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文档简介
1、复合函数求偏导,一、复合函数的链式法则,设z=f(u,v)是变量u,v的函数,而u,v又是x,y的 函数,即 ,如果能构成z是x ,y的 二元复合函数,如何求出函数z对自变量x,y的偏导数呢,定理8.5 设函数 在点(x,y)处有偏 导数,而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数,则 复合函数 在点(x,y)处的偏导数 存在,且有下面的链式法则,复合函数的结构图是,公式(1)给出z对x的偏导数是,公式(*)与结构图两者之间的对应关系是:偏导数 是由两项组成的,每项又是两个偏导数的乘积,公式(*)的这两条规律,可以通过函数的结构图得到,即,1)公式(*)的项数,等于结构图中自变量x到
2、达z路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.第一条是 ,第二条是 ,所以公式(*)由两项组成,2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 , 有一个函数z和一个中间变量u,因此,第一项就是两 个偏导数 与 的乘积,复合函数结构虽然是多种多样,求复合函数的偏导数公式也不完全相同,但借助函数的结构图,运用上面的法则,可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则,下面借助于函数的结构图,利用链式法则定出偏导数公式,1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数,而 都有偏导数,求复合函数 的偏导数,由结构图看出自变量x到达
3、z的路径有三条,因此 由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变 量,所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应 自变量的偏导数乘积,即,同理可得到,2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数,而 都有偏导数,求复合函数 的偏导数,借助于结构图,可得,3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数,而 可导,则复合函数 只是自变量x的函数, 求z对x的导数,可得,在这里,函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的一元复合函数.因此,z对x的导数 又称为z对x的全导数.对公式(5)应注意,由于z,u,v这三个函数都是x 的一元函数,故对x的导数应写成 ,而不能写成,4.设函数z=f(x,v)有连续
4、偏导数, 有偏导数,求复合函数 的偏导数,自变量x到达z的路径有二条,第一路径上只有一个函数,即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自变量y到达z的路径只有一条,于是 的偏导数公式应是,注意: 这里的 与 是代表不同的意义.其中 是将函数 中的y看作常量而对自变量x求偏导数,而 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一个位置变量x求偏导数,所以两者的含意不同,为了避免混淆,将公式(6)右端第一项写 ,而不写为,例1 设 求,解法1 得,解法2 对于具体的二元复合函数,可将中间变量u,v,用x,y代入,则得到,z 是x,y二元复合函数,根据复合函数的链式法则,得,例2 设 ,其中f(u,v
5、)为可微函数,求,解 令 ,可得,其中 不能再具体计算了,这是因为外层函数f 仅是抽象的函数记号,没有具体给出函数表达式,例3 设 ,其中f(u,v,w)为可微函数,求,解 令 可得,例4 设 求,解 可得,在该例中,我们清楚看出 与 含意是不同的,显然不等于,例5 设 求,解 得,例6 设z=f(x,xcosy),其中f(u,v)为可微函数,求,解 令v=xcosy,得,求复合函数的二阶偏导数,不需要新的方法和新的公式,只需把一阶偏导数看作一个新的函数,应用链式法则对它再求偏导数即可,例7 设 ,求证,证,由于x,y,z在函数中的地位是相同的,所以同样有,因此有,二、全微分形式不变性,与一元函数的微分形式不变性类似,多元函数全微分也有形式不变性.也就是说不论u,v是自变量还是中间变量,函数z=f(u,v)的全微分的形式是一样的.即,这个性质称为全微分的形式不变性,事实上,设z=f(u,v)有连续偏导数,当u,v是自变量时,显然(7)式成立,如果u,v是中间变量,即 ,且这两个函数具有连续偏导数,则复合函数,的全微分为,其中,将 代入上式,得,即,当u,v是中间变量时,(7)式也成立.这就证明了全微分形式不变性,例如,利用全微分形式不变性及全微分的四则
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