(完整版)高中数学三角函数知识点总结(2),推荐文档

1、.高中数学第四章-三角函数y3sinx2sinx4cosx1cosxxcosxcosx14sinx2sinx31. 与a（0a360）终边相同的角的集合（角a与角a的终边重合）： a| a= k 360o +a, k z终边在 x 轴上的角的集合： a| a= k 180o , k z终边在 y 轴上的角的集合： a| a= k 180o+ 90o , k z终边在坐标轴上的角的集合： a| a= k 90o , k z终边在 y=x 轴上的角的集合： a| a= k 180o + 45o , k z终边在 y = -x 轴上的角的集合： a| a= k 180o - 45o , k zsin

2、cos三角函数值大小关系图1 3 表示第一、二、三、四象限一半所在区域若角a与角a的终边关于 x 轴对称，则角a与角a的关系：a= 360o k - a若角a与角a的终边关于 y 轴对称，则角a与角a的关系：a= 360o k +180o - a若角a与角a的终边在一条直线上，则角a与角a的关系：a= 180o k + a角a与角a的终边互相垂直，则角a与角a的关系：a= 360o k + a 90o2. 角度与弧度的互换关系：360=2a 180=a 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad

3、180 57.30=57181 a 0.01745（rad）a3、弧长公式：l =|a|r .扇形面积公式： s扇形= 1 lr = 1 |a|r 2221804、三角函数：设a是一个任意角，在a的终边上任取（异yya的 的 的于原点的）一点yp（x,y）p 与原点的距离为 r，则sina=；rcosa= x ；rp 、 x,y)tana=；xcota= x ；yseca= r ；.xcsca= r .ryox5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）y+o-+-xy-+o+-xy-+- +oxytp、 、 、 、 、 、 、om a x6、三角函数线(2)y|sinx|cosx|

4、cosx|sinx|o|cosx|sinx|x|sinx|cosx|正弦线：mp;余弦线：om;正切线： at.16. 个 个 个 个 个 个 :(1) y7. 三角函数的定义域：.sinxcosxoxcosxsinxp(3) 个 ox 2 ,个 sinxxtanx.三角函数定义域f (x) = sinxx | x rf (x) = cosxx | x rf (x) = tanx1x | x r 且 x ka+ a, k z2f (x) = cotxx | x r且x ka, k zf (x) = secx1x | x r 且 x ka+ a, k z2f (x) = cscxx | x r且

5、x ka, k z.8、同角三角函数的基本关系式： sina = tanacosatana cota= 1 csca sin a = 1seca cosa = 1cosa= cota sinasin2 a+cos2 a= 19、诱导公式：kasec2 a- tan2 a= 1csc2 a- cot 2 a= 1把的三角a函数化为的三角a函数，概括为：2“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组一公式组二公式组三sinxcscx=1tanx= sin xcos xsin2x+cos2x=1sin(2ka+ x) = sin xcos(2ka+ x) = cos xsin(-x

6、) = - sin xcos(-x) = cos xsin xcosxsecx=1x= cos x1+tan2 x =sec2xtan(2ka+ x) = tan xtan(-x) = - tan xcot(2ka+ x) = cot xcot(-x) = - cot xtanxcotx=11+cot2x=csc2x公式组四公式组五公式组六sin(a+ x) = - sin x cos(a+ x) = - cos x tan(a+ x) = tan x cot(a+ x) = cot xsin(2a- x) = - sin x cos(2a- x) = cos x tan(2a- x) = -

7、 tan x cot(2a- x) = - cot xsin(a- x) = sin x cos(a- x) = - cos x tan(a- x) = - tan x cot(a- x) = - cot x（二）角与角之间的互换公式组一公式组二cos(a+a) = cosacos a- sinasin a cos(a-a)= cosacosa+ sinasin asin 2a= 2 sinacosacos 2a= cos 2 a- sin 2 a= 2 cos 2 a-1 = 1- 2 sin 2 asin(a+a) = sinacosa+ cosasin a sin(a-a)= sinac

8、osa- cosasin atan 2a=sin a= 22 tana1- tan 2 a1- cosa2tan(a+ a)= tana+ tan a1- tanatan acos a= 1+ cosa22tan(a- a)= tana- tan a1+ tanatan atana= 21- cosa =1+ cosasina 1+ cosa= 1- cosa sina公式组三公式组四公式组五sina=2 tan a 2 asinacosa= 1sin(a+a)+sin(a-a)21cos( 1a-a) = sina211+ tan 22cosasina=s2in(a+a)-sin(a-a)1

9、 ()()sin(a-a) = cosa2acosacosa=1- tan 22cos a+a + cos a-atan( 1a-a) = cotacosa=2sinasina= - 1 cos(a+a)-cos(a-a)21+ tan 2 a2a+aa- acos( 1a+a) = -sina2sina+sin a= 2sin2cos222 tan asina- sin a= 2 cos a+ asin a- atan( 1a+a) = -cotatana=2a+a2a2- a2acosa+cosa= 2cos 1-cos1tan 2a2a+ 2cosa- cos a= -2 sin3222

10、sin a- asin(a+a) = cosa32sin15o = cos 75o =sin 75o = cos15o = 6 - 2 , , tan15o = cot 75o = 2 -,.46 + 24tan 75o = cot15o = 2 +10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：y = sin xy = cos xy = tan xy = cot xy = asin(ax+a)（a、a0）定义域rrx | x r且x ka+ 1 a,k z 2x| x r且x ka,k zr值域-1,+1-1,+1rr- a, a周期性2a2aaa2aa奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当a 0

11、, 非奇非偶当a= 0, 奇函数单调性- a+ 2ka, 2a+ 2ka 2上为增函数；a+ 2ka, 23a+ 2ka2上为减函数（ k z ）(2k -1)a,2ka；上为增函 数2ka,(2k +1)a上为减函数（ k z ）- aa+ ka,+ ka22上为增函数（k z ）(ka, (k +1)a)上为减函数（ k z ）a2ka- -a 2( a),a12ka+ a-a2(- a)a上为增函数；a2ka+ 2 -aa( a), 32ka+ a-a 2(- a)a上为减函数（k z ） yxo注意： y = - sin x 与 y = sin x 的单调性正好相反； y = - co

12、s x 与 y = cos x 的单调性也同样相反.一般地，若y = f (x) 在a, b 上递增（减），则 y = - f (x) 在a, b 上递减（增）. y = sin x 与 y = cos x 的周期是a. y = sin(ax +a) 或 y = cos(ax +a) （a 0 ）的周期t = 2a . ay = tan x 的周期为 2a（t =2a t = 2a，如图，翻折无效）.a2 y = sin(ax +a) 的对称轴方程是 x = ka+ a （ k z ），对称中心（ ka,0 ）； y = cos(ax +a) 的对称轴方程是x = ka（ k z ），对称中心

13、（1）； y = tan(ax +a) 的对称中心（ ka）.ka+ a,0,022y = cos 2x 原点对称 y = -cos(-2x) = -cos 2x(k(k当tana tan a= 1, a+ a= ka+ a z ) ； tana tan a= -1, a- a= ka + a z ) . y = cos x 与=aa22y = (ax +a) 是偶函数，则ysin x + 2k是同一函数,而2y = (ax +a) = sin(ax + ka + 1a) = cos(ax) .2函数 y = tan x 在 r 上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，

14、 y = tan x 为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数： f (-x) = f (x) ，奇函数： f (-x) = - f (x) ）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： y = tan x 是奇函数， y = tan(x + 1a) 是非奇非偶.（定义域不关于原3点对称）奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则 f (x) 一定有 f (0) = 0 .（ 0 x 的定义域，则无此性质）y y = sin x 不是周期函数； y = sin x 为周期函数（

15、 t = a）；y = cos x 是周期函数（如图）； y = cos x 为周期函数（ t = a）；yx1/2xy=cos|x|图象y = cos 2x + 1 的周期为a（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：2y=|cos2x+1/2|图象y = f (x) = 5 = f (x + k ), k r .a 2 +b 2ab y = a cosa+ b sin a=sin(a+a) + cosa= 有a 2 +b 2 y .11、三角函数图象的作法： ）、几何法：）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ）、利用图象变换作三角函数图象三角

16、函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yasin（x）的振幅|a|，周期t = 2a ，频率 f = 1 = |a| ，相位ax +a; 初相a（即当 x0|a|t2a时的相位）（当 a0，0 时以上公式可去绝对值符号），由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|a|1）或缩短（当 0|a|1）到原来的|a|倍，得到 yasinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/a 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的| 1 |a倍，得到 ysin x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸

17、缩变换(用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动个单位，得到ysin（x）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b)替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yasin（x）（a0，0）（xr）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数 ysinx， x -a，a 的反函数叫做反正弦函数，记作 ya

18、rcsinx，它的定义域是1，1，值域 2 2 是 a a ， 2 2 函数 ycosx，（x0，）的反应函数叫做反余弦函数，记作 yarccosx，它的定义域是1，1，值域是0，函数 ytanx， x -a a，的反函数叫做反正切函数，记作 yarctanx，它的定义域是（，）， 2 2 -值域是 a a ， 2 2 函数 yctgx，x（0，）的反函数叫做反余切函数，记作 yarcctgx，它的定义域是（，），值域是（0，）ii. 竞赛知识要点一、反三角函数.1. 反三角函数：反正弦函数 y = arcsin x 是奇函数，故arcsin(-x) = -arcsin x ， x - 1,1

19、（一定要注明定义域，若x (- ,+)，没有 x 与 y 一一对应，故 y = sin x 无反函数）注 ： sin(arcsin x) = x ， x - 1,1， arcsin x - a a . 2 , 2 反余弦函数 y = arccos x 非奇非偶，但有arccos(-x) + arccos(x) = a+ 2ka， x - 1,1.注 ： cos(arccos x) = x ， x - 1,1， arccos x 0,a. y = cos x 是偶函数， y = arccos x 非奇非偶，而 y = sin x 和 y = arcsin x 为奇函数.a a反正切函数： y =

20、 arctan x ，定义域(-,+) ，值域（ - , ）， y = arctan x 是奇函数，2 2arctan(-x) = -arctan x ， x (-,+) .注： tan(arctan x) = x ， x (-,+) .反余切函数： y = arc cot x ，定义域(-,+) ，值域（ - a,a）， y = arc cot x 是非奇非偶.2 2arc cot(-x) + arc cot(x) = a+ 2ka， x (-,+) .注 ： cot(arc cot x) = x ， x (-,+) . y = arcsin x 与 y = arcsin(1- x) 互为奇

21、函数， y = arctan x 同理为奇而 y = arccos x 与 y = arc cot x 非奇非偶但满足arccos(-x) + arccos x = a+ 2ka, x -1,1arc cot x + arc cot(-x) = a+ 2ka, x -1,1 . 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范围解集a 的取值范围解集 sin x = a 的解集 cos x = a 的解集a 1a 1a =1a 1x | x = 2ka+ arcsin a, k zx | x = ka+ (-1)k arcsin a, k za =1a 1x | x = 2ka+ arccos

22、a, k zx | x = ka arccos a, k z tan x = a 的解集： x| x = ka+ arctan a, k z二、三角恒等式. cot x = a 的解集： x | x = ka+ arc cot a, k z组一nsin 2n+1asin 3a= 3sina- 4 sin3asin 2 a- sin 2 a= sin(a+ a)sin(a- a)cosacos 2acos 4a.cos 2 a= 2n+1 sina组二naaaaasinacos 3a= 4 cos3a- 3cosa= cos 2 a- cos 2 a=cos k = cos cos cos lc

23、os nak =1224822n sin2 nncos(x + kd ) = cos x + cos(x + d ) +l+ cos(x + nd ) =k =0sin(n +1)d ) cos(x + nd ) sin dnsin(x + kd ) = sin x + sin(x + d ) +l+ sin(x + nd ) =k =0tan(a+ a+a) =tana+ tan a+ tana- tanatan atana1- tanatan a- tan atana- tanatana组三 三角函数不等式sin(n +1)d ) sin(x + nd ) sin d)sin x x tan x, x (0, a2f (x) = sin x 在(0,a) 上是减函数x若 a +