结构力学位移法

1、结构 力学,STRUCTURE MECHANICS,南华大学建资学院道桥教研室,结 构 力 学,讲 授： 刘华良,课件制作： 刘华良,南华大学建资学院道桥教研室 衡阳 2005年,第八章 位移法,Displacement Method,等截面直杆的物理方程,位移法的基本概念,位移法基本未知量数目的确定,位移法的两种思路:位移法典型方程和直接平衡方程,剪力静定杆的求算,对称性的利用,有侧移的斜柱刚架,温度改变时的计算,支座移动的计算,本章小结,弹性支座问题,联合法和混合法,课堂练习,内 容,求解超静定结构的两种最基本的方法,力法 位移法,力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选用各种各样的基本结构

2、,位移法在解题上比较规范，具有通用性，因 而计算机易于实现,位移法可分为：手算位移法 电算矩阵位移法,位移法的基本概念,力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同,力法：以多余未知力基本未知量,位移法：以某些结点位移基本未知量,解题过程,超静定结构,拆成基本结构,加上某些条件,原结构的变形协调条件（力法基本方程,力法,先求多余未知力,结构内力,结构位移,力法和位移法的解题思路,位移法,先求某些结点位移,结构内力,解题过程,结构,拆成单根杆件 的组合体,加上某些条件,1.杆端位移协调条件,2.结点的平衡条件,适用范围,力法: 超静定结构,位移法： 超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点少而杆

3、件较多的刚架,例,用位移法计算图示刚架,在受弯杆件中，略去杆件的轴向变形和剪切变形的影响。 假定受弯杆两端之间的距离保持不变,为了使问题简化，作如下计算假定,由此可知，结点1只有转角Z1，而无线位移，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角Z1,整个刚架的变形只要用未知转角Z1来描述，如果能设法求得转角Z1，即可求出刚架的内力,为了求出Z1值，可先对原结构作些修改,这样，原结构就被改造成两个单跨梁： lB是两端固定梁，1A是一端固定、另端铰支梁,基本体系,基本结构,P,在基本结构上加上原来的力P，由于附加刚臂不允许结点1转动，此时只有梁lB发生变形，梁1A则不变形,此时附加刚臂中产生了反力矩R1

4、P，反力矩规定以顺时针为正。于是，基本结构与原结构就发生了差别，表现为,1由于加了约束，使结点1不能转动，而原来是能转动的,基本结构,P,R1P,2由于加了约束，产生了约束反力矩，而原来是没有这个约束反力矩的,为了消除基本结构与原结构的差别，在结点1的附加约束上人为地加上一个外力矩R11，迫使结点1正好转动了一个转角Z1，于是变形复原到原先给定的结构,R11,Z1,Z1,R11,Z1,Z1,基本结构,P,R1P,结点1正好转动一个转角Z1时，所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为,R1=0,即外荷载和应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附加约束反力矩等于零,根据叠加原理，共同作用等于单独作用

5、的叠加,R1R11R1P=0 （a,R11为强制使结点发生转角Z1时所产生的约束反力矩,R1P为荷载作用下所产生的约束反力矩,为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为,为单位转角（Z11）产生的约束反力矩,R11=r11Z1,Z1=1,式（a）变为,其物理意义是，基本结构由于转角Z1及外荷载共同作用，附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零,由此方程可得,可见，只要有了系数 及自由项R1P，Z1值很容易求得,为了确定上式中的 R1P 和 ，可先用力法分别求出各单跨超静定梁在梁端、柱顶1处转动 Z1=1时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的弯矩图,r11,Z1=1,P,R1P,MP图,现取

6、图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方程 ，求出,将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得,最后，根据叠加原理 ，即可求出最后弯矩图,1.在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载,通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形,综上所述，位移法的基本思路是,人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的位移,等截面直杆的物理方程,1.转角位移方程 Slope-Deflection Equation,由线性小变形，由叠加原理可得,单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下,符号规定:

7、杆端弯矩-绕杆端顺时针为正 杆端剪力-同前 杆端转角-顺时针为正 杆端相对线位移-使杆轴顺时针转为正,固端弯矩,转角位移方程,其中,称杆件的线刚度,为由荷载和温度变化引起的杆端弯矩，称为固端弯矩,转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation,A端固定B端铰支杆的转角位移方程为,A端固定B端定向杆的转角位移方程为,超静定单跨梁的力法结果(1,形,形,载,形=形常数,载=载常数,超静定单跨梁的力法结果(2,载,载,载,超静定单跨梁的力法结果(3,载,载,载,超静定单跨梁的力法结果(4,形,载,形,载,超静定单跨梁的力法结果(5,载,载,载,超

8、静定单跨梁的力法结果(6,载,载,载,载,超静定单跨梁的力法结果(7,载,载,载,形,超静定单跨梁的力法结果(8,载,载,载,载,超静定单跨梁的力法结果(9,载,载,载,载,2,超静定单跨梁的力法结果(10,载,载,载,位移法基本未知量数目的确定,基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移,基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能 发生位移的结构,典型方程法基本概念,位移未知量(一些特殊情况以后结合例题讨论) 结点位移包括角位移和线位移 独立角位移 na =刚结点数； 独立线位移 nl =? 不考虑轴向变形时： nl =刚结点变成铰，为使铰结体系几何不变所需加的支杆数。 考虑轴向变

9、形时： nl =结点数2约束数 总未知量 n = na+ nl,1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构,2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形,位移未知数确定举例,位移未知数确定举例,位移未知数确定举例,位移未知数确定举例,位移未知数确定举例,位移未知数确定练习,位移法的两种思路,位移法典型方程 直接按平衡条件建立位移法方程,位移法第一种基本思路,图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q, 集中力FP ,力偶M .如何求解,力法未知数个数为3,但独立位移 未知数只有一(A 点转角,设为,位移法第一种基本思路,在此基础上

10、,由图示结点平衡得,利用转角位移 方程可得,第一种基本思路,位移法思路(平衡方程法) 以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移)关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可得原结构受力,第二种基本思路,图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q, 集中力FP ,力偶M .如何求解,以A 点转角做基本未知量,设为 .在A 施加限制转动的约束,以如图所示体系为基本体系(基本结构的定义和力法相仿,第二种基本思路,利用“载常数

11、”可作 图示荷载弯矩图,利用“形常数”可作 图示单位弯矩图,第二种基本思路,位移法思路(典型方程法) 以位移为基本未知量,先“固定”（不产生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受力,作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因），由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。 两者联合原结构无约束，应无附加约束反力（平衡）. 列方程可求位移,基本思路,典型方程法：仿力法，按确定基本未知量、基本结构，研究基本体系在位移和外因下的“反应”，通过消除基本体系和原结构差别来建立位移法基本方程（平衡）的上述方法,平衡方程法：利用等直杆在外因和杆端位移下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角位移）方程,由结点

12、、隔离体的杆端力平衡建立求解位移未知量的方法,基本思路,两种解法对比： 典型方程法和力法一样，直接对结构按统一格式处理。最终结果由迭加得到。 平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可得。 位移法方程： 两法最终方程都是平衡方程。整理后形式均为,2.平衡方程法建立位移法方程,1.转角位移方程 Slope-Deflection Equation,典型方程法基本概念,基本结构：加约束“无位移”,能拆成已知杆端力-杆端位移关系“单跨梁”的超静定结构,基本体系：受外因和未知位移的基本结构,典型方程法基本概念,基本方程： 外因和未知位

13、移共同作用时,附加约束没有反力实质为平衡方程,附加反力 为零,典型方程法步骤,确定独立位移未知量数目（隐含建立基本体系，支杆只限制线位移，限制转动的约束不能阻止线位移） 作基本未知量分别等于单位时的单位弯矩图 作外因（主要是荷载）下的弯矩图 由上述弯矩图取结点、隔离体求反力系数,典型方程法步骤,建立位移法典型方程并且求解,按迭加法作最终弯矩图,取任意部分用平衡条件进行校核,单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,熟记了“形、载 常数”吗,如何求,单位弯矩图为,取结点考虑平衡,荷载弯矩图,取结点考虑平衡,位移法典型方程,最终内力,请自行作出最终M图,例二:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. E=常数,

14、熟记了“形、载 常数”吗,如何求,取结点和横梁为隔离体，即可求得全部系数,请自行列方程、求解并叠加作弯矩图,例三:图示等截面连续梁,B支座下沉 ,C支 座下沉0.6 .EI等于常数,作弯矩图,单位弯矩和支座位移弯矩图的示意图如下,熟记了“形常数” 吗,如何求,单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,熟记了“形常数” 吗,40,如何求,对于有侧移的斜柱刚架在计算上的特点是，确定基本结构发生线位移时与平行柱的区别,见图a和图b,对于图a，在单位线位移作用下，两平行柱的两端相对线位移数值相同，且都等于1，而横梁仅平行移动，其两端并无相对线位移，故不弯曲。而对于图b则就不同了，在单位线位移作用下，杆AB、C

15、D的垂直线位移不等于1，水平杆BC的两端产生了相对线位移，发生弯曲变形。因此，在非平行柱刚架中，在单位线位移作用下：（1）柱与横梁发生弯曲；（2）各杆端垂直于杆轴线的相对线位移亦各不相同,有侧移的斜柱刚架,如何确定对于斜柱刚架在当结点发生线位移时各杆两端的相对线位移？以下面图所示一具有斜柱刚架发生结点线位移的情为例来说明,应该注意到，各杆的线位移虽然不同，但它们是互相有关的。确定当结点发生单位线位移时各杆两端的相对线位移，可采用作结点位移图的方法。 首先将刚结点改为铰，然后观察在单位线位移条件下各结点的新位置及由此所产生的线位移数值方向,图a：结点A的线位移 垂直于杆AB，其水平位移分量为1。

16、由此可确定B的新位置 。当机构ABCD作机动时，杆CD将绕铰D转动，故铰C的位移 必垂直于 杆CD。于是在 的作用下，杆BC将最终占有位置 。杆件BC的运动可分解为平移（从BC到 ）与转动（从 到 ）。因此，各杆的相对线位移为（图b,作结点位移图的方法（图b）如下所述,只需直接作出三角形 即可。其方法为：任选一点O代表位移为零的点，如A、D点，称为极点。按适当比例绘出 ，然后作OB垂直于杆AB；再过B点作杆BC的垂线；又过O点作杆CD的垂线，便得出交点C。在此图中，向量OB、OC即代表B、C点的位移，而AB、BC、CD则代表AB杆、BC杆、CD杆两端的相线位移。则图b称为结点位移图,例8-3,

17、由图d得：杆AB两端相对线位移为 ，杆 CD两端相对线位移,由图 f 得,由图 g 得,由图 h 得,由图 i得,由图 j 得,将各系数和自由项代如位移法基本方程，得,按叠加法绘最后弯矩图,试求图a所示带斜杆结构的系数项和自由项,位移法基本方程,解：图a所示结构虽然横梁刚度无限大，但柱子不平行，横梁不仅能产生线位移，也能产生转动，也即横量作平面运动。在小变形情况下结点位移如图b、c所示，独立的位移只有一个线位移，因此可取图d作为基本结构,图 示 结 构 在 作 用 下 的 单 位 弯 矩 图 中 正 确 的 为 ： A. ; B. ; C. ; ; D. 。（,试用位移法计算图示结构，并作弯矩

18、图。EI=常数,剪力静定杆的求算,剪力静定杆带来的简化,杆AB称为剪力静定杆，即用静力平衡条件可直接求得其剪力（见教材P230所述及图11-13,判断下面哪些结构是属于剪力静定结构,本题特点是： （1） 柱AB的B端虽然有侧向线位移，但柱AB的剪力是静定的，称它为剪力静定柱。 （2） 横梁的两端无垂直于杆轴的相对线位移，称它为无侧移杆。 考虑到上述特点，所以在确定位移法的独立未知量时，可以不把柱端的侧移作为独立的位移未知量，从而使原来两个未知量（一个角位移和一个线位移）减为一个角位移未知量，使计算得以简化。在选取位移法的基本结构时，只须在刚结点B处附加阻止转动的刚臂约束即可，如图b所示。在该基

19、本结构中，由于B端无侧向约束，柱子两端有相对线位移，而无角位移，所以AB柱的B端可视为滑动支座，下端为固定支座，从而满足剪力静定的要求。 各横梁的梁端虽然有水平位移，但对杆的内力无影响。因此各横梁可视为一端固定另一端链杆支座（图b,特殊情况讨论（剪力分配法,对称结构的内力与变形特点 对称结构在对称荷载作用下产生对称的内力与变形；对 称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与变形,半结构的选取原则 利用结构对称性取半结构(或四分之一结构)进行计算时, 其半结构分开处的约束支座是根据其变形条件来确定的,对称性的利用,1.奇数跨对称结构,1）对称荷载（图a） 在对称轴上的截面C没有转角和水平位移，但

20、可有竖向位 移。计算中所取半边结构如图（b）所示，C处取为滑动支承 端,2）反对称荷载（图a） 在对称轴上的截面C没有竖向位移，但可有转角和水平 位移。计算中所取半结构如图（b）所示，C处取为链杆 支座,2.偶数跨对称结构,1）对称荷载（图a） 在对称轴上，截面C没有转角和水平位移，柱CD没有弯矩 和剪力。因为忽略杆CD的轴向变形，故半边结构如图（b） 所示，C端为固定支座,2）反对称荷载（图a） 在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移。但有弯矩和弯曲变形。可将中 间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半， 这样问题就变为奇数 跨 的问题（图b），其中在两根分柱之间增加一跨，但其跨度为零。半

21、边结构如图c所示。因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消， 半边结构也可按图d选取。中间柱CD的总内力为两根分柱内力之和。由于 两根分 柱弯矩、剪力相同，故总弯矩总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍。 又由于两根分柱的轴力绝对值相同而正负号相反，故总轴力为零,用位移法计算图a所示结构，绘制弯矩图。E=常数,根据正对称性质，图a中AB杆不会弯曲而只受轴力。在这里我们又不计 轴向变形影响，故将AB杆看作轴向刚度无限的链杆，则A，B两点的竖 向位移相同，简化分析半结构如图b所示。 本题有两个独立未知数，位移法基本方程为,按叠加法,1.联合法,P/2,力法:6个未知量,位移法:6个未知量,部分力法,部分

22、位移法:4个未知量,联合法与混合法,基本思路 联合法是一个计算简图用同一种方法，联合应用力法、位移法。 混合法则是同一个计算简图一部分用力法、另一部分用位移法。超静定次数少，独立位移多的部分取力为未知量。超静定次数多，独立位移少的部分取位移作未知量,2.混合法,用混合法计算图示刚架,并作弯矩图. EI=常数,用位移法计算图a所示结构，绘制弯矩图。E=常数,联合法：上述这种求解同一问题时，联合应用力法、位移法求解的方法，称为联合法,联合法,注意点：用联合法求解对称结构时，每个半结构的计算简图的求解是很方便的，但从半结构的结果，利用对称性和进行叠加时必须细心，否则将前功尽弃,前面介绍的超静定结构的

23、解法，即使是联合法，对每一个计算简图选用基本结构未知量都是相同性质的，但对图示结构，不管是用位移法或力法，其位知数数目均 7 个，手算是不可能的,分析：左边“主厂房”部分一次超静定，但独立位移有 5个。由边“附属厂房”部分独立位移只有 2个，而超静定次数为六次。 如果左边部分以力作未知量，右边部分以位移作未知量，混合用两类未知量的总未知量只有 3个，如图所示。下面说明混合法解题思路,混合法,此例说明,解决问题不能墨守成规，要深刻理解和掌握力学概念、原理和方法，在此基础上灵活应用知识，才能既好又省地解决问题,温度改变时的计算，与支座位移时的计算基本相同。这里只作一点补充：除了杆件内外温差使杆件弯

24、曲，因而产生一部分固端弯矩外；温度改变时杆件的轴向变形不能忽略，而这种轴向变形会使结点产生已知位移，从而使杆端产生相对横向位移，又产生另一部分固端弯矩。具体计算通过下面的例题来说明,例如图示刚架的范EI=常数，横梁温度均匀升高 , 两柱温度不变化，试绘弯矩图,温度改变时的计算,按叠加法绘制最后弯矩图 ，即,超静定结构当支座产生已知的位移(移动或转动)时，结构中一般会引起内 力。用位移法计算时,基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷载作用 时一样,不同的只有固端力一项，例如由荷载产生的固端弯矩改变成由已 知位移产生的固端弯矩，具体计算通过下面的例题来说明,图示刚架的A支座产生了水平位移a、竖向位

25、移b=4a及转角 ，试绘其弯矩图,支座移动的计算,根据基本结构在 及支座位移的共同影向下（图b），附加刚臂上的反力矩为零的平衡条件，可建立典型方程为,计算系数及自由项，绘出单位弯矩图及已知位移的弯矩图。在这里我 们将已知位移的弯矩图由叠加法绘出如下,解得,刚架的最后弯矩图为,弹性支座,请自行列方程、求解并叠加作弯矩图,例九:试作图示结构弯矩图,请自行列方程、求解并叠加作弯矩图,例十:试作图示结构弯矩图,请自行求系数、列方程、求解并叠加作弯矩图,8-9 思考题及习题课,位移法如何体现结构力学应满足的三个方面条件（平衡条件、几何条件与物理条件）,答：位移法的两种计算方法（基本结构法和直接列杆端力建

26、立平衡方程）都是按两大步骤进行，即单杆分析和整体分析。单杆分析是利用转角位移方程和固端力表得到杆端力和杆端位移和荷载的关系，或得到单位、荷载弯矩图；整体分析得到位移法的基本方程。 在整体分析中，确定位移法的基本未知量，考虑了交于结点的诸杆端的变形条件，而基本方程反应了平衡条件。因此，整体分析是在结点处考虑了上述三个方面条件,单杆分析,铰结端角位移和滑动支座线位移为什么不作为位移法的基本未知量,在转角位移方程中，铰结端角位移和滑动支座线位移都不是独立的杆端位移分量，而与其它杆端位移分量保持确定的关系。在手算中，为了减少基本方程数目，上述位移分量不引如基本未知量,什么情况下独立的结点线位移可以不作

27、为位移法基本未知量,若刚架的有侧移杆都是剪力静定杆，则用位移法求解时，独立结点立的线位移也可以不作为位移法的基本未知量。这时刚架中杆件分为两类：一类是无侧移杆件，其杆端弯矩计算公式照旧。另一类是有侧移但剪力静定杆，这类杆件无论其杆端连接刚结点还是固定端，其转角位移方程一律与一端刚结一端滑动约束杆相同,答：可以。因为在静定结构中总是存在具有角位移或线位移的结点，其位移就可作为位移法基本未知量；对应于每个角位移或线位移可建立一个平衡方程，对应于任意单杆总可以建立相应的刚度方程,力法只能用于求解超静定结构。其原因是：力法是以多于未知力为基本未知数，而静定结构的几何特征是，几何不变，且无多余约束的结构,位移可否求解静定结构,8-10 本章小结,1.位移法计算基础： 以三类杆件为计算基础（即教材表8-1 等截面直杆的杆端弯矩和剪力,2.位移法计算原理： 几何不变的结构在一定的外因作用下，其内力与位移之间恒具有一定的关系，确定的内力只与确定的位移相对应。位移法是以结点处的独立角位移和线位移为基本未知量,