高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：3.1.1 数系的扩充和复数的概念 探究导学课型

1、第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充和复数的概念 3.1.1数系的扩充和复数的概念,主题一：复数的概念 【自主认知】 1.由x+ =1得x2+ =-1， 这与x2+ 0矛盾的原因是什么？ 提示：方程x2-x+1=0无实根. 2.方程x2-x+1=0无实根的根本原因是什么？ 提示：-1不能开平方,3.我们设想引入一个新数，用字母i表示，使这个数是-1的平方根，即i2=-1，那么方程x2-x+1=0的根是什么？ 提示： 4.满足i2=-1的新数i显然不是实数，称为虚数单位.虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？ 提示：a+bi(a，bR,根据以上探究过程，试着写出复数的

2、有关概念. 1.虚数单位i的意义：i2=_. 2.复数的代数形式：_. 3.复数的实部与虚部：_与_分别叫做复数z的实部与虚部. 4.复数z=a+bi(a，bR)为实数的条件是_； 复数z=a+bi(a，bR)为虚数的条件是_； 复数z=a+bi(a，bR)为纯虚数的条件是_,1,z=a+bi(a，bR,a,b,b=0,b0,a=0且b0,合作探究】 1.根据数系的扩充原则应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律？ 提示：乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律. 2.把形如a+bi(a，bR)的数叫做复数，全体复数所构成的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？

3、 提示：C=z|z=a+bi(a，bR,3.复数的实部与虚部一定是实数吗？ 提示：若复数z=a+bi(a，bR)，则其实部为a，虚部为b，因此复数的实部和虚部指的是两个实数，不能认为复数z=a+bi(a，bR)的虚部是bi，同时要特别注意只有当a，bR时，a+bi中的a与b才分别是实部与虚部,过关小练】 1.复数-3i的虚部是() A.0 B.-3 C.i D.-3i 【解析】选B.-3i=0+(-3)i,对应a+bi(a,bR)的形式,实部a=0,虚部b=-3,2.若x,yR,z=x+yi是虚数,则有() A.x=0,yR B.x0,yR C.xR,y=0 D.xR,y0 【解析】选D.z=

4、x+yi是虚数,只需y0即可,主题二：复数的相等和分类 【自主认知】 1.a+bi=0的充要条件是什么？ 提示：a=b=0. 2.虚数集与纯虚数集之间的关系如何？ 提示：纯虚数集是虚数集的真子集,3.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？ 提示,根据以上探究过程，总结出复数相等的充要条件以及复数的分类. 1.复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a+bi=c+di_. 2.复数的分类,a=c，b=d,纯虚数,合作探究】 1.复数可以相等，是否可以比较大小呢？ 提示：若两个复数全是实数，则可以比较大小；反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数.若两个复数不全是

5、实数，则不能比较大小,2.实数集R与纯虚数集I的交集为空集吗？实数集R与纯虚数集I的并集为复数集C吗？ 提示：由复数的分类可知，RI= 正确，RI=C错误，事实上， 实数虚数=C，实数虚数=,拓展延伸】实系数一元二次方程在复数集C中解的情况 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，cR且a0). 因为a0，所以原方程可变形为,1)当=b2-4ac0时，原方程有两个不相等的实数根x= (2)当=b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根x1=x2= (3)当=b2-4ac0时， 0， 又 的平方根为 此时原方程有两个不相等的虚数根x,说明】实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0时，

6、有两个实根；当0时，有两个不相等的虚根,过关小练】 1.复数z=(m2-1)+(m-1)i(mR)是纯虚数，则有() A.m=1 B.m=-1 C.m=1 D.m1 【解析】选B.因为复数z=(m2-1)+(m-1)i(mR)是纯虚数， 所以 解得m=-1,2.如果用C,R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,那么有() A.C=RI B.RI=0 C.R=CI D.RI,解析】选D.复数z=a+bi(a,bR) 根据以上复数分类判断知RI=,故选D,归纳总结】 1.复数概念的三个关注点 (1)虚数单位i可以与实数进行加、减、乘、除的运算. (2)复数的定义如同指数函数的定义一样

7、，采用形式定义，即符合a+bi(a，bR)的形式的数就是复数. (3)复数的代数形式a+bi(a，bR)中，a，b一定是实数，否则，就不是复数的代数形式,2.对复数相等与分类的五点说明 (1)注意准确把握复数集内各子集之间的关系，有利于对复数概念的完整理解. (2)若两个复数全是实数，则两数可以比较大小，反之，若两个复数可以比较大小，则两个复数全是实数. (3)应用复数相等的充要条件解题时要确保复数必须化成a+bi(a，bR)的形式，否则等量关系不成立,4)“a+bi=c+di”得“a=c且b=d”成立的前提条件是a，b，c，dR，否则结论不一定成立. (5)根据复数相等的定义知，在a=c，b

8、=d两式中，只要有一个不成立，那么a+bic+di(a，b，c，dR,类型一：复数的概念及分类 【典例1】(1)下列命题中，正确的是() 若aR，则(a+1)i是纯虚数； 复数z=0的实部和虚部均为0； 若(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a=1或2； 两个虚数不能比较大小. A. B. C.D,2)当实数m为何值时，复数z= (m2-2m)i为 实数；虚数；纯虚数？ 【解题指南】(1)根据复数的概念，逐一作出判断. (2)先确定复数的实部和虚部，再根据题意分别列出方程(组)求解,解析】(1)选B.在中，若a=-1，则(a+1)i不是纯虚数，故错误；在中，若a=1，则(a2-3a

9、+2)+(a-1)i=0为实数，故错误； 正确. (2)当 即m=2时，复数z是实数. 当m2-2m0，且m0，即m0且m2时，复数z是虚数. 当 即m=-3，复数z是纯虚数,规律总结】复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z=a+bi(a，bR)时应先转化形式. (2)注意分清复数分类中的条件 设复数z=a+bi(a，bR)，则z为实数b=0，z为虚数b0，z为纯虚数a=0，b0.z=0a=0，且b=0,巩固训练】以3i- 的虚部为实部，以3i2+ i的实部为虚部的 复数是

10、() A.3-3i B.3+i C.- + i D. + i 【解析】选A.3i- 的虚部为3，3i2+ i=-3+ i的实部为-3，故z=3-3i,补偿训练】1.(2015石家庄高二检测)若复数z=(m+1)+(m2-9)i0，则实数m的值等于() A.-1 B.3 C.3 D.-3 【解析】选D.由(m+1)+(m2-9)i0， 得 解得m=-3,2.m为何实数时，复数z= (m2+8m+15)i是实数？虚数？纯 虚数？ 【解析】(1)当 即m=-3时，z是实数. (2)当m2+8m+150，且m+50， 即m-3且m-5时，z是虚数. (3)当 =0，且m+50，m2+8m+150，即m

11、=2时，z是纯虚数,类型二：复数的相等 【典例2】(1)设复数z1=(x-y)+(x+3)i，z2=(3x+2y)-yi，若z1=z2，实数x=，y=. (2)已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根，则实数m的值为，方程的实根x为,解题指南】(1)根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解. (2)设出方程的实数解，代入原式整理为a+bi=0(a，bR)的形式解决,解析】(1)由复数相等的充要条件得 解得 答案：-96,2)设a是原方程的实根， 则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0， 即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i， 所以a2+a+3m=0且2

12、a+1=0， 所以a=- 且 +3m=0， 所以m= . 答案,延伸探究】 1.(变换条件)若将题(2)中的方程改为：x2+mx+2xi=-1-mi如何求解？ 【解析】设实根为x0，代入方程，由复数相等定义，得 因此，当m=-2时，原方程的实根为x=1， 当m=2时，原方程的实根为x=-1,2.(变换条件)若将题(2)中的方程改为3x2- x-1=(10-x-2x2)i， 如何求解？ 【解析】设方程实根为x0，则原方程可变为 -1 =(10-x0- )i，由复数相等定义，得： 因此，当m=11时，原方程的实根为x=2； 当m=- 时，原方程的实根为x=-,规律总结】复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的,拓展延伸】复数问题实数化 两个复数相等的充要条件是求复数及解相关方程或不等式的