(完整版)解析几何——轨迹方程的高考题总结,推荐文档

1、一、直接法解析几何中求轨迹方程的常见方法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例 1已知直角坐标平面上点 q（2，0）和圆 c： x2 + y2 = 1，动点 m 到圆 c 的切线长与 mq 的比等于常数 i(i 0)（如图），求动点 m 的轨迹方程，说明它表示什么曲线mnmq1 解：设 m（x，y），直线 mn 切圆 c 于 n，则有= i，即= i，mo 2 - on 2mqx2 + y2 -1 = i整理得(i2 -1)x2 + (i2 -1)y 2 - 4i2x + (1+ 4i2) = 0

2、 ，这就是动点(x - 2)2 + y2m 的轨迹方程若 i= 1 ，方程化为 x =5 ，它表示过点( 5,0) 和 x 轴垂直的一条直线；44若 1，方程化为（x 2i2 ）2 + y2 = 1+ 3i2 ， 它表示以( 2i2 ,0) 为圆心，i2 -1(i2-1)2i2 -11+ 3i2i2 - 1为半径的圆二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例 2 已知dabc 中， a 、b 、c 的对边分别为a 、b 、c ，若a, c,b 依次构成等差数列，且a c b ， ab= 2

3、 ，求顶点c 的轨迹方程.yaobxc12 解：如右图，以直线 ab 为 x 轴，线段 ab 的中点为原点建立直角坐标系.由题意，a, c, b 构成等差数列， 2c = a + b （两定点的距离等于定长椭圆），即| ca | + | cb |= 2 | ab |= 4 ，又 cb ca ， c 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，3，故c 的轨迹方程为.a = 2, c = 1b =x 2 + y 2 = 1(x 0 ）的顶点o 作两条互相垂直的弦oa 、ob ，求弦 ab 的中点m 的轨迹方程.例 6设椭圆中心为原点 o，一个焦点为 f（0，1），长轴和短轴的长度之比为 t（1） 求椭圆

4、的方程；opoqt 2 -1（2） 设经过原点且斜率为 t 的直线与椭圆在 y 轴右边部分的交点为 q，点 p 在该直线上，且= t，当 t 变化时，求点 p 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.x 2 - y 2例 7如右图，垂直于 x 轴的直线交双曲线a 2b 2 = 1于m 、 n 两点，ympa1o a2x na1, a2 为双曲线的左、右顶点，求直线 a1m 与 a2 n 的交点 p 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.2例 8已知两点 p(-2,2), q(0,

5、2) 以及一条直线i：y=x，设长为直线 i上移动，求直线 pa 和 qb 交点 m 的轨迹方程的线段 ab 在七、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点 p 的坐标 x, y 来表示， 再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点 p 的轨迹方程， 称之代入法，也称相关点法、转移法.例 9 如图，从双曲线c : x 2 - y 2 = 1 上一点q 引直线l : x + y = 2 的垂线，垂足为ypqnoxn ，求线段qn 的中点 p 的轨迹方程.例 10已知抛物线 y2 = x +1 ，定点 a（3，1），b 为抛物线上任意一点，点 p 在线段 ab 上，且有

6、 bp:pa=1:2，当点 b 在抛物线上变动时，求点 p 的轨迹方程， 并指出这个轨迹为哪种曲线y14x12 =3 解： 设弦端点 a(x , y ), b(x , y ) ， ab 中点为m (x, y) ，则1122 y 2 = 4x22y1 - y2(y + y)= 4因为 y1 + y2 = 2 yy - yy所以 y2 = 2(x -1)x - x12 12 = 12x1x2-x -14 解：由平面几何知识可知，当dabm 为直角三角形时，点m 的轨迹是以ab 为直径的圆.此圆的圆心即为 ab 的中点(-1,-1) ，半径为 12ab =52 ，方2程为(x + 1)2 + ( y

7、 + 1)2 = 13 . 故m 的轨迹方程为(x + 1)2 + ( y + 1)2 = 13 .5 解：设m (x, y) ，直线oa 的斜率为k (k 0) ，则直线ob 的斜率为- 1 .直线k y = kxx = 2 p2 p 2 poa 的方程为 y = kx ，由y 2 = 2 px解得k 2 ，即 a(,k 2 k) ，同理可得 y = 2 pkb(2 pk 2 ,-2 pk ) .x = p + pk 2由中点坐标公式，得 y =k 2 p - pk k，消去k ，得 y 2= p(x - 2 p) ，此即点m 的轨迹方程.2a 2 - b 22= 1,6 解：（1）设所求椭

8、圆方程为 y + x = 1(ab0). 由题意得解. 2t 2a = t 2 -1a2b2 a = t,b得所以椭圆方程为t 2 (t 2 - 1)x 2 + (t 2 - 1) y 2 = t 2 b2 = 1 .t 2 -1(2)设点 p(x, y), q(x , y ), 解方程组t 2 (t 2 -1)1x2 + (t 2 -1)1 y2 = t 2 ,1112(t 2 -1)x =, y1= tx1 ,得22ttopoqopoqxx11x =或x = -,t 2 - 1t由= t y =.和=得y = t 22 ,t y = -,22 12(t 2 -1)其中 t1消去 t，得点

9、p 轨迹方程为 x2 =y(x 2 ) 和2 222x 2 = -y(x -22 ) 其轨迹为抛物线 x2 =2222 y 在直线 x =22 右侧的部分和2抛物线 x2 = -y 在直线 x = -在侧的部分227 解：设 p(x, y) 及m (x1 , y1 ), n (x1 ,- y1 ) ，又 a1 (-a,0), a2 (a,0) ，可得1直线 a m 的方程为 y = y1(x + a)；x1 + a直线 a n 的方程为 y =- y1 (x - a).2x + a1- y 2由x得 y 2 =1(x 2 - a 2 ).1x 2 - a 21- y 2又 qx 21 = 1,

10、- y 2 = b 2 (a 2 - x 2 ) ，代入得 y 2 = - b 2 (x 2 - a2 ) ，化简得a 2b 2x 2 + y 2 =1a 21a 2a 2b 21，此即点 p 的轨迹方程.当a = b 时，点 p 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆； 当a b 时，点 p 的轨迹是椭圆.8 解：pa 和 qb 的交点 m（x，y）随 a、b 的移动而变化，故可设a(t, t), b(t +1, t +1) ，则 pa： y - 2 = t - 2 (x + 2)(t -2), qb：t + 2y - 2 = t -1 x(t -1).消去 t，得 x2 - y2 + 2x

11、- 2y + 8 = 0.当 t=2，或 t=1 时，t +1pa 与 qb 的交点坐标也满足上式，所以点 m 的轨迹方程是x2 - y2 + 2x - 2x - 2 y + 8 = 0.9 解：设 p(x, y)，q (x1 , y1 ) ，则 n (2x - x1,2 y - y1 ) . 因为 n 在直线l 上，11 2x - x + 2 y - y = 2. - 又 pn l 得 y - y1 = 1, 即 x - y + y - x = 0 .-11x = 3x + y - 2联解得 12 y = 3y + x - 2 12x - x1.又点q 在双曲线c 上，(3x + y - 2

12、)2 - (3y + x - 2)2 = 1 ，化简整理得： 2x 2 - 2 y 2 - 2x + 2 y - 1 = 0 ，此22即动点 p 的轨迹方程.10 解：设 p(x, y), b(x , y ) ，由题设，p 分线段 ab 的比 i= ap = 2 ，11pbx = 3 + 2x1 , y = 1 + 2 y1 . 解得 x = 3 x - 3 , y = 3 y - 1 .又点 b 在抛物线1 +21 +2122122y2 = x +1 上，其坐标适合抛物线方程， ( 3 y - 1 )2= ( 3 x - 3) +1.整理得点 p2222) ),的轨迹方程为( y - 1 2

13、 = 2 (x - 1 其轨迹为抛物线333“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pa