新人教A版必修四2.2《平面向量的线性运算》word教案

1、课题：223向量数乘运算及其几何意义教学目的：1. 掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2. 掌握实数与向量的积的运算律；3. 理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行 教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课.课时安排：1课时一教 具：多媒体、实物投影仪,教学过程：一、复习引入：差向量的意义： 0A= a, OB = b ,则BA = a _ b即a - b可以表示为从向量 b的终点指向向量a的终点的向量”、讲解新课：_ - 1. 示例：已知非零向量 a，作出a + a +

2、a和（-a）+（ _a）+（-a）a a a一 一 _ _ _0 a b tOC = OA AB BC = a + a + a=3a._ w 盘 d pPN = PQ QM MN =（ _a）+（ -a）+（ -a）= _3a（1） 3a与a方向相同且|3a |=3|a |；（2）-3a与a方向相反且|_3a|=3|a|2. 实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作： 入a（1）I入 a|=|入 |a|（2） 入0时入a与a方向相同；入0时入a与a方向相反；入=0时入a = 03 运算定律 结合律：入（0）=（入卩）第一分配律：（入+卩）=入a+a第二分配律：入（a+b）=入a +入

3、b结合律证明：如果入-0,片0, a =0至少有一个成立，则式成立入 | ua |=| 入 | 训 a |如果入=0, 口-一0, a 工0 有: | 入（ia ）|=|（入 M） a |=| 入训 a | = | 入 | 训 a |-|入（耳）|=|（入卩）|如果入、卩同号，则式两端向量的方向都与a同向;如果入、卩异号，则式两端向量的方向都与a反向+从而入（）=（入卩）第一分配律证明：如果入=0,尸0, a=0至少有一个成立，则式显然成立如果入-0,卩-0, a =0当入、（1同号时，则入a和同向，|（入 +1a|=| 入 + 1| a|=（| 入 |+| 1）| a|I 入 a + a|=

4、| 入 a|+| |=| 入 | a|+| 训 a|=（| 入 |+| 1）| a |入、1同号两边向量方向都与 a同向即 | （入 +1） |=| 入 a + a |当入、1异号，当入1时 两边向量的方向都与 入a同向；当入0且x曰时在平面内任取一点 O,-*a-._作 OA = a AB = bOAi = x aABi= x b0B| = x a + x bL0AJ=LA1BiJ|OA|AB| OAB OAiBiBOB,与x OB方向也相同由作法知，AB / AB 有丛OAB=NOAiBi| AB |= x | AB | |OB1=x /AOB= / AiOBi|OB|因此，O, B, B

5、i在同一直线上，|0|=|入OB| x （ a + b）= x a + x b当x 0时可类似证明：x （a+b）= x a+ x b式成立4 向量共线的充要条件若有向量a（ a =0）、b，实数x,使b=x a，则a与b为共线向量+若a与b共线(a=0)且|b| :|a|=则当a与b同向时b =卩a ;当a与b反向时b =(ia，从而得向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件 是：有且只有一个实数 入，使b = a”三、讲解范例：例1若3m + 2n = a , m 3n = b，其中a , b是已知向量，求 m , n.分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m

6、、n.解：记 3m + 2n = a m 3 n = b 3x得 3 m 9 n = 3 b _ _ 13一得 lln = a 3 b .n = a b 1111_ -_ 32将代入有：m = b + 3 n = a + b11114 N 例2凸四边形ABCD勺边AD BC的中点分别为E、F,求证EF = -( AB+DC ).2解法一：构造三角形，使 EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C在平面内作CGABG(是平行四边形，故 F为AG中点.1 EF是厶ADG勺中位线， EF = DG ,2而 DG = DC + CG = DC + AB , .1 EF =丄(AB + D

7、C ).2解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB EC,则有EB = EA + AB ,EC = ED + DC ,又T E是AD之中点，.有 EA + ED = 0 .即有 EB + EC = AB + DC ;以EB与EC为邻边作平行四边形 EBGC则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.111- EF = EG = ( EB + EC ) = ( AB + DC )222例3如图,已知任意两个非零向量 a,b,试作OA = a+ b,OB = a - 2b,OC = a 3b你能判断A B C三点之间的位置关系吗？为什么？解： AB=OBOA 二 a 2b：；a b 二 bAC = OCOA 二 a 3b：；：a b = 2b AC =2AB