第三讲三次样条函数ppt课件

1、计算方法,第3讲 样条函数,本讲主要问题,一、样条函数 二、三次样条插值 三、三次样条函数的构造,分段插值存在着一个缺点, 就是会导致插 值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑, 即导 数不连续, 对于一些实际问题, 不但要求一阶导数 连续, 而且要求二阶导数连续. 为了满足这些要求, 人们 引入了样条插值的概念,所谓 “样条” (spline)是工程绘图中的一种工具, 它是有弹 性的细长木条. 绘图时, 用细木条连接相近的几个结点, 然后 再进行拼接,连接全部结点, 使之成为一条光滑曲线, 且在结 点处具有连续的曲率,样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的. 它除 了要求给出各个结点处的函

2、数值外, 只需提供两个边界点处 导数信息, 便可满足对光滑性的不同要求,定义 设f(x)是区间a, b上的一个连 续可微函数, 在区间a, b上给定一组节点: a=x0 x1x2xn=b 设函数S(x)满足条件,一、样条函数,1) S(x)在每个子区间xi , xi+1(i=0, 1, 2, , n1) 上是次数不超过m的多项式; (2) S(x)在区间a, b上有m1阶连续导数,则称S(x)是定义在a, b上的m次样条函数, x0, x1, x2, , xn称为样条节点, 其中x1, , xn1称为内结点, x0, xn 称为边界节点,当m=3时, 便成为最常用的三次样条函数,样条插值的思想

3、: 逐段选取适当的 低次多项式, 按一定的光滑性要求连接起来 构成插值函数,二、三次样条插值,定义 设给定区间a, b上n+1个点 a=x0 x1x2 xn=b, 以及相应的函数值 yi=f(xi), i=0, 1, , n. 如果函数S(x)满足: (1)在每个子区间 xk , xk+1(k=0,1,n1)上, S(x)是不超过三次的多项式, 且S(xi )=yi, i=0, 1, , n; (2) S(x)、 S(x)、 S(x)在a, b上连续. 则称S(x)是f(x)在节点x0, x1, x2, , xn上的三次样条插 值函数,例1 给定区间0, 3上 3 个点的函数 值 f(0)=0

4、, f(1)=2, f(3)=4, 试求数 a, b, c, d, 使函数 S(x)为给定点上的三次样条插值 函数. 其中,答案,给定n+1个样点(xi, yi )(i=0, 1, , n), 确定一个三次样条插值函数需要4n个独 立条件. 在定义中, 已指定了4n2个条件, 即,所以, 一般需补充指定2个边界条件,三、三次样条函数的构造 三弯矩插值法,记 Mi = S(xi), f(xi)= fi= yi , 考虑它在任 一区间xi, xi+1上的形式. 根据三次样条的定义可知, S(x)的二阶导数 S(x)在每一个子区间xi, xi+1( i=0, 1, 2, , n1)上都是线性函数,对

5、S(x)连续积分两次, 并利用插值 条件S(xi)= yi , 得到,只要能求出所有的Mi, 就能求出三次样条插值函数S(x,下面考虑 Mi 的求法,由连续性 S(xi )= S(xi+), (i=1, 2, , n1) 得 iMi 1+2Mi+iMi+1= di,其中,该方程组有n1个方程, 但有n+1个变量Mi,下面介绍几种常用的边界条件 第1型边界条件: 已知f(x)在两端点的导数f(a)和f(b), 要求 S(a) = f (a), S(b) = f (b) 第2型边界条件: 已知f(x)在两端点的二阶导数f (a)和f (b) ,要求 S(a)=M0 = f (a), S(b)=Mn

6、= f (b) 特别当 S(a)= S(b) =0时, S(x)称为自然三次样条. 第3型边界条件： 已知f(x)是以b a为周期的周期函数, 要求S(x)满 足周期条件 S(a) = S(b), S(a+)= S(b), S(a+)= S(b,三次样条插值问题加上第 i 型边界 条件称为第 i型插值问题(i1, 2, 3). 可 以证明第 i 型插值问题的解是存在且唯一的,他们对应如下的方程组,对于第1型插值问题,对于第2型插值问题,对于第3型插值问题,以上各组条件与前述方程组联立, 可以解出未知参数 M0, M1, , Mn, 然 后代入S(x) 表达式, 即可求得样条函数,上面构造方法中 Mi 相应于力学中细梁在 xi 处 截面的弯矩, 每一个方程中又至多出现相邻的三个Mi, 通常称为三弯矩法,求三次样条插值函数的步骤归纳为,1)确定边界条件, 判定是第几型插 值问题,2)根据所