2019年高考文科第二伦专题：数列、等差数列﹑等比数列(命题猜想

1、【考向解读】1高考侧重于考查等差、等比数列的通项an,前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点.2备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识.3等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算例1、( 2018年浙江卷)已知 引宀码赴l成等比数列，且 r严如+ % -】测严 也+附.若A1，则A.鳥 r：y：心B.沁

2、C.D. Ay；!%【答案】B【解析】令lix) =x-kft -lJJJC(x) I - 令f(x) 0 得忆 I x所以当 :时，当，兀 I时，伽因此rix)f(l) = O, Ax ? IrK- I,若公比M 0,贝热亠巧占旳*切珂化-也:u * 不合题青；若公比勺WT,则町* a2 *时心叫4X1、0但In(叫匕丹/= 1门肉仆 l| l libi, D,护*飞-屯衍三o V戚七+ I不合题青；因此 1 2? an为等差数列；等差中项法，即2an+1 = an + an +2(n N )? an为等差数列；通项公式法，即an=an+ b(a, b是常数，n N)? a n为等差数列；前

3、 n项和公式法，即 Sn= an + bn (a, b是常数，n*ann)? an为等差数列.等比数列的判定与证明有以下三种方法：定义法，即扃=q(q为常数且qM0 n N*, n2? an为等比数列；等比中项法，即a2+1 = anan+2(an0 n N*)? an为等比数列；通项公式法，即an= a1qnT(其中a1, q为非零常数，n N)? a n为等比数列.【变式探究】若an是各项均不为零的等差数列，公差为d, Sn为其前n项和，且满足an= S2n-1 , n*_!_ N .数列b n满足bn= an an+ 1, Tn为数列b n的前n项和.(1) 求 an 和 Tn.(2)

4、是否存在正整数m, n(1m 得苗二C2n1)比；，又 3t=0 f , =2u 1. 1 1 * %=aa % 1= (2n- 1)(2n+l) =2 0且一1 一2n+lh11111n二几=奔(1-訐3-+- + 2口-1一】11+ 亍=玄 =2n+l(2)假设存在正整数 m, n (1mn )，使得，Tm, Tn成等比数列，则Ti Tn= TLn 11Ti Tn = 6n+ 3 =36，6+ n_ p；2_ 1-1 m 2m + 1 4m + 4m + 1 6，26 6. 2m2 4m 1 0 ,. 1 2 m 1,2 土n 4.m 2,则 T2 25令 T1 Tn 6n+ 3 25，得

5、 n 12，当且仅当m 2, n 12时，Tm, Tn成等比数列.【命题热点突破三】数列中an与Sn的关系问题例3、( 2018年天津卷)设an是等差数列，其前 n项和为Sn (n N* )； bn是等比数列，公比大于* ,0,其前 n 项和为 Tn (n N )已知 S=1, b3=b2+2, b4=a3+a5, b5=a4+2a6.(I ) 求 Sn 和 Tn；(n )若 Sn+ ( T1+T2+Tn) =an+4bn，求正整数 n 的值.n(n 1 I).【答案】(I ),- . ； (n )4.【解析】 设等比数列总:的公比为如由坍1,坍叶為可得孑M 29 因为勺A th可得耳-昭故A

6、广T j所以n 1 ?I设等差数列;的公差为J由X盹%可得可5 宙也冒,可得阳皿从而5 1I*故4 5所以気1，且an,号昂+1,為+2成等差数列(n N*).(1) 求数列an的通项公式；(2) 记bn= nan，数列 bn的前n项和为5*,若(n 1) 2m (Sn n 1)对于n2 n N*恒成立，求 实数m的取值范围【解析】解：(1)宙名k n亦：成等差数列.，可得屯+s二人又包是等比数列，所CU + q：屯仝q巧又因为屯赳 所2q-5q+2=O? 因为b所以q=2.又旳=2,所以数列仙的通项公式为屯=3(2)因为 bn= nan= n -2n，所以 Sn= 1 X2 + 2X22+

7、3X23+ nX2n,2Sn= 1X2 + 2X23+ 3X24+( n 1)2n+ n 2n+1,所以 Sn=( 2 + 22 + 23+ 2n n 2n+1)n+ 12 21 2n+ 1、n 2) = ( n 1)2n+1+ 2.n*因为(n 1) 2m (Sn n 1)对于n2 n N恒成立，所以(n 1) 2 m( n 1) 2n+1 + 2 n 1恒成立，即(n 1) 22n+1 1对于n2 n N*恒成立.n -1nn-1(2n)2 1 1令 f ( n)= 2n+1 1， n2 贝U f ( n + 1) f ( n)= 2n+ 2 1 2n+1 1 =( 2n+1 1) 0,所

8、以当n2 n N*时，f (n + 1) 7.I故实数m的取值范围为7, + g丿.【高考真题解读】1. ( 2018年浙江卷)已知杜心凤成等比数列，且 引+巧+气十引=欣引十込+砒.若引A1，则A.引工屯,也日4 B.引 巧,也C.巧吟也屯 D.叫屯,也=【答案】B【解析】令fix) = x InxI 令得尤：，x所以当 时f&S 当口 x】时，為 因此fix) ：f(l) 0,ax lnx+1,若公比勺0,贝归*幻占吠5 ：叮* - Ini a, f -町不合題意；若公比勺1 $则鞋*牡叫*讪讪U “ q)(l卜)认但hx珂 y q q) lna1 【打艮卩叫亠幻亠幻+ %三。匚lm i|

9、 +比亠嗨),不合题意j因此】vqvUq让(打二码 昕旷_叶牡*也丁 (片选B.2. (2018年北京卷) 十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为A. .B.C.D. 70【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为：，所以，又aif，则讥丹弹兀故选D.3. (2018年江苏卷)已知集合 A = ix|x - 2n Im怎M * ，B 伙Tin K .将A

10、u B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记 为数列 的前n项和，则使得成立的n的最小值为【答案】27【解折】设 -十,则 Su - (2 I I) l2(2k * iu：k r ：(H2k S 14 0? *?46所以只需研究亍于是否有满足条件的解，此时 = f(23“|二宁”门 亦+厂匸， 亦+ 】，m为等差数列项数，且m 16r由in 4 24 1 2 I2(2ni I).in 34m 5d f).鼻阳 22.n m 527得满足条件的廣小值为”4. (2018年浙江卷)已知等比数列 an的公比q1，且a3+a4+a5=28, a4+2是a3,的等差中项数列2bn满足 bi=1，数列

11、 ( bn+1-bn) an的前 n 项和为 2n+n.(I ) 求 q的值；(U )求数列*的通项公式.【答案】(I )(n ) b(115-(4n + (-)1 上【解析】(I )由是m：的等差中项得 - 一上/：?； -所以屯：屯二沆mw7. (2018年江苏卷)设 ，对1, 2,，n的一个排列，如果当st时，有 ，则称 是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1, 2, 3的一个排列231,只有两个逆序(2, 1), (3, 1)，则排列231的逆序数为2.记肛K)为1, 2,，n的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数.(1 )求一宀的值；(2 )求-：!：啲

12、表达式(用n表示).【答案】(1) 25(2) n5时，2【解析】(1 )记 为排列abc的逆序数，对1, 2, 3的所有排列，有1(123) = 0, t(l32)= I. t(213)= I. t(23l) = 2. t(312) = 2. = 3|,所以 !：对1 , 2, 3, 4的排列，利用已有的 1 , 2, 3的排列，将数字 4添加进去，4在新排列中的位置只能是 最后三个位置.因此，L=2) + 0 + (0)-5对一般的H (4)的情勝逆序数为0的排列只有一个：15 所以能)I .逆序数为1的排列只能是将排列A “中的任竜相邻两个数字调换位嚣得到的排列，所以 为计算缶,当1,厶

13、的排列及其逆序数确运后，将A1添抑进原排列，I在新排列中的位 羞只能是最后三个位羞.因此，9】皿)+ W 1)+0) g) 7当贬时，1.(2017高考全国卷I )记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+玄5= 24, &= 48,则 an的公差为【解析】通解：选C.设an的公差为d,则a4 + a5 = 24,S6 = 48,ai + 3d +ai + 4d=24,6X5、6ai+ 2 d = 48,解得d= 4故选C.优解：由 S6= 48 得 a4+ a3= 16,(a4+ a 5) (a4+ a3)= 8,d = 4,故选 C.2. (2017高考全国卷川)等差数列an的首项为1，公差

14、不为0若a2, a3, a6成等比数列，则an前6项 的和为()A . 24B . 3C . 3D . 8【解析】选A.由已知条件可得a1= 1, d工0由 a3= a2a6 可得(1 + 2d)2= (1 + d)(1 + 5d),解得d= 2.空2所以 S6 = 6X1 +2= 24.故选 A.3. (2017高考全国卷 川)设等比数列an满足a1+ a2= 1, a1 a3= 3,贝V a4=.【解析】i殳等比数列9；的公t彷心6 +化=一1白1一型=一3,/i（i+v）=-b创H弓=_瓦弋），得 1-g=3, ：g=-2.3=1,:心=如=1x（-2）- = - S,【答案】84. （

15、2017高考全国卷I ）记Sn为等比数列an的前n项和已知S2= 2, S3 = 6. 求an的通项公式；（2）求Sn,并判断Sn+ 1, Sn, S +2是否成等差数列.解：（1）设an的公比为q.由题设可得ai 1+ q = 2,ai I + q + q = 6.于是当T =2,4时，一 . 一-.又 Sr =30，故 30ai = 30，即 a1 = 1.所以数列an的通项公式为：3 -讥【护.（2）因为二厂；，. 八，所以 . ；. .- - I 一 r .因此，Sr SP + SD = 2S. 若 C是 D 的子集,则 Sc + Serif? = SC+SC = 2SC 2Sd. 若

16、D不是C的子集，且C不是D的子集=cncrz, F=z)ncrc则三註0, n Hf=0.于是 SC=SX+cnz t SD = SF Sc -.D j 进而由 S匚三 $口，得 Ss 3 SF设圧是E中的最大数，/为F中的最大数，则由(2)知 S匹 %】，于3-a SfSa = 3 所以即/少又2 ,故/ 2Sf +1 j 所以 Sc -SCCiD 2(S - 5cnD)+1 即 Sc+Sc2Sd+1.综合得 7鼻+5亡2 25d.I1. 【2015高考重庆，理2】在等差数列aj中，若a2=4, a4=2，则a6=()A、-1B、0C、1D、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得- - ，选

17、B.2. 【2015高考福建，理8】若a,b是函数 f(x)二 h_px+g(pRg：01 的两个不同的零点，且a,b, -2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则P q的值等于()A . 6 B. 7 C. 8D. 9【答案】D【解析】由韦达定理得。+吐号,则“OU 当亿瓦-2适当排序后成等比数列时-2必为等比中项，故岚十斗,.当适当排序后成等差数列寸，-2必不是等差中项，当存是等差中 (71A项时 2a- -1;解得a =1 ； = 4 ；当一是等差中项时，一=门一2,解得& =斗，d =1,综上所述， aaa= 所以戸+9 =9, SD.3. 【2015高考北京，理

18、6】设是等差数列.下列结论中正确的是()A .若 a!a20，则 a2 30B .若 a1a3 0，则 a1 a： 0C若 0 a : a2，则 a2 . aa3【答案】Cd若a ：,o，则 讥氐爲卜：【解析】先分析四个答案支,误，B举同样反例亓.二二二二:an 是等差数列，若0 : ai : a2，A 举一反例二 _：殳：, ai a20而 a2a3: 0 , A 错=二，ai a3 :0，而 aia20，B 错误，下面针对则q - 0,设公差为d，则d 0，数列各项均为正，由于C进行研究,二一门二一一 一- J - d -才-丿-:，则，选C.H4_丄亠.1X耳2- aa3 ；4. 【20

19、i5高考新课标2,理i6】设Sn是数列 祐/的前n项和，且a -i，- -，则S.i【答案】-ffi 1-，故数列 -ISJn【解析】由已知得，两边同时除以S. , Sn，得 一+1 6i是以_i为首项，_i为公差的等差数列，则一一一一 ，所以sn ：比n5.【20i5高考广东，理io】在等差数列lan?中，若a3 a4 a5 a6 a 25，则a2 ag=【答案】io.【解析】因为N ?是等差数列，所以a3 a a4 a a2 a 2a ,a3a4a5a6a 5a5= 25 即a5= 5，所以 a2比=2a5= iO，故应填入 iO 6. 【20i5高考陕西，理i3】中位数iOiO的一组数构成等差数列，其末项为20i5，则该数列的首项为【答案】5【解析】设数列的首项为 ai，则 +2015=2x1010 二A