(完整版)求数列通项公式的十一种方法汇总,推荐文档

1、求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的 11 种方法： 累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数

2、，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1.适用于： an+1 = an + f (n) -这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2. 若 an+1 - an = f (n) (n 2) ，23a2 - a1 =a3 - a2 =则f (1)f (2)llan+1 - an = f (n)两边分别相加得nan+1 - a1 =f (n)k =1例 1已知数列an满足 an+1 = an + 2n +1，a1 = 1，求数列an的通项公式。解：由 an+1 = an + 2n +1 得 an+1 - an = 2n +1 则an = (an - an-1 ) + (an-1 - an

3、-2 ) +l+ (a3 - a2 ) + (a2 - a1 ) + a1= 2(n -1) +1 +2(n - 2) +1 +l+ (2 2 +1) + (2 1+1) +1= 2(n -1) + (n - 2) +l+ 2 +1 + (n -1) +1= 2 (n -1)n + (n -1) +1 2= (n -1)(n +1) +1= n2所以数列an的通项公式为 an= n2 。例 2已知数列a 满足 a= a + 2 3n +1，a = 3 ，求数列a 的通项公式。nn+1n1n解法一：由 an+1 = an + 2 3n +1得 an+1 - an = 2 3n +1则an = (

4、an - an-1 ) + (an-1 - an-2 ) +l+ (a3 - a2 ) + (a2 - a1 ) + a1= (2 3n-1 +1) + (2 3n-2 +1) +l+ (2 32 +1) + (2 31 +1) + 3= 2(3n-1 + 3n-2 +l+ 32 + 31) + (n -1) + 3 3(1-3n-1)= 21- 3+ (n -1) + 3= 3n - 3 + n -1+ 3= 3n + n -1所以 an = 3n + n -1.解法二： a= 3a + 2 3n +1 两边除以3n+1 ，得 an+1 = an + 2 + 1 ， n+1naa213n+1

5、3n33n+1则n+1 - n =+， 故 3n+13n33n+13333n3naa32313an = ( an - an-1 ) + ( an-1 - an-2 ) + ( an-2 - an-3 ) +l+ ( a2 - a1 ) + a1n-2n-2n-3n-1n-1= ( 2 + 1 ) + ( 2 + 1 ) + ( 2 + 1 ) +l+ ( 2 + 13 ) +33n33n-133n-23323= 2(n -1) + ( 1 + 1 + 1 + 1 +l+ 1 ) +133n3n3n-13n-232因此 an1 (1- 3n-1)= 2(n -1) + 3n+1 =2n + 1

6、-1， 则 an3n31- 3322 3n= 2 n 3n + 1 3n - 1 . 322ana= a + 2n(n n *)an练习 1.已知数列的首项为 1，且答案： n 2 - n + 1n+1n写出数列的通项公式.a a = 3an = an-11+n(n -1)(n 2)练习 2.已知数列n 满 足 1，求此数列的通项公式.a = 2 - 1nn答案：裂项求和评注：已知 a1 = a , an+1 - an =数、分式函数，求通项 an .f (n) ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(

7、n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.已知数列an 中, ansn 0 且= 1 (a2n+ n )an ,求数列an 的通项公式.sn解:由已知= 1 (a2n+ )s an 得= 1 (s2n- sn-1 +n)sn - sn-1 ,ns 2 - s 2= ns 2 = s 2 + 2 + 3 +l + n化简有 nn-1,由类型(1)有 n1,s 2 = n(n + 1)s =2n(n + 1)2又 s1= a1 得a1 = 1n,所以,又 an 0 ,

8、n2,2n(n + 1) -2n(n -1)an =则2此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1. 适用于： an+1 = f (n)an这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2. 若an+1= f (n) ， 则a2 =f (1)a3 =，f(2) llan+1 = f (n)，ana1a2an两边分别相乘得， na+1 = a nf (k )a11k =1例 4已知数列a 满足 a= 2(n +1)5n a ，a = 3 ，求数列a 的通项公式。nn+1n1n解：因为 a= 2(n +1)5n a ，a = 3 ，所以 a 0 ，则 an+1 = 2(n +1)5n ，故an+

9、1n1nna = an an-1 l a3 a2 a naaaa1n-1n-221= 2(n -1+1)5n-12(n - 2 +1)5n-2 l2(2 +1) 52 2(1+1) 51 3= 2n-1n(n -1) l 3 2 5(n-1)+(n-2)+l+2+1 3n(n-1)= 3 2n-1 5 2 n!2所以数列a 的通项公式为 a = 3 2n-1 5n(n-1) n!.na n(n + 1)a 2- na 2 + a + a = 0n例 5.设 n 是首项为 1 的正项数列，且n+1nn 1 n（ =1，2， 3，），则它的通项公式是an =.解：已知等式可化为： (an+1 +

10、an )(n + 1)an+1 - nan = 0q an 0 ( n n * )(n+1) an+1 - nan = 0 ,即 an = n - 1an+1 =annn + 1 n 2 时， an-1n na = anan-1 la2 an - 1 n - 211an-1an-2a1=n n - 1l12= n .1评注：本题是关于 an 和 an+1 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 an 与 an+1 的更为明显的关系式，从而求出 an .练习.已知 an+1 = nan + n - 1, a1 -1,求数列an的通项公式.答案： an = (n - 1)!(a

11、1 + 1) -1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 an+1 = nan + n -1, 转化为an+1 + 1 = n(an + 1), 若令bn = an + 1,则问题进一步转化为bn+1 = nbn 形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于 an+1 = qan + f (n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1. 形如 an+1 = can + d , (c 0 ,其中 a1 = a )型（1） 若 c=1 时，数列 an 为等差数列;（2） 若 d=0 时，数列 an 为等比数列;（3） 若c 1

12、且d 0 时，数列 an 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设 an+1 + a= c(an + a) ,得 an+1 = can + (c - 1)a,与题设 an+1 = can + d , 比较系数得a=d, (c 0)a+ d = c(a+ d )(c - 1)a= d ,所以c - 1n所以有：c - 1n-1c - 1c - 11a +d a +d n因此数列 构成以c - 1为首项，以 c 为公比的等比数列，a +d= (a + d ) cn-1a= (a+ d ) cn-1 -d所以nc - 11c - 1n1c - 1即：c - 1 .a+

13、d = c(a+ d )规律：将递推关系 an+1 = can + d 化为n+1c - 1nc - 1 ,构造成公比为 c 的等比数a + d a= d + cn-1 (a +d )列 nc - 1 从而求得通项公式n+11 - c1c - 1逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系 an+1 = can + d 中把 n 换成 n-1 有an = can-1 + d ,两式相减有 an+1 - an = c(an - an-1 ) 从而化为公比为 c 的等比数列an+1 - an ,进a- a = c (na - a )而求得通项公式.n+1n21 ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们

14、看到此方法比较复杂.例 6 已知数列an中， a1 = 1, an = 2an-1 +1(n 2) ，求数列an的通项公式。解法一：q an = 2an-1 +1(n 2), an +1 = 2(an-1 + 1)又q a1 +1 = 2,an +1是首项为 2，公比为 2 的等比数列 an +1 = 2n ， 即 an= 2n -1解法二：q an = 2an-1 +1(n 2), an+1 = 2an +1两式相减得 an+1 - an = 2(an - an-1)(n 2) ，故数列an+1 - an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再用累加法的a a1练习已知数列 n 中，= 2,

15、 an+1= 1 a2 n+ 1 ,2 求通项 an 。an答案：= ( )12n-1 + 1a= p a + q n形如： n+1n(其中 q 是常数，且 n 0,1)2.a= a + q n若 p=1 时，即： n+1n，累加即可.若 p na= p a + 1时，即： n+1n，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 pn+1 .目的是把所求数列构造成等差数列an+1 = an +1 p nb = anb- b =1 p n()n+1n( )npnn+1npq即：pqp q,令，则,然后类型 1，累加求通项.qn+1ii. 两边同除以. 目的是把所求数列构造成等差数列。an+1 =

16、p an + 1 即：qn+1qqnq ,b = annqnbn+1p b + 1qnq=令,则可化为.然后转化为类型 5 来解，iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设 a n+1 +a n+1nnq .通过比较系数，求出a，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效。例 7 已知数列an 满足an+1 = 2an + 4 3n-1，a1 = 1，求数列an 的通项公式。a+a3n =a(a+ a3n-1)a = -4,a = 2解法一（待定系数法）：设 n+112n，比较系数得 12，则数列an- 4 3n-1是首项为 a1- 4 31-

17、1 = -5，公比为 2 的等比数列，所以 an - 4 3n-1 = -5 2n-1a = 4 3n-1 - 5 2n-1an+1 = 2 an + 4解法二（两边同除以 qn+1 ）： 两边同时除以3n+1 得： 3n+13 3n32 ，下面解法略an+1= an + 4 ( 3)n 解法三（两边同除以 pn+1 ）： 两边同时除以2 n+1得 ： 2n+12n32，下面解法略练习.（2003 天津理）设 a0 为常数，且 an = 3n-1 - 2an-1a = 1 3n + (-1) n-1 2n + (-1) n 2n a(n n ) 证明对任意 n 1，n53. 形如 an+1 =

18、 pan + kn + b0；(其中 k,b 是常数，且 k 0 )方法 1：逐项相减法（阶差法） 方法 2：待定系数法通过凑配可转化为 (an + xn + y) = p(an-1 + x(n - 1) + y) ;解题基本步骤：1、确定 f (n) =kn+b2、设等比数列bn = (an + xn + y) ，公比为 p3、列出关系式(an + xn + y) = p(an-1 + x(n - 1) + y) ,即bn = pbn-14、比较系数求 x,y5、解得数列(an + xn + y) 的通项公式6、解得数列an 的通项公式例 8在数列an 中， a1 = 1, an+1 = 3

19、an + 2n, 求通项 an .（逐项相减法）解：q， an+1 = 3an + 2n, n 2 时， an = 3an-1 + 2(n -1) ，两式相减得 an+1 - an = 3(an - an-1 ) + 2 .令bn = an+1 - an ,则bn = 3bn-1 + 2b = 5 3n-1 + 2利用类型 5 的方法知 n即 an+1 - an= 5 3n-1 - 1a = 5 3n-1 - n - 1a = 5 3n-1 - n - 1n再由累加法可得22 .亦可联立解出 n22 .例 9. 在数列 an 中，a = 3 ,2a12n- an-1a= 6n - 3,求通项

20、n.（待定系数法）解：原递推式可化为2(an + xn + y) = an-1 + x(n - 1) + + y比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为2bn = bn-1b b1= a1- 6n + 9 = 91b = 9 ( 1 n) n-1所 以 n 是一个等比数列，首项2 ,公比为 2 .2 2即：a - 6n + 9 = 9 (1) ) nn2n1an = 9 ( 2 )+ 6n - 9故.a= pa + a n + b n + ca 024n+1(其中 a,b,c 是常数，且)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例 10已知数列a 满足

21、a= 2a + 3n2 + 4n + 5，a = 1，求数列a 的通项公式。nn+1n1n解：设 an+1 + x(n +1)2 + y(n +1) + z = 2(an + xn2 + yn + z)比较系数得 x = 3, y = 10, z = 18 ，所以 an+1 + 3(n +1)2 +10(n +1) +18 = 2(an+ 3n2 +10n +18)由 a + 312 +10 1+18 = 1+ 31 = 32 0 ， 得 a + 3n2 +10n +18 01na+ 3(n +1)2 +10(n +1) +18则 n+1= 2 ，故数列a + 3n2 +10n +18 为以a

22、n + 3n2 +10n +18na1+ 312 +10 1+18 = 1+ 31 = 32 为首项，以 2 为公比的等比数列，因此an+ 3n2 +10n +18 = 32 2n-1 ，则 na = 2n+4 - 3n2 -10n -18 。5.形如 an+2 = pan+1 + qan 时将 an 作为 f (n) 求解分析：原递推式可化为 an+2 + aan+1 = ( p + a)(an+1 + aan ) 的形式，比较系数可求得a，数列an+1 + aan为等比数列。例 11已知数列an满足 an+2 = 5an+1 - 6an , a1 = -1, a2 = 2 ，求数列an的通

23、项公式。解：设 an+2 + aan+1 = (5 + a)(an+1 + aan )比较系数得a= -3 或a= -2 ，不妨取a= -2 ，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）则 an+2 - 2an+1 = 3(an+1 - 2an ) ，则an+1 - 2an 是首项为 4，公比为 3 的等比数列 a- 2a = 4 3n-1a = 4 3n-1 - 5 2n-1n+1n，所以 n练习.数列 an 中，若 a1 = 8, a2 = 2 ,且满足 an+ 2 - 4an+1 + 3an = 0 ,求 an .答案：a = 11 - 3nn.a= par四、迭代法n+1n (其中 p,

24、r 为常数)型a a= a3(n+1)2n，a = 5a n例 12已知数列 n 满足n+1n1，求数列 n 的通项公式。解：因为an+1= a3(n+1)2n，所以a = a= a= a3n2n-13(n-1)2n-2 3n2n-132 (n-1)n2(n-2)+(n-1)nn-1n-2n-2n-3= a3(n-2)2n-3 32 (n-1)n2(n-2)+(n-1)= a33 (n-2)(n-1)n2( n-3)+( n-2 )+( n-1)n-3= l1= a3n-1 23ll(n-2)(n-1)n21+2+ll+( n-3)+( n-2 )+( n-1)1= a3n-1n!2n ( n

25、-1) 2又a1 = 5，所以数列an 的通项公式为 an= 53n-1n!2n ( n-1) 2。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例 13.（2005 江西卷）a =1, a= 1 a(4 - a), n n已知数列an 的各项都是正数,且满足 : 0n+12 nn，an.（1） 证明 an an+1 0五、对数变换法 适用于 n+1n (其中 p,r 为常数)型p0， n+ +a + 1a+ 2a 2+ +例 14.设正项数列满足 1， nn+1 （n2）.求数列的通项公式.log an + 1 + 2 log an +log a + 1 + 2(log an +1

26、 + 1b+ log an + 1解：两边取对数得：22，22，设 n2，则bn + 2b n+1+ +是以 2 为公比的等比数列， b+ log1 + 1 + 1bn+ 1+2n+1 + 2n+1 ， log an + 1 +2n+1， log an + 2n+1 + 1 ，1na + 22n +1 +1222an-1+ +a + 1an = 2+ +练习 数列中， 1，（n2），求数列的通项公式.答案： an = 22-22 - n例 15已知数列a 满足 a= 2 3n a5 ， a = 7 ，求数列a 的通项公式。nn+1n1n解：因为 a= 2 3n a5，a = 7 ，所以 a 0

27、，a 0 。n+1n1nn+1两边取常用对数得lg an+1 = 5 lg an + n lg 3 + lg 2设lg an+1 + x(n +1) + y = 5(lg an + xn + y)（同类型四） 比较系数得， x = lg 3 , y = lg 3 + lg 24164lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2由lg a1 +1+= lg 7 +1+ 0 ，得lg an +n + 0 ，416441644164lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2所以数列lg an +n +是以lg 7 +为首项，以 5 为公比的等比数列，41644164

28、则lg an+ lg 3 n + lg 3 + lg 2 = (lg 7 + lg 3 + lg 3 + lg 2)5n-1 ，因此41644164lg an则 an= (lg 7 + lg 3 + lg 3 + lg 2)5n-1 - lg 3 n - lg 3 - lg 2 4164464111n11= lg(7 34 316 24 )5n-1 - lg(34 316 24 )111n11= lg(7 34 316 24 )5n-1 - lg(34 316 24 )5n-4n-15n-1 -1= lg(75n-1 3 16 2 4 )n-15n-4n-15n-1 -1= 75 3 16 2

29、 4。六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 16已知数列a 满足 a= 2an, a = 1 ，求数列a 的通项公式。a+ 2nn+11n n解：求倒数得111111 11 11a=+,-=,- 为等差数列，首项= 1 ，公差为 ，n+12an 1 = 1 (n +1), a =2nan2n +1an+1an2 an+1an a12七、换元法适用于含根式的递推关系例 17 已知数列a 满足 a= 1 (1+ 4a +nn+116n1+ 24an )，a1 = 1 ，求数列an 的通项公式。1+ 24an解：令b =， 则 a = 1 (b2 -1)nn24n1 代入 an+1

30、 = 16 (1+ 4an + 1+ 24an ) 得 1 (b2-1) = 1 1+ 4 1 (b2 -1) + b 24n+11624nn即4b2n+1= (bn+ 3)21+ 24an因为bn = 0 ，113则2bn+1 = bn + 3 ，即bn+1 = 2 bn + 2 ， 可化为bn+1 - 3 = 2 (bn - 3) ，1+ 24a11+ 24 1所以b - 3 是以b - 3 =- 3 =- 3 = 2 为首项，以 1 为公比的等比数列，因n此b - 3 =11 n-1 =1 n-2 ，则b =1 n-2 + 3 ，即=21n-2 + 3 ， 得2( )( )n22( )(

31、 )n221+ 24ana =nn2 111n( ) + ( ) +。 3 423八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前 n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。8(n +1)8例 18 已知数列an 满足 an+1 = an + (2n +1)2 (2n + 3)2 ，a1 = 9 ，求数列an 的通项公式。8(n +1)8解：由 an+1 = an + (2n +1)2 (2n + 3)2 及 a1 = 9 ，得a = a +8(1+1)= 8 + 8 2 = 2421(2 1+1)2 (2 1+ 3)299 2525a = a +8(2 +1)= 24 + 8 3 =

32、 4832(2 2 +1)2 (2 2 + 3)22525 4949a = a +8(3 +1)= 48 + 8 4 = 8043(2 3 +1)2 (2 3 + 3)24949 8181由此可猜测 an =(2n +1)2 -1，下面用数学归纳法证明这个结论。(2n +1)2（1）当 n = 1 时， a1 =(2 1+1)2 -18=，所以等式成立。(2 1+1)29（2） 假设当 n = k 时等式成立，即 ak =(2k +1)2 -1，则当 n = k +1 时，(2k +1)2ak +1= ak+8(k +1) (2k +1)2 (2k + 3)2= (2k +1)2 -1(2k

33、+ 3)2 + 8(k +1) (2k +1)2 (2k + 3)2= (2k +1)2 (2k + 3)2 - (2k +1)2(2k +1)2 (2k + 3)2= (2k + 3)2 -1 (2k + 3)2= 2(k +1) +12 -1 2(k +1) +12由此可知，当 n = k +1 时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何 n n * 都成立。九、阶差法（逐项相减法）1、递推公式中既有 sn ，又有 ans1, n = 1分析：把已知关系通过 an = 转化为数列an或 sn 的递推关系，然后采用相应的方法求解。s n- sn-1 , n 21例 19已知数列an的各

34、项均为正数，且前 n 项和 sn 满足 sn = 6 (an +1)(an + 2) ，且 a2 , a4 , a9 成等比数列，求数列an 的通项公式。 (a解：对任意 n n + 有 s = 1+1)(a+ 2)n6nn1当 n=1 时， s1 = a1 = 6 (a1 +1)(a1 + 2) ，解得 a1 = 1或 a1 = 21当 n2 时， sn-1 = 6 (an-1 +1)(an-1 + 2)-整理得： (an + an-1 )(an - an-1 - 3) = 0an 各项均为正数， an - an-1 = 3当 a = 1时， a = 3n - 2 ，此时 a2 = a a

35、成立1n42 9当 a = 2 时， a = 3n -1 ，此时 a2 = a a 不成立，故 a = 2 舍去1n42 91所以 an = 3n - 2练习。已知数列an a 0 且 s= 1 (a+ 1)2 ,求数列a 中,nn2nn 的通项公式.答 案 ： sn - sn-1 = an(an - 1)2 = (an-1 + 1)2an = 2n - 12、对无穷递推数列例 20已知数列an满足 a1 = 1，an = a1 + 2a2 + 3a3 +l+ (n -1)an-1 (n 2) ，求an的通项公式。解：因为 an = a1 + 2a2 + 3a3 +l+ (n -1)an-1

36、(n 2)所以 an+1 = a1 + 2a2 + 3a3 +l+ (n -1)an-1 + nan用式式得 an+1 - an = nan .则 an+1= (n +1)an(n 2)故 an+1 = n +1(n 2)an所 以 a = an an-1 l a3 a= n(n -1) l 4 3a = n! a .2naaa222n-1n-22由 an = a1 + 2a2 + 3a3 +l+ (n -1)an-1 (n 2) ， 取得n = 2n!则 a2 = 1，代入得 an = 1 3 4 5 l n = 2 。n!所以，an 的通项公式为 an = 2 .a2 = a1 + 2a2

37、 ，则 a2 = a1 ，又知 a1 = 1，十、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数 f (x) 的定义域为 d ，若存在 f (x)x0 d ，使 f (x0 ) = x0 成立，则称x0 为 f (x) 的不动点或称(x0 , f (x0 ) 为函数 f (x) 的不动点。分析：由 f (x) = x 求出不动点 x0 ，在递推公式两边同时减去 x0 ，在变形求解。类型一：形如 an+1 = qan + d例 21已知数列an中， a1 = 1, an = 2an-1 +1(n 2) ，求数列an的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为 f (x) =

38、2x +1 ，由 f (x) = x 得，不动点为-1 an+1 +1 = 2(an +1) ，类型二：形如 a= a an + bnn+1c a分析：递归函数为 f (x) =+ da x + bc x + da- pa- q an - pa - pc(a q - pq)kn-1 - (a p - pq) a - q ，其中 k =， a =1-1 -a - qcn(ap)kn-1(aq)n+1n11（1） 若有两个相异的不动点 p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点 p,q，再将两式相除得 n+1= k（2） 若有两个相同的不动点 p，则将递归关系式两边减去不动点 p，然后用 1 除，

39、得1=1+ k ，其中 k =2c 。an+1 - pan - pa + d例 22. 设数列a 满足 a= 2, a= 5an + 4a 的通项公式.n1n+1,求数列2a + 7nn分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数 t,得：a+ t =5an + 4+ t =(2t + 5)an+ 7t= (2t + 5)7t + 4n a + 2t + 5 ,nn+12a+ 72an + 72an + 77t + 4an + t令t =, 解之得 t=1,-2代入 an+1 + t = (2t + 5)得2t + 52an + 7 nnna- 1 = 3 a - 1, a

40、+ 2 = 9 a + 2,nn+12a+ 7n+12a + 7n相除得 an+1 - 1 = 1 an - 1 ,即 a - 1 是首项为 a1 - 1 = 1 ，an+1 + 23 an + 2an + 2a1 + 241a - 111-n4 3n-1 + 2公比为 的等比数列,n= 3, 解 得 a =.3方 法 2：l, na- 1 = 3 a - 1，an + 24n4 3n-1 - 1nn+12a + 71= 2an + 7= 2(an - 1) + 923，两边取倒数得 = + an+1 - 13(an -1)3(an - 1)3an - 1令 b n =1an - 1， 则 b

41、=2 + 3b ,l, 转化为累加法来求.3nn例 23已知数列a 满足 a= 21an - 24 ，a = 4 ，求数列a 的通项公式。1n21x - 24n+124an +1n21x - 24解：令 x =动点。因为4x +1 ，得4x - 20x + 24 = 0 ，则 x1 = 2，x2 = 3 是函数 f (x) =4x +1 的两个不21an - 24 - 2an+1 - 2 =4an +1= 21an - 24 - 2(4an +1) = 13an - 26 = 13 an - 2 。所以数列 an - 2 是a- 321an - 2421a - 24 -3(4a +1)9a -

42、 279 a - 3a - 3n+1- 3 4an +1nnnn n以 a1 - 2 = 4 - 2 = 2 为首项，以13 为公比的等a1 - 34 - 39比数列，故 an - 2 =13 n-1 ， 则 a =1+ 3 。2()an - 39n13 n-12()-19练习 1：已知a 满足 a = 2, a= an-1 + 2 (n 2) ，求a 的通项 a2a+1n1nnnn-13n -(-1)n答案： an = 3n + (-1)n练习 2。已知数列a 满足 a = 2, a= 2an -1 (n n *) ，求数列a 的通项 ann1n+14a + 6nn13 - 5n答案： an

43、 = 10n - 6练习 3.（2009 陕西卷文）已知数列a 满足， a 1a = 2, aan + an+1 , n n * .n1 2n22(i)令bn = an+1 - an ，证明：bn是等比数列；()求an 的通项公式。答案：（1）b 是以 1 为首项， - 1 为公比的等比数列。（2） a = 5 - 2 (- 1 )n-1(n n *) 。n2n332十一。特征方程法形如 an+2 = pan+1 + qan ( p, q 是常数）的数列形如 a1 = m1, a2 = m2 , an+2 = pan+1 + qan ( p, q 是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项a，n其特征方程为 x2 = px + q 若有二异根a,a，则可令 an = ca1n + c a2n(c ,1c2 是待定常数）若有二重根a= a，则可令 a = (c + nc )an(c , c是待定常数）n1212再利用 a1 = m1 , a2 = m2 , 可求得c1 , c2 ，进而求得 an例 24 已知数列a 满足 a = 2, a= 3, a= 3a- 2a (n n *) ，求数列a 的通项 an12n+2n+1nnn解：其特征方程为 x2 = 3x