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文档简介
1、坐标系与参数方程*选考内容坐标系与参数方程高考考试大纲要求:1. 坐标系: 理解坐标系的作用. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2. 参数方程: 了解参数方程,了解参数的意义. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.第一讲1、平面直角坐标系y = ay,(a 0).伸缩
2、变换:设点 p(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换a: x = a x,(a 0), 的作用下,点 p(x, y) 对应到点 p(x, y) ,称a为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。- 17 -方法 1:求伸缩变换后的图形。由伸缩变换公式解出 x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。例::在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。方法 2:待定系数法求伸缩变换。求伸缩变换时,先设出变换,再代入原方程或变换后的方程,求出其中系数即可。例:在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:二、极坐标1. 极坐标系的概念:在平面内取
3、一个定点o ,叫做极点;自极点o 引一条射线ox 叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。2. 点m 的极坐标:设m 是平面内一点,极点o 与点m 的距离| om | 叫做点m 的极径,记为a; 以极轴ox 为始边,射线om 为终边的xom 叫做点m 的极角,记为a。有序数对(a,a) 叫做点m 的极坐标,记为m (a,a) .极坐标(a,a) 与(a,a+ 2ka)(k z) 表示同一个点。极点o 的坐标为(0,a)(a r) .3.若a 0 ,规定点(-a,a) 与点(a,a) 关于极点对称,即(-a,a) 与(a,
4、a+a) 表示同一点。如果规定a 0,0 a 2a,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(a,a) 表示;同时,极坐标(a,a) 表示的点也是唯一确定的。a2= x2 + y2 ,x =acosa,y = asina,tana= y (x 0)x4. 极坐标与直角坐标的互化:如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点 m的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(,)(1) 极坐标化直角坐标(2) 直角坐标化极坐标)2x2y2,ytan (x 0).x方法 3:极坐标与直角坐标的互化例:3(1) 点 m (- 2,- 2的极坐标是 (2) 点 m 2
5、, 2a 的直角坐标是 3练:三、简单曲线的极坐标方程1. 圆的极坐标方程:(1) 特殊情形如下表:圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0,0)r(02)圆心在点(r,0)2rcos_(22) 圆心在点(r,2)2rsin_(0)圆心在点(r,)2rcos_3(2 2 )3 圆心在点(r, 2 )2rsin_(0)(2) 一般情形:设圆心 c(0,0),半径为 r,m(,)为圆上任意一点,则|cm|r,com|0|,根据余弦定理可得圆 c 的极坐标方程为 220cos(0)0r20即r 2 = a2 + a2 - 2a cos(a-a )0002. 直线的极坐标方程:(1) 特殊情形如下表:直线
6、位置极坐标方程图形过极点,倾斜角为 (1)(r) 或 (r) (2)(0) 和 (0)过点(a,0),且与极轴垂直(a)cos_a( )22,过点2 ,且与极轴平行sin_a(0)过点(a,0)倾斜角为 sin()asin (0)(2) 一般情形,设直线 l 过点 p(0,0),倾斜角为 ,m(,)为直线 l 上的动点,则在opm 中利用正弦定理可得直线 l 的极坐标方程为sin()0sin(0)方法 4:直角坐标方程与极坐标方程的互化方法 5:极坐标系下的运算方法 6:曲线极坐标方程的求法四、柱坐标系与球坐标系简介(了解)1、柱坐标系(1) 定义:一般地,如图建立空间直角坐标系 oxyz.设
7、 p 是空间任意一点,它在 oxy 平面上的射影为q,用(,)(0,02)表示点 q 在平面 oxy 上的极坐标,这时点p的位置可用有序数组(,z)(zr)表示这样,我们建立了空间的点与有序数组(,z)之间的一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(,z)叫做点 p 的柱坐标,记作 p(,z),其中0,02,zr(2) 空间点 p 的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(,z)之间的变换公式为2、球坐标系xcos ysin )zz(1) 定义:一般地,如图建立空间直角坐标系 oxyz.设 p 是空间任意一点,连接 op,记|op|r,op 与oz 轴正向所夹的角为 ,设 p 在
8、oxy 平面上的射影为 q,ox 轴按逆时针方向旋转到 oq 时所转过的最小正角为 ,这样点 p 的位置就可以用有序数组(r,)表示,这样,空间的点与有序数组(r,)之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,), 叫做点 p 的球坐标,记作 p(r,),其中 r0,0,0b0)的参数方程是ybsin )( 是参数),规定参数 的取值范围是0,2)y2x2xbcos (2) 中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆a2b21(ab0)的参数方程是yasin )( 是参数),规定参数 的取值范围是0,2)(3) 中心在(h,k)的椭圆普通方程为(xh)
9、2(yk)2xhacos a2b21,则其参数方程为ykbsin )( 是参数)2. 双曲线的参数方程x2y2xasec (1) 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线a2b21 的参数方程是ybtan )( 为参数),规定参数 3的取值范围为 0,2)且 2, 2 y2x2xbtan (2) 中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线a2b21 的参数方程是yasec )( 为参数)3. 抛物线的参数方程x2pt2)(1) 抛物线 y22px 的参数方程为 y2pt (t 为参数)(2) 参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 方法 1:参数方程和普通方程的互化五、直
10、线的参数方程1. 直线的参数方程xx0tcos )经过点 m0(x0,y0),倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 yy0tsin (t 为参数)2. 直线的参数方程中参数 t 的几何意义(1) 参数 t 的绝对值表示参数 t 所对应的点 m 到定点 m0 的距离m0mm0m(2) 当与 e(直线的单位方向向量)同向时,t 取正数当与 e 反向时,t 取负数,当 m 与 m0重合时,t03. 直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程,选取的参数不同,会得到不同的参数方程我们把过点 m0(x0,y0),倾)xx0tcos 斜角为 的直线,选取参数 tm0m 得到的参数方程 yy0tsin (
11、t 为参数)称为直线参数方程的标准形式,此时的参数 t 有明确的几何意义bxx0at一般地,过点 m0(x0,y0),斜率 ka(a,b 为常数)的直线,参数方程为yy0bt)(t 为参数),称为直线参数方程的一般形式,此时的参数 t 不具有标准式中参数的几何意义方法 2:求直线参数方程方法 3:参数方程问题的解决办法解决参数问题的一个基本思路:将其转化为普通方程,然后在直角坐标系下解决问题。方法 4:利用参数的几何意义解题六、渐开线与摆线(了解)1. 渐开线的概念及参数方程(1) 渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,
12、 逐渐展开,铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆(2) 圆的渐开线的参数方程以基圆圆心 o 为原点,直线 oa 为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系设基圆的半径为 r,绳子)xr(cos sin ),外端 m 的坐标为(x,y),则有yr(sin cos)( 是参数)这就是圆的渐开线的参数方程2. 摆线的概念及参数方程(1) 摆线的产生过程及定义平面内,一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹,叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线(2) 半径为 r 的圆所产生摆线的参数方程为)xr(sin ),yr(1cos ) ( 是参数)练习x = -2 + 5
13、t1. 曲线 y = 1- 2t(t为参数) 与坐标轴的交点是()21a (0, ) 、( , 0)5211b (0, ) 、( , 0)52c (0, -4)、(8, 0)d5 、(8, 0)(0, )92. 把方程 xy = 1化为以t 参数的参数方程是()1x = sintx = cos tx = tan ta. x = t2 1b 1c 1d 1 y = t - 2 y =y =sin ty =cos ttan tx = 1+ 2t3. 若直线的参数方程为 y = 2 - 3t (t为参数) ,则直线的斜率为()2a. 3b.- 23c.3- 32d.24点(1,2) 在圆x = -1
14、+ 8 cosa) y = 8sina的(a. 内部b外部c圆上d与 的值有关x = t + 15. 参数方程为t (t为参数) 表示的曲线是() y = 2a. 一条直线b两条直线c一条射线d两条射线x = -3 + 2 cosax = 3cosa6. 两圆y = 4 + 2sina 与 y = 3sina的位置关系是()a. 内切b外切c相离d内含1- tt7. 与参数方程为x = y = 2 (t为参数) 等价的普通方程为()2y22y2a.x + 4 = 1b. x + 4= 1(0 x 1)c. x2 + y24= 1(0 y 2)d. x2 + y24= 1(0 x 1,0 y 2
15、)8. 曲线x = 5 cosa a3 y = 5sin a (a a) 的长度是()a.5ab.0ac.5a 3d 10a39. 点 p(x, y) 是椭圆2x2 + 3y2 = 12 上的一个动点,则 x + 2 y 的最大值为()112322a. 2b.2c.dx = 1+ 1 t10. 直线2(t为参数) 和圆 x2 + y2 = 16 交于 a, b 两点,则 ab 的中点坐标为() y = -3a (3, -3)3+3 t 2b.(- 3, 3)c ( 3, -3)x = 4t 2d (3, - 3)11. 若点 p(3, m) 在以点 f 为焦点的抛物线 y = 4t (t为参数
16、) 上,则| pf | 等于()a.2b.3c.4d.512直线x = -2 + t (t为参数) 被圆(x - 3)2 + ( y +1)2 = 25 所截得的弦长为()8293 + 4 3 y = 1- t98ab 4014cd13参数方程x = et + e-t y = 2(et - e-t )(t为参数) 的普通方程为2t214直线x = -2 -2t y = 3 +(t为参数) 上与点 a(-2, 3) 的距离等于的点的坐标是15. 直线x = t cosa与圆x = 4 + 2cosa y = t sinay = 2sina相切,则a=316. 设 y = tx(t为参数) ,则圆
17、 x2 + y2 - 4 y = 0 的参数方程为17. 17.离求直线l1x = 1+ t: y = -5 +(t为参数) 和直线l2 : x -3ty - 2= 0 的交点 p 的坐标,及点 p 与q(1, -5) 的距18. 18.已知直线l 经过点 p(1,1) ,倾斜角a= a,6(1) 写出直线l 的参数方程(2) 设l 与圆 x 2 + y 2 = 4 相交与两点 a, b ,求点 p 到 a, b 两点的距离之积x = 1 (et + e-t ) cosa19.分别在下列两种情况下,把参数方程 y =21 (et - e-t )sina 2化为普通方程:(1)a为参数, t 为
18、常数;(2) t 为参数,a为常数已知直线l 过定点 p(-3, - 3) 与圆c : x = 5 cosa为参数) 相交于 a 、 b 两点20. 20.a2 y = 5sina (求:(1)若| ab |= 8 ,求直线l 的方程;)(2)若点 p(-3, - 3为弦 ab 的中点,求弦 ab 的方程2“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the l
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