二倍角地正弦、余弦和正切公式(基础

1、实用标准二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)【学习目标】1 .能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了 解它们之间的内在联系2 能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角 公式但不要求记忆)，能灵活地将公式变形并运用.3 通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法 处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2 2sin cos (S2 )cos2 cos倍角公式不仅限于 2 是 的二倍形式，其它

2、如 4 是2 的二倍、一是一的二倍、24 sin2(C2 )2cos211 2sin2tan2晋A (T2 )1 tan要点诠释：(1) 公式成立的条件是：在公式 S2 ,C2中，角 可以为任意角，但公式 T2中，只有当.一k k及(k Z)时才成立；2 423是的二倍等等都是适用的要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好2二倍角公式，这是灵活运用公式的关键如：sin 2sin cos；2 2 sin 尹 2sin 尹cos尹（n Z）2 和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式S ,C ,T 中，当时，就可得到二倍角的三角 函数公式，它们的内在联系如下:s 2以-0代

3、0&C(I4 Sco(-p相除相除相除B 二 CIwIF丁或+卩以一目代B Tq(一 p要点二：二倍角公式的逆用及变形1 公式的逆用2sin cos sin 2 ； sin cossin 22cos1 * 2sin2 2cos21 1 2sin2cos22 tan1 tan2tan 2文档2 .公式的变形1 cos222cos )；1 cos2升幕公式：1 cos 22 22cos ,1 cos2 2sin要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1 对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2 .掌握“

4、角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如(),2()()等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等 );3 将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用例1.化简下列各式:2(1) 4sincos ; (2) sin -2 2 82/ c、cos ; (3)8ta n37.521 tan 37.5【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.【答案】(1) 2sin2.32【解析】(1) 4sin cos 2 2sincos 2sin2222(2)2 2 sincos2

5、2 cossincos888842(3)ta n37.512sin 37.512 tan 7531 tan2 37.51 tan2 37.5222【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式， 要仔细体会本题中的解题思路.举一反三:【变式 1 】求值：(1) cos sin cos sin ; (2) 2cos -12 12 12 12 82tan 751 tan2 75 简.【解析】(1)原式=2cossin2cos12126 2(2)原式=cos(2)cos842(3)原式=tan 150o tan (18

6、00、30 )tan 30o3【答案】(1)(2)二；(3)3类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例 2 . 求 sin10 in30 in50 in70。的值.【思路点拨】解这类题型有两种方法:o : n Q方法一：适用sin ，不断地使用二倍角的正弦公式.2cos方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用cossin 22si n进行化【解析】方法一：sin 10sin 50 sin 70sin 20 sin 50sin 702cos10sin 20 cos20sin 50sin 40 sin 50sin 40 cos40sin 8012cos104cos1014cos

7、108cos108【答案】丄16sin10 sin 30 sin50 sin 70161 2sin 20 cos 20 cos40 cos80万法二：原式cos20 cos40 cos802 4sin 201 si n160116 sin 2016sin 40 cos40 cos80sin80 cos804sin 202sin 20【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题方法一和方法二通过观察角度间的 关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正 弦公式的形式.在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数. 利用上

8、述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若sin0，贝U cos cos2 cos4 L cos2nn 1sin 22n 1 sin举一反三:2sin 20 cos 20 cos40 cos802sin 20cos80【变式1】求值：sin 10 os40 in70 【解析】原式cos20 cos40 cos802sin 40 cos40 cos80 2sin804sin 208sin 20sin 160sin 208sin 208sin 208 类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例3 化简下列各式：sin sin 2?（1）（2）、1 sin 41 cos cos2【思路点拨】（

9、1 ）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简.（2） 观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简.【答案】(1) tan (2) sin2 cos2【解析】sin sin 21 cos cos 2sin 2 si n cosc2cos 2 cossin (1 2cos)tan cos (1 2 cos )(2)、1 sin 4sin 2 2 2sin2 cos2 cos2 2.(sin2 cos2)2 |sin2 cos21 sin2 cos2.【总结升华】余弦的二倍角公式的变形形式21 cos2 2 cos ,1 cos 222si n.经常起到消

10、除式子中1的作用由于sin 22 sin cos，从而 1 sin22(sin cos )，可进行无理式的化简和运算.例4 化简:2cos212ta n 4.2sin4【解析】原式cos22sin 4cos2cos 4cos2cos22sincossin 24 42cos 21 .cos 2【总结升华】 三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手.通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幕等手段，使函数式的结构化为最简形式.举一反三:【变式1 (1). 1sin6的化间结果是(2)已知sin，且a (，町，贝U i 2的值为52cos【答案(1) sin3c3cos3 (2)一2【解析】(1)原

11、式=.1 sin 3cos3=、.、(sin3cos3)2 =| sin3 cos3|=sin3 cos33(2 )因为sin且 a (522sin cos35322(-).cos542类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用n ),所以4cos，原式5例5 .求值:(1)已知 sin( )3，求 cos( -).12256(2)已知 sin( ) m，求 sin2【思路点拨】 观察所求的角与已知角的关系,发现它们是二倍的关系,所以用二倍角公式去求解.72【答案】(1)(2) 2m 125【解析】(1) cos( ) cos 6 6cos 212 2=1 2sin292512 2=1

12、 27252(2) sin2cos( 2 ) =1 2sin241 2sin2 7=2m21【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧.【变式1】已知sincos，且3【答案】88 179917【解析】由sincos1，得(sin3即12si ncos1, sin 2举一反三:cos2sin91 /曰，得 cos)2cos由sincos3sin ,求 sin 2, cos2 , tan2的值.2COS2sin即 1 sin21 2 -sin93sin整理得9sin 23sin解得sin迈或sin広（舍去）.cos2

13、1 2sin2 ta n2sin 2cos28.1717【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定.【变式2】已知tan 12(1 ) 求 tan的值；(2 )求sin 21coscos 2的值.4【解析】(1) tantantan41 tan1解得tan141 tan ta n41 tan23sin 22 cos2si n2cos cos2sincos(2)21cos21 2cos212cos1115tan.2326【总结升华】第(：1)问中利用了方程的思想求tan 的值；对于第(2)问的题型,般需要将分式转化为含tan的式子求解，或者通过消元转化的方法求解.类型五：二倍角公式的综合应用2 2

14、例 6 .已知 f(x) sin x 2sinxcosx 3cos x，求:(1) f (x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合;(2) f (x)的单调区间.k的形式.8，k Z【思路点拨】用降幕公式把原式降幕，然后用辅助角公式化成Asin( x )【答案】(1) 2 2 x|x k -,k z (2)单增区间k ,k8 85单减区间k , k,k z8 8【解析】(1)原式=1 sin2x cos2x 1=sin2x cos2x 2=,2s in (2x) 24则当2x 2k ,即x|x k428,k Z 时，fmax(x)22(2 ) f (x)的单调递增区间为:2k 2x 2k242

15、，则3x k,k,k z8 8f (x)的单调递减区间为：2k2x2k3，则2425x k , k, k z8 8【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及y Asin( x )的性质等知识要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用:2( 1)缩角升2幕公式1sinsincos,2 21 sinsincos 1cos22cos,1cos2sin 2 (2 )扩角降幕2 22221 cos 221cos2公式cossin22例7.已知向量a (1sin 2x,sin xcos x),b(1,sin xcosx), 求函数f(x) a b (1 )求f (x)的

16、最大值及相应的x值；8(2 )若 f()-，求 cos2 2 的值.5 4【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式.【答案】(1)2 1 x k (k8Z) (2) 1625【解析】 (1)因为a(1 sin 2x,sincosx) , b (1,sin x cosx),所以 f (x)1 sin2xsin2x cos2 x因此，当2x 2k42，即 x k令(k Z)时，f(x)取得最大值2 1.(2 )由 f( )1 si n2cos2 及 f ()8 得 sin 25cos251 sin 4sin

17、425 因此，cos2 24cos4sin 416225，两边平方得举一反三：XXX【变式1】已知函数f (x) sin coscos21.2 22(I)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(n)求函数f(x)在一，一上的最小值54k z (n).2 12xx1cosxf (x) sin - cos-1222111 sin x-cosx222辽 sin(x)1242I答案】(I) 2，2k严【解析】(I)3由 2kx2kkZ，则 2kx 2k242，4函数f (x)单调递减区间是2 k5,2k, k Z .4437(n)由x，得x42244所以函数f(x)的最小正周期为254(5 1), m n=1 ,且A为锐角.f (x)取得最小值【变式2】已知向量 m= (sinA , cosA ), n(1)求角A的大小;(2)求函数f (x)cos2x 4cos Asinx (x R)的值域.【答案】(1)(2 )3,.3 sin A cos