数列求和技巧与策略

1、数列求和的基本方法和技巧就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：Sn(a1 a.)2na!n(n 1)d22、等比数列求和公式：Snn d(1(q 1)3、Sn1n(n1)4、Snk2k 16n(n1)(2n1)5、Snnk311n(n1)2例1已知log3 xlog 2 3，求xa.q(q 1)的前n项和.解：由log 3 xlog23 lOg3xlog 3 2由等比数列求和公式得Snx x2x3（利用常用公式）x(1 xn)1(1丄)愛=1 _丄1 1 2n2例 2设 S

2、= 1+2+3+- +n, nN ,求f(n)Sn(n 32)Sn 1的最大值.解：由等差数列求和公式得Snn(n 1),21Sn 2(n 1)(n2)2（利用常用公式）Snf(门)(n 32)Sn 12n 34n 641c, 64n 34n5050当勺n _87，即n= 8时，V8f ( n ) max50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n bn的前n项和，其中 a n 、 bn分别是等差数列和等比数列例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由题可知,(2nn 11）x的通项是等差数列2n 1的通项与等

3、比数列n 1 x 的通项之积234设 xSn 1x 3x 5x 7x(2n1)xn（设制错位）一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn(错位相减)再利用等比数列的求和公式得:(1 X)Sn2x1 xn1(2n1)xnSn(2n 1)xn 1(2n 1)xn (1 x)(1 x)22 46例4求数列2,笃，弓2 22 232n，2n前n项的和.解：由题可知，李的通项是等差数列2n的通项与等比数列丄的通项之积2n2n设Sn2462n222232n1 c2462nSn亠23.4n1 122222得1222222n(1-)Sn二42 n2*12222232412

4、n2n 1n 1Sn42 n 22n 12n-1（设制错位）（错位相减）练习：2求：Sn=1+5x+9x +(4n -3)xn解：S=1+5x+9x +(4n -3)x n-1两边同乘以x，得xS3n=x+5 x +9x +(4n -3)x n -得，(1-x ) S=1+4 ( x+ x 2+x3+、，nn+ x ) - (4n-3) x2当 x=1 时，S=1+5+9+( 4n-3 ) =2n-n当 xMl 时，Sn= ：+1- (4n-3) xn 、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1 an）

5、.例 5求证：C0 3Cn 5C2(2n 1)C： (n 1)2n证明：设 Sn C： 3cn 5C：(2n 1)Cnn把式右边倒转过来得Sn(2n1)Cnn(2n1)C；13C1C 0C n（反序）又由cmn mCn可得Sn(2n1)Cn0(2n1)C：3C：1CnCn+得2Sn(2n2)(C0Cn1n 1C nC；)2(n1) 2n（反序相加）Sn(n1) 2n例 6 求 sin21 sin22sin2 3sin2 88sin2 89的值解：设S sin21sin2 2sin23sin2 88sin 89 练习：已知lg（xy）=a，求S,其中S=g xlg(xn1y) lg(xn 2y2

6、)? Ig yn将式右边反序得S sin2 89sin2 88sin2 3sin 2 2sin21 （反序）又因为si nxcos(90x),sin2 x cos2x 1+得（反序相加）2S (sin21cos21 )(si n2 2cos2 2)(si n2892cos 89 ) =89S =22解：将和式S中各项反序排列，得s lgyn lg(xn1y) lg(xn 2y2) ? Ig xn将此和式与原和式两边对应相加，得2S=lg(xy)n+lg(xy)n+ + lg(xy)n=n(n+1)lg(xy)(n+1)/ lg(xy)= a项1 S=尹(门+1)a四、分组法求和有一类数列，既不

7、是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和，再将其合并即可3n 2,1 1例7求数列的前n项和：11,4,-27,a a1(召 3n 2) a1 1解：设 Sn（1 1） （4） （ 2 7）aa将其每一项拆开再重新组合得1 11Sn(12n1)(14 73n 2)a aa当 a= 1 时，Sn n(3n1)n(3n1)n（分组）（分组求和）1当a 1时，Sn -1丄O7 (3n 1)n 刁例8求数列n(n +1)(2n+1)的前解:练习:解:n项和.3设 ak k(k 1)(2k1) 2k3k2a a1 n(3n 1)n2Snnk(k 1

8、)(2kk 1将其每一项拆开再重新组合得nSn = 2k 1=2(13n2(n求数列112(11n(n21)(2k313k2k)k3k2（分组）23n3)3(12n2)(1 2n)n(n 1)(2 n1)n(n（分组求和）2n(n 1) (n2)1122141)1,24?,3？（n ）,?的前8 2n?n)1(2(n丄)丄丄?丄) z2232n)n项和。五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合,使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin1cos n cos(n 1)t

9、an(n 1)tann(3)an1n(n 1)an(2 n)2(2n 1)(2 n1)1 12(2n 12n 1)(5)ann(n 1)( n 2)12 n(n 1)(n1)(n 2)ann 2n(n 1)12n2(n1) nn(n 1)12n例91求数列11n 1nn 2 (n 1)21(n 1)2n23 -n、一 n 1 的前“项和.1111解：设an.n（裂项）例 10例 11解:则Sn(一2 J)C.32)（裂项求和）在数列an中,解:anan(,n 1 n)又bnan-一，求数列bn的前n项的和.an 11n 12n n 12 2218(丄n（裂项）数列b n的前n项和1)(22 2

10、丄)=n 1Sn 8(1=8(1338nn 14）d)（裂项求和）111cos1cosO cos1cos1 cos2cos88 cos89.2 .sin 1111cos0 cos1cos1 cos 2cos88 cos89si n1tan(n 1) tan nsn cos(n 1)111cos0 cos1cos1 cos 2cos88 cos891(ta n 1sin 1tan 0 ) (tan 2tan1 ) (ta n3tan 2 )1(tan 89 sin 11ta n 0 )=sin 1cot1 cos1cot 1 2sin 1求证:设S二 Stan 89（裂项）（裂项求和）tan 8

11、8 1练习：求3 ,原等式成立11 5，163之和。5367722277277XI71 - 9六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 12 求 cosl + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值解：设 Sn= cosl + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 找特殊性质项）cosn cos(180 n )/S n= (cosl + cos179 ) + ( cos2 + cos178 ) + (cos3 + cos177 ) + +(

12、cos89+ cos91)+ cos90(合并求和)log a M N=0Sn (log 3a1 log3 a10) (log3 a2log 3 a9)(log 3 a5 log3 a6)合并求和）=(log 3 ai aio) (log 3 a2 a9)(log 3 a5 a6)=log3 9 log 3 9log3 9例 13数列 an：a11,a23,a32,an 2an 1an ，求 S2002.解：设 S2002 =a1a2a3a2002由a11, a2 3,a32, an 2an 1an 可得a41,a53, a62,a71,a83, a92,a101,a113, a122a6k

13、1 1, a6k 23, a6k32,a6k41, a6k 53,a6k 62a6k 1a6k 2a6k 3a6k 4a6k5 a6k 60（找特殊性质项）Soo2=a2a3a2002（合并求和）=(a1 a2a3a6) (aa8a12 )(a6k 1a6k 2a6k 6)(a1993a1994a1998 )a1999a2000a2001a2002=a1999a2000a2001a2002=a6k 1a6k 2a6k 3a6k4=5例 14 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求 log 3 a1log 3a2log 3 a10 的值.解：设 Snlog 3 a1log 3a2log 3

14、a10由等比数列的性质 mnpqamanapaq（找特殊性质项）和对数的运算性质 log a M log a N=10七、禾U用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法例 15求 1 11111111n个11之和.解：由于1119999 !(10k91)（找通项及特征）1 11 111111 1n个 1=1(101 1)99(1021)1(103 1)9l(10n91)（分组求和）1 1 2=9(10 10103n、10 )1(1 11)1 10(10n 1)910=(10n 181109n)例16已知数列anan(n 1)(n3），求(n1)(anan 1)的值.解： (n1)(an