椭圆知识点归纳总结和经典例题

1、椭圆典型例题例1已知椭圆mx3y圆的方程为- 9 6m 0的一个焦点为（0, 2）求m的值.2解：方程变形为62 1 .因为焦点在y轴上，所以2m 6，解得m 3 .2m又c 2，所以2m 6 22 , m 5适合.故m 5 .例2已知椭圆的中心在原点，且经过点 P 3,0 , a 3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运 用待定系数法，求出参数a和b （或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程.2解：当焦点在X轴上时，设其方程为笃a9 / 8由椭圆过点P3,0，知a_01 .又a3b ,代入得b21，a29，故椭y2 1.当焦点在y轴上时，

2、设其方程为2 2yx2,2ab由椭圆过点P3,0，知9202 1 .又a 3b，联立解得a2 81，b2 9，故椭圆a b2 2的方程为y X 1 .819例3 ABC的底边BC 16，AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重 心G的轨迹和顶点A的轨迹.分析：（1）由已知可得GCGB 20,再利用椭圆定义求解.（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求 A的轨迹方程.解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系设 G点坐标为x, y ,由GC GB 20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点因a 10 , c 8，有b 6 ,2 2故其方程为-1

3、y 0 .100362 2设Ax，y，Gx，八则盖备1yx由题意有yx3 代入，得A的轨迹方程为y2x9002y3240，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）.例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和晋，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两焦点为F1、F2，且IPF1空5， PF2型5.从椭圆定义知332a PFPF2 2屈.即 a.从|PFj |PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt PF2F1中，sin PF|F2PF21PR2 * *，可求出PF1F2石，2c lPF1 c%从而b2a2 c2103例5已知椭圆方程2 x2ab

4、21 a b 0，长轴端点为A，A2，焦点为F1，F2，p是椭圆上一点， A1PA2，F1PF2.求：F1PF2的面积（用b、示)1分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用S -absinC求2面积.解：如图，设P x, y ,由椭圆的对称性，不妨设 P x, y，由椭圆的对称性， 不妨设 P 在第一象限.由余弦定理知：2 2 2 2FiF2PFiPF22PF1 PF2 cos4c2 由椭圆定义知：PR PF? 2a，则2得PFi PF22b21 cos故 S f.,PF21 PF. PF2 sin21 2b2sin21 cos2例6已知椭圆=y21(1) 求过点P1 ,丄且被P

5、平分的弦所在直线的方程；2 2(2) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3) 过A2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;1代入，得也汇2x. x2i，故所求直线方程为：解：设弦两端点分别为M x., y. , N x2, y2 ,线段MN的中点R x, y，则2x.2yf2,一得x.x2x.x22y.y2y.y202X22y；2,由题意知x. x2，则上式两端同除以x. x2，有x.X22x,yiy?xiX2 2 yiy?0,yiy?2y,xiX2将代入得x 2y* %0 .x.x22x 4y 3 0 .将代入椭圆方程X2 2寸OI2得6y2 6y n 0,360符合题意,2x 4

6、y 3 0为所求.(2)将 匹上 2代入得所求轨迹方程为: 捲 x2内部分)x 4y 0 .(椭圆(3) 将里上 丄-代入得所求轨迹方程为:Xi x2 x 2 圆内部分)x2 2y2 2x 2y 0.(椭例7已知椭圆4x2 y21及直线y x m .(1) 当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2) 若直线被椭圆截得的弦长为 2卫，求直线的方程.5解：(1 )把直线方程y x m代入椭圆方程4x2 y21得4x2 x m 21 ,即5x22mxm2 102m 2 45 m2 1216m220(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为X1 , X2，由(1 )得 x.X22mT，x-|x2m215根据

7、弦长公式得 ：.1 1222m5m2 15 .解得m0 .方程为y x.例8求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 A(、3, 2)和B( 2.、3,1)两点的 椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确， 椭圆标准方程有两种情形，为了计算 简便起见，可设其方程为mx2 ny21( m 0，n 0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.0).由 A(.3,2)和 B( 2、.3,1)解：设所求椭圆方程为mx2 ny21 (m 0， n两点在椭圆上可得程为m ( . 3)2 n ( 2)2m ( 2、.3)2 n 121,3m 4n12m n1 11所以 m 15，n11 .故所求的

8、椭圆方52 x15例9已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆,过它对的左焦点F1作倾斜解为-的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.由直线方程与椭圆方程联立得:所以X1 x272. 313X1X236 813分析：可以利用弦长公式 AB V1 k2|x1 x2| v(1 k2)( x1 x2)2 4x1x2求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.ABJ1 k2|x1 X2J(1 k2)(X1 X2)2 4x1X2.因为 a 6， b 3，所以c 3 3.因为焦点在x轴上，2 2所以椭圆方程为1，左焦点F ( 3 .

9、3 , 0)，从而直线方程为y 、- 3x 9 .369 x2 72.3x 36 80 .设洛，X2为方程两根,AB/k2 x1 x22 2(1 k )(xi X2)4x24813(法2)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x2 72. 3x 36 8 0求出方程的两根Xi , X2, 它们分别是A，B的横坐标.再根据焦半径 AFi a ex, BFi a ex?，从而求出 AB AFi BFi .2 21 ,试确定m的取值范围，使得对于直线例10已知椭圆C :乞L43l: y 4x m，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上A , B两点关于直线I对称，则已知条件等价

10、于：(1)直线AB l ; 弦AB的中点M在I上.利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围.解：(法1)设椭圆上A(x1 , y1)， B(x2 , y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M (x , y)点.T的斜率kl 4 , 设直线AB的方程为y4x n.由方程组1 x42y去y得213x28nx216n2480。8n为 x24n112nX2于是x，yxdn132134134n 12n即点M的坐标为(一,).13134 n13点M在直线y 4x m上， n 4 m .解得n 丄m .134将式代入式得13x2 26 mx 169m2 48 0A， B是椭圆上的两点，(26m)2

11、 4 13(169m2 48)0 .解得JJ2 132.13m -1313(法2)同解法1得出n113yoxom44匹mxo ( %4134113(m) m 3m，即M点坐标为(m,44 A , B为椭圆上的两点，二M点在椭圆的内部，1.解得432 132J3m _1313(法 3)设A(x1 , Y1), B(X2 , y2)是椭圆上关于I对称的两点，直线AB与I的交点M的坐标为(xo , yo). A， B在椭圆上，二2X12y11，2 2X2y21 .两式相减得43433(x X2XX1X2)4( y1 y2)(y1y2)0，即 3 2x0(x1X2)4 2yo(y1y2)o . y1y

12、23xo (X1X2).X1X24yo又直线ABl，kAB k|1，:3xo41，即 yo3xo。4yo又M点在直线1上， y04Xom。由，得M点的坐标为(m , 3m).以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A , B关于直线I恒对称，求有关参数的取值范围问题， 可以采用列参数满足的不等式：(1) 利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0，建立参数方程.2 2(2) 利用弦AB的中点M (xo , yo)在椭圆内部，满足况 汇 1，将Xo， yo利用参a b数表示，建立参数不等式.2 2例11已知P(4,2)是直线I被椭圆乙 丄1所

13、截得的线段的中点，求直线I的方369程.分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题. 通常将直线方程与椭圆方程联立消去y （或x）,得到关于x（或y）的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出xi X2， xiX2（或 y y， ym）的值代入计算即得.并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析 几何中是经常采用的.解：方法一：设所求直线方程为y 2 k（x 4）.代入椭圆方程，整理得(4k21)x28k(4k2)x 4(4k2)2 360设直线与椭圆的交点为A（Xi , yj， B（X2, y2），则捲、x?是的两根,%x28k(4k 2)4k2 1v P（4,2）为AB中点计4k(4k 2)4k2 1x 2y 80 .设