 an 0, 所以不满足题意。综上，存在a1 = 1的等差数列an , 且an = 1满足题意。23. 【解析】 （1）x 2由c1方程：2- y 2 = 1可知：a 2 = 2, b 2 = 1,c 2 = a 2 + b2 = 3, f1(- 3,0)3显然，由双曲线c1 的几何图像性质可知，过 f1的任意直线都与曲线c1相交.在曲线c2 图像上取点 p(0,1),则直线 pf1与两曲线c1、c2均有交点。这

19、时直线方程为3y =(x +33) 3y - x -= 03所以，c1 的左焦点是“c1-c2 型点”.过该焦点的一条直线方程是 3y - x -= 0 .（2） 先证明“若直线 y=kx 与c2 有公共点，则 k 1”. x双曲线c1的渐近线：y = b = 12a1 x.2若直线y = kx与上上 上 c1有交点，则k a =（- 12,）.若直线y = kx与上上 c2有交点，则k b =（- ，-1）（1，）.所以，若直线 y = kx 与c2 有公共点，则 k 1 . （证毕）q a b = f,直线y = kx与上上 c1、c2不能同时有公共交点。所以原点不是“c1-c2 型点”；

20、（完）（3） 设直线l 过圆 x 2 + y 2 = 1 内一点，则斜率不存在时直线l 与双曲线c 无交点。21设直线l 方程为：y = kx + m，显然当 k=0 时直线l 与双曲线c1 不相交。经计算，圆 x 2 + y 2 = 1 内所有点均在曲线c22y = x + 1的延长线所围成的区域内，所以12当 k = b = a时，直线l 与曲线c1不相交。若直线l 与曲线c2相交，则 k 2 1 2下面讨论 k 1时的情况。k 2 +112圆心到直线l 的距离 | m | 2m2 - 1 24m2 - 2 1 + m2m2 4m2 - 2 m f2k 222 1 + m21 m2所以，过圆 x2 + y2 = 1 内任意一点做任意直线，均不存在与曲线c 和c同时相交。即圆12x2 + y2 =内的点都不是“c -c112型点”.(证毕)22“”“”at the end, xiao bian giv