高等数学同济七版第一章第三节课件

1、一、函数极限的定义,二、函数极限的性质,高等数学同济七版第一章第三节,一、函数极限的定义,在上一节我们讨论了数列的极限,而数列 xn = f (n,可以看成是函数 y = f (x) 当自变量 x 取正整数的特殊情,形,所以，可以用研究数列极限完全相同的思想和方法,来研究函数在自变量的某一变化过程中,函数值的变化,情况,即函数的极限,自变量的变化过程主要有两种,1) 自变量趋于有限值(xx0,2) 自变量趋于无穷大(x,高等数学同济七版第一章第三节,1. 自变量趋于有限值时函数的极限,1.96,1.4,2.25,1.69,1.21,1.02,1,0.98,0.81,0.49,0.36,0.25

2、,y,1.5,1.3,1.1,1.01,1,0.99,0.9,0.7,0.6,0.5,x,引例 设 y = f (x) = x2 , x0 = 1,观察当 xx0 时，y 的变化趋势,高等数学同济七版第一章第三节,由此可以看出,当 x 无限接近 x0 时,函数值 f (x) 无,限接近1,f (x) 无限接近1, f (x) 1 ,x 无限接近 x0, x x0 ,如果给定 f (x) 与1的接近程度,x0 的接近程度,例如 = 0.3,则可求出一个 = 0.1,当| x x0 | = 0.1时,就有| f (x) 1 | = 0.3成立,比如 x = 0.91时, f (0.91) 1 |

3、= 0.1719 = 0.3,则一定可求出 x 与,高等数学同济七版第一章第三节,定义1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定,义,如果存在常数 A,对于任意给定的正数 (不论它,多么小,总存在正数,使得当 x 满足不等式,0 | x x0 ,时,对应的函数值 f (x) 都满足不等式, f (x) A ,那么常数 A 就叫做函数 f (x) 当 x x0 时的极限,记作,或 f (x) A (当 x x0 ),高等数学同济七版第一章第三节,注意,定义中的 0 | x x0 | 表示 x x0,也即 x x0 时,函数 f (x) 有没有极限,与 f (x) 在点 x0 是否有

4、定义没有,关系,0， 0，当 0 | x x0 | 时，有 | f (x) A ,高等数学同济七版第一章第三节,的几何解释,高等数学同济七版第一章第三节,例1,证明,例2,证明,c 为常数,例3,证明,高等数学同济七版第一章第三节,例4,证明,例5,证明：当 x0 0 时,高等数学同济七版第一章第三节,左极限与右极限,xx0,x,x,x x0 且 xx0 , 记作 xx0-,x x0 且 xx0 , 记作 xx0,0， 0，当 x0 x x0 时，有 | f (x) A ,左极限,高等数学同济七版第一章第三节,0， 0，当 x0 x x0 + 时，有 | f (x) A ,右极限,可以证明,高

5、等数学同济七版第一章第三节,例6,设函数,讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在,高等数学同济七版第一章第三节,2. 自变量趋于无穷大时函数的极限,定义2 设函数 f (x) 当 | x | 大于某一正数时有定义,如果存在常数 A,对于任意给定的正数 (不论它多么,小,总存在正数 X,使得当 x 满足不等式 | x | X 时,对应的函数值 f (x) 都满足不等式, f (x) A ,那么常数 A 就叫做函数 f (x) 当 x 时的极限,记作,或 f (x) A (当 x ),高等数学同济七版第一章第三节,定义2可简单在表达为,0， X 0，当 | x | X 时，有 | f (x)

6、 A ,类似地可定义,0， X 0，当 x X 时，有 | f (x) A ,高等数学同济七版第一章第三节,0， X 0，当 x X 时，有 | f (x) A ,的几何解释,高等数学同济七版第一章第三节,定义 若,则称直线 y = A 是曲线 y = f (x) 的水平渐近线,或,或,高等数学同济七版第一章第三节,例7,证明,高等数学同济七版第一章第三节,二、函数极限的性质,定理1(函数极限的唯一性) 如果,存在,那么这极限唯一,定理2(函数极限的局部有界性) 如果,那么存在常数 M 0 和 0,使得当 0 |x x0| 时,有 | f (x) | M,高等数学同济七版第一章第三节,定理3(函数极限的局部保号性) 如果,且 A 0 (或 A 0,0 |x x0| 时,有 f (x) 0 (或 f (x) 0 ),那么存在常数 0,使得当,由定理3的证明，可得到如下更强的结论,定理3 如果,那么就存在着 x0,的某一去心邻域,当,时，就有,高等数学同济七版第一章第三节,推论 如果在 x0 的某去心邻域内 f (x) 0 (或f (x) 0,而且,那么 A 0 (或 A 0),定理4(函数极限与数列极限的关系) 如果极限