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1、函 数一、函数的相关概念1、函数的概念:设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合 中的任意一个数,在集合中都有唯一的确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作,2、函数的三要素:定义域、值域、解析式(对应关系)注意:若两函数相等,则其“定义域”和“对应关系”必须相等。3、函数的表示法:解析法、图像法、列表法二、函数的基本性质:( 单调性、奇偶性、周期性 )1、函数的单调性:( 增函数、减函数 )(1)增函数:在函数定义域某个区间内任意两个自变量的值,对于任意,都有,则称:函数在区间上是增函数。(2)减函数:在函数定义域某个区间内任意两个自变量的值,对于任意,都有,
2、则称:函数在区间上是减函数。(3)单调函数的性质:增函数增函数增函数;减函数减函数减函数;增函数减函数增函数;减函数增函数减函数; 和单调性相同,和为增函数; 和单调性不同,和为减函数;(4)判定函数单调性的方法:定义法、性质法、导数法(5)定义证明单调性的步骤:在函数定义域内取任意、,且作差判断正负结论(6)最大值、最小值: 最大值:设函数的定义域为,若存在实数满足:对于任意的,都有,且存在,使得 最小值:设函数的定义域为,若存在实数满足:对于任意的,都有,且存在,使得2、函数的奇偶性:( 奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数 )(1)奇函数:在函数定义域内任意一个,都有,则函数就称为
3、奇函数,函数图像关于原点对称。(2)偶函数:在函数定义域内任意一个,都有,则函数就称为偶函数,图像关于轴对称。(3)奇偶函数的性质:奇函数奇函数偶函数;奇函数奇函数偶函数;偶函数偶函数偶函数;偶函数偶函数偶函数;奇函数偶函数奇函数;奇函数偶函数奇函数;(4)判断函数奇偶性的方法:定义法、图像法、性质法(5)特别的,若,则函数既为奇函数又为偶函数3、函数的周期性:对于函数,若存在不为零的常数,对定义域内任意都有 =,则称为周期函数,为此函数的周期。(1)若奇函数的图像关于直线对称,则是周期函数,且为其周期;若偶函数的图像关于对称,则为的一个周期。(2)若函数满足,则的图像关于直线对称。若函数满足
4、,则的图像关于轴对称。若函数满足,则的周期为。函数与函数的图像关于直线对称。(3)抽象函数的描述抽象函数关系式相应的模型函数(,)(,)二、指数与指数函数1、指数:0的奇次方根及偶次方根都为0,负数没有偶次方根 运算性质:= ; =;=;(;、)2、指数函数及其性质:函数(且)叫做指数函数;指 数 函 数 的 性 质定 义 域 :值 域 :(,)(,)范 围 :定 点 :(,)(,)单 调 性 :递 减递 增三、对数和对数函数1、对数:如果 (且) 的次幂等于,即,那么就称是以为底的对数,记作(为底数,为真数)注意:负数和零没有对数。(1)常用对数:;()(2)对数的性质:; (换底公式);
5、(3)对数的运算法则:;2、对数函数:函数(且)叫做对数函数。对 数 函 数 的 性 质定 义 域 :(,)(,)值 域 :范 围 :,)(,(,)(,)定 点 :( 1 , 0 )( 1 , 0 )单 调 性 :递 减递 增四、幂函数:函数 ,其中是自变量,是常数(对于幂函数,我们只讨论 1、2、3、-1的情况)幂 函 数 的 性 质定 点 :( 1 , 1 ) ( 0 , 0 )( 1 , 1 )单 调 性 :在,)递增在,)递减注意:幂函数的图像一定不经过第四象限。五、函数的图像作图:描点法、转化法(恒等变形、变换法借助基本函数图像、利用图像变换作图)1、描点法:(1)研究函数定义域、值域、确定图像范围(2)研究函数的奇偶性、确定图像对称关系(3)研究函数单调性、确定函数的升降趋势 (4)取值、列表、描点并连线2、转化法:(1)恒等变形(2
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