(完整版)解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的,推荐文档

1、一、知识点复习1、正弦定理及其变形解三角形知识点总结及典型例题6asin a=bsin b=csin c= 2r(r为三角形外接圆半径）（1）a = 2r sin a, b = 2r sin b, c = 2r sin c (边化角公式）（2） sin a=a ,sin b =2rb , sin c = c2r2r(角化边公式）（3） a : b : c = sin a : sin b : sin c (4) a = sin a , a = sin a , b = sin bbsin b csin c csin c2、正弦定理适用情况：（1） 已知两角及任一边（2） 已知两边和一边的对角（需要

2、判断三角形解的情况） 已知 a，b 和 a，求 b 时的解的情况:如果sin a sin b ，则 b 有唯一解；如果sin a sin b 1，则 b 无解.3、余弦定理及其推论cos a = b2 + c2 - a2a2 = b2 + c2 - 2bc cos a222b = a + c - 2ac cos b c2 = a2 + b2 - 2ab cos c4、余弦定理适用情况：cos b =cos c =2bca2 + c2 - b22aca2 + b2 - c22ab（1） 已知两边及夹角；（2）已知三边.5、常用的三角形面积公式（1） sdabc =1 底高；2111（2） sda

3、bc = 2 ab sin c = 2 bc sin a = 2 ca sin b （两边夹一角）.6、三角形中常用结论（1） a + b c, b + c a, a + c b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；（2） 在da，bc即大边a对 大b 角，a 大b角对s大in 边a ）sin b(.（3） 在abc 中， a + b + c = a，所以sin( a + b) = sin c ； cos( a + b) = -cos c ； tan( a + b) = - tan c .sin a + b = cos c , cos a + b = sin c .2222二、典型例题

4、 题型 1 边角互化例 1 在dabc 中，若sin a : sin b : sin c = 3 : 5 : 7 ，则角c 的度数为 【解析】由正弦定理可得 a : b : c = 3 : 5 : 7 ，,令 a、b、c 依次为3、5、7 ，a2 + b2 - c232 + 52 - 721则cos c = -2ab因为0 c a，所以c =2 3 522a3例 2 若a 、b 、c 是dabc 的三边， f ( x) = b2 x 2 + (b2 + c 2 - a 2 )x + c 2 ，则函数 f ( x) 的图象与 x 轴( )a、有两个交点b、有一个交点c、没有交点d、至少有一个交点

5、【解析】由余弦定理得b2 + c2 - a2 = 2bc cos a ，所以 f (x) = b2 x2 + 2bc cos aax + c2 =(bx + c cos a)2 + c2 - c2 cos2 a ，因为cos2 a 0，因此 f (x) 0 恒成立，所以其图像与x 轴没有交点。题型 2 三角形解的个数例 3在 dabc 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )63a、a = 7 ， b = 14 ， a = 30 ；b、b = 25 ， c = 30 ， c = 150 ；c、b = 4 ， c = 5 ， b = 30；d、 a =题型 3 面积问题， b =， b

6、 = 60 。例 4 dabc 的一个内角为1200 ，并且三边构成公差为4 的等差数列，则dabc 的面积为 【解析】设abc 的三边分别： x - 4, x, x + 4 ，c=120，由余弦定理得： (x + 4)2 = (x - 4)2 + x2 - 2x(x - 4) cos1200 ，解得： x = 10 ，3 dabc 三边分别为 6、10、14，3 s= 1 ab sin c = 1 6 10 a abc222题型 4 判断三角形形状= 15.例 5 在dabc 中，已知(a2 + b2 ) sin( a - b) = (a2 - b2 ) sin( a + b) ,判断该三角

7、形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一： a2sin( a - b) - sin( a + b) = b2-sin( a + b) - sin( a - b) 2a2 cos asin b = 2b2 cos b sin a由正弦定理，即知sin2 a cos asin b = sin2 b cos b sin asin asin b(sin a cos a - sin b cos b) = 0sin 2 a = sin 2b由0 2 a,2b 2a，得2 a = 2b 或2 a = a- 2b ,即dabc 为等腰三角形或直角三角形.方法二：同上可得2a2 cos

8、 asin b = 2b2 cos b sin a由正、余弦定理，即得： a2bb2 + c2 - a22bc= b2a a2 + c2 - b22ac a2 (b2 + c2 - a2 ) = b2 (a2 + c2 - b2 )即 (a2 - b2 )(c2 - a2 - b2 ) = 0 a = b 或 c2 = a2 + b2 ,即dabc 为等腰三角形或直角三角形.【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数

9、的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用例 6在 dabc 中， a, b, c 分别为角 a.b, c 的对边，且sin a + sin c = p sin b( p r) 且 ac = 1 b24（1） 当 p =5 , b = 1 时，求 a, c 的值；4（2） 若角 b 为锐角，求 p 的取值范围。【解析】（1）由题设并由正弦定理，得 a + c =5 , ac = 1 ，解得， a = 1,c =1 或 a = 1 , c = 14444（2）由余弦定理， b2 = a2 + c2 -

10、2ac cos b = (a + c)2 - 2ac - 2ac cos b = p2b2 - 1 b2 - 1 b2 cos b22即 p2 = 3 + 1 cos b ，因为0 cos b 0 ，2所以6 p 4b、0 x 4c、 4 x 8 334、在dabc 中，若 s = 1 (a2 + b2 - c2 ), 则角 c =.4d、 4 x 8 335、设 r 是dabc 外接圆的半径，且2r(sin2 a - sin2 c) = ( 2a - b)sin b ，试求dabc 面积的最大值。536、在dabc 中， d 为边 bc 上一点， bd = 33 ， sin b = 13 ，

11、 cosadc = 5 ，求 ad .7、在dabc 中，已知 a, b, c 分别为角 a, b, c 的对边，若 a = cos b ，试确定dabc 形状。bcos a8、在dabc 中， a, b, c 分别为角 a, b, c 的对边，已知 cos a - 2 cos c = 2c - acos bbsin c（1） 求；sin a（2） 若cos b =1 , b = 2, 求dabc 的面积。4四、课后作业1、在dabc 中，若(a + b + c)(b + c - a) = 3bc ，且sin a = 2 sin b cos c ，则dabc 是 a、等边三角形b、钝角三角形c

12、、直角三角形d、等腰直角三角形2、 dabc 中若面积 s= 1 (a 2 + b 2 - c 2 ) 则角 c =43、清源ft是国家级风景名胜区，ft顶有一铁塔 ab ，在塔顶 a 处测得ft下水平面上一点c 的俯角为a，在塔底b 处测得点c 的俯角为a，若铁塔的高为h m ，则清源ft的高度为m 。h sinacos ah cosasin aa、b、 sin(a- a)hsinasinasin(a- a)h cosacos ac、d、 sin(a- a)sin(a- a)b + c4、 dabc 的三个内角为 a、bc ，求当 a 为何值时， cos a + 2 cos取得最大值，并求出

13、这个最大值。25、在dabc 中， a, b, c 分别为角 a、bc 的对边，且满足c sin a = a cos c（1） 求角c 的大小a（2） 求 3 sin a - cos(b +4) 的最大值，并求取得最大值时角 a, b 的大小。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a prof

14、essional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with t