《微积分二》复习要点整理(基本层次要求

1、实用标准文档文案大全微积分（II ）复习要点（共11页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分计算偏导与全微分（以二元函数为主）问题1.已知初等函数z f x,y具体形式，求解偏导数zxo,yoXxo,yoy或偏导函数 解法：求具体点偏导 x0y0步骤如下：X1代入y y,则原二元函数变为一元 函数f x,y ,2利用上学期方法求上述 一元函数的导数 dz ,dx3最后代入x xo,即得所求xo，y -*类似，可求出-yxo ,yo -求偏导函数步骤如下：x1）将f x,y中的y视为常数，2利用上学期方法求z对x的导数,所得结果即为x*类似

2、，将f x,y中的x视为常数，对y求导即得二.y配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！前提一一熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64 复合函数求导之链式法则！P251 Ex8 2） 1） 4）, Ex9 3） 2）问题2.已知z f x,y ,求全微分dz.解法：利用全微分与偏导的关 系一一先分别求出 二，二的具体结果x y则dz dx dy为所求.x y配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P253 Ex13 2) 7) 3)问题3已知初等函数z f x,y具体形式，求解二阶偏导数2 2z z， 2 .y x y*务必准确识别以上四个 二阶偏导的含义，参见P225相

3、关定义和记号 求法按照符号的定义逐阶 求偏导2比如 :首先针对z f x,y求出-,然后针对求出的结果(即x yxx再求此新函数关于y的偏导.配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练!P253 Ex12 1) 2)问题4.复合函数求导(偏导).要点：借助“路线图”，根据题目实际情况熟练 写出链式法则(如P219 公式(7 10),再进一步具体算出各部 分结果.配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练!P254 Ex16 1) 4)问题5.隐函数求导(偏导或全微分).要点：熟记P223一元隐函数导数公式 (715), P224二元隐函数偏导公式(716),套用即可.学会P223P224两例的法一即可

4、！配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)第二部分 求二元函数的极值和条件最值 问题1.求二元初等函数z f x,y的极值 解法步骤：Zx 01）求出Zx,Zy,并令，解此方程组得所有驻点，如xi ,yi , Xk ,ykzy 02 求出 Zxx , Zxy , Zyx , Zyy3）针对以上各驻点，逐个利用P229定理7.8结论判定极值与否、极大/极小.*学会P230例2、例3解答过程.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex20 1） 4）问题2.求具有实际背景（尤其经济背景）二元初等函数z f x,y 在条件 x,y0下

5、的条件最值.解法步骤：1）令F x,y, f x,yx,y2）求F的驻点，即解下列方程组：令Fx fxx 0令Fy fyy 0令F x,y 03） 若以上驻点x,y, 0唯一，则x,y为所求条件最值点.该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步 骤做以下练习：例）某公司通过电台、报纸两种方式做销售某 商品的广告.据 统计资料，销售收入R万元与电台广告费用x万元及报纸广告 费用y万元 之间的关系如下经验公式：2 2R 1514x32y 8xy 2x 10y若提供的广告费用 为1.5万元且用尽，求相应的最优广告策略.Key : x 0, y 1.5第三部分定积分相关要点基本

6、前提：熟记P119P120及P131P132不定积分公式！b问题1.已知f x具体形式，求解定积分 f x dx.a主要方法)牛顿一莱布尼兹公式：1)利用求不定积分的方法，求出f x的一个原函数F x ,bb2 从而 fxdx F x b F b Fa.a*重点：若f X是a,b上的分段函数，比如以C为分段点，则需利用I-定积分的“拆区间”性质f f f,使得右端每个被积函数 aac 1均取明确形式，再进行计算.配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)a特殊方法)当积分区间关于原点对 称时,定积分f有公式如下: -aa-a0,f为奇函数a

7、20f, f为偶函数1 ;例.求解x2sinx x1 x2 x dx.1解：（务必注意积分区间的特点！）x2sinx, x . 1 X2均有奇函数，x2 sin xdxxl1 x2dx 0.1 111 1x为偶函数，xdx 2 xdx 2 xdx1.10 I0从而原式0 0 11.问题2.变限积分的求导及应用要点)x1)熟记函数x f t dt的求导公式：x f x .au x f t dt f u x u x进一步有公式：au xf t dt f u x u x f v x v xv x2利用以上求导公式，结合L Hospital法则,可求解某些极限配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练!P

8、186 Ex5 1）, Ex4 1） 2）问题3.定积分的几何应用与经 济应用 要点）1） 几何应用一求平面图形面积）典型例P162例1P163例4:注意针对不同的区域形 状选择适当的积分变量.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex22 1） 3） 4）2） 几何应用二求旋转体体积）熟记P166公式（6 22及其适用的图6 19,熟记公式（6 24及其适用的图6 21.运用以上两公式求解旋转体体积.*注意：以上两公式只能直接用于求解具有“实心”特征的旋转体体积 若考察空心旋转体体积，则只能间接利用公式将所求体积转化为若干 实心体积.例如P166式（6 23即运用了此原理.配套练

9、习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex29 3） 5）3） 经济应用已知边际求总量）原理：若已知F x ,则由牛顿一莱布尼兹公式可得xF x F a F t dt,其中a为选定的常数.熟记 P168 169公式（626）（628 .典型例：P169例8, P170例9.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P190 Ex33, Ex34第四部分 二重积分相关要点问题1.已知区域D具体形式，将二重积分f x,y dxdy表达为两种D累次积分次序.解法步骤）1）在平面直角坐标系中画 出D的草图2判断D的形状：若D为P239图727（a）之“x型”区域，则运用公式（7 21）写出“外x内

10、y”形式的累次积分；若D为P239图727（b）之“y 型”区域，则运用公式（7 22写出“外y内x”形式的累次积分3）若D并非标准的“x型”或“y 型”,则需利用分块积分法则 （P238性质7.7）,将D划分为若干标准的“x型”或“y型”区域， 再分别写出累次积分结果.典型例：P241例2配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex30 3） 1）问题2.将给定的累次积分交换积分次序.要点）1）根据题目形式写出积分区域D的形状，2）对于f x,y dxdy ,按要求写出另一种累次 积分,方法同“问题1D典型例：P241例3配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex31

11、1） 3） 4） 2）问题3.已知f x,y和积分区域D的具体形式，计算f x,y dxdy.D要点)1)画出积分区域D的草图，2根据D的形状及f x,y的形式选择适当的累次 积分次序表达，3) 由内层至外层逐层计算上述累次积分，最终求出原二重积分.*若区域形状为圆、环、扇形等,且f x,y为关于x2 y2或 y的形式，x则上述过程宜采用极坐 标系计算,即令x rcos ,y rsin ,将原积分 化为f rcos ,rsin rdrd ,再将此新二重积分化为外层关于、内层 关于r的累次积分，具体结果见P244 P245公式(724) (7 26),重点熟记(7 25)即可.典型例(建议按以下

12、顺序复习)：P242例4,例6,例5,P246例8配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex32 3) 4), Ex33 2) 1)问题4.求以非负曲面z f x,y为顶，xy平面上某区域D为底 的曲顶柱体体积.要点：由题意准确识别出作为“顶”的函数z f x,y及作为“底”的平面区域D.则Vf x,y dxdy .再利用问题3中方法求此二重积分.D配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P256 Ex35 1) 2)第五部分 其它要点摘录1. 理清z f x,y偏导函数连续、可微、偏导存在、连续的关系，理清 f x,y的极值点、驻点的关系.2. 熟用 P147性质 6.3并练习

13、P186Ex21）2）4）.3. 熟记概率积分edx .0 2+a4. 按定义判定无穷限积分f x dx, f x dx, f x dx的敛散性；a-能识别瑕积分，并按定义判定瑕积分bf x dx（三类：分别a、b c a,b为瑕点）的敛散性。a（建议参考A*组相应作业）Ch8+Ch9两章第一部分函数的幕级数展开问题1.将f x展开成x的幕级数主要思路：10熟记重要的幕级数展开式及其成立区间，如1)2 x2!n xn!,x2）,x1,13）ln 1,x 1,120利用初等变形（如拆为加减、换元等）将给定的fx转化为可利用 上述公式的形式，进而得以展开.最后利用上述公式也能 得出f x的展开区间

14、.如nn 33 x3xxx ex,xn0 n!n0 n!2 x2 x12 xnx.n n 21 x , x1,11 x1xn 0n 01111nxnd n x12n 1,x2,22 x22 n 02n 01x230除上述20外,对于某些f x ,若可利用求导或求积分 将10中公式的 函数转为fx,则只需同时将相应公式 中的展开式逐项求导或 积分, 即得f x的展开式.如 P284 例11, P285 例 12.配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P291 Ex21 2) 5) 4). 另：以 P284例 11 为练习冋题2.已知f x在x0处的幂级数展开式为an x-x0 n,求高阶导kf

15、 Xo .解法：找出上述幕级数的k次项，即akf k X。k!例如ak得f k x0k!ak.X。.取出其系数ak,则由已知f2x在0处的幕级数展开式为 - 2!3 x3!nxn!，则5!a55!11.5!第二部分常数项级数敛散性的判定10熟记几何级数 aqn-1与P级数nP敛散性结论.20判定任意项级数u n敛散性的一般思路:n 1*其中,关于正项级数Un的常用判敛思路:n 11）若在Un中,n同时出现在底或指数位 置,或出现与n有关的阶乘 则优先考虑比值法 （或根值法，以比值法为重点）.例如，由比值法，对于Un 1务必求出极限结果r,仅当该极限Un存在或为时,才能进一步运用比值法；且r 1时，比值法失效*对于任意项级数Vn,若利用比值法或根值法得出相应的正项级数 阮满足lim 山 r 1,则因此时必有Vn ,则由级数 n Vn收敛的必要条件知不但|vn发散，原级数 Vn也发散.此原理可用于求幂级数的收敛域.2)若在Un中,n仅以幂函数的类似形式 出现，可考虑比较法，且1多以P级数丄为参照级数.(特殊情形下可寻求n 时unn i n的等价无穷小量作为确定p的依据)配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P288Ex7 2) 3) 1) 5), Ex8 1) 2) 5) 4), Ex10 1)