2011年湖北省高考数学试卷(理科

1、2011年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）为虚数单位，则ABCD12（5分）已知，则A，BCD，3（5分）已知函数，若，则的取值范围为A，B，C，D，4（5分）将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则ABCD5（5分）已知随机变量服从正态分布，且，则等于A0.6B0.4C0.3D0.26（5分）已知定义在上的奇函数和偶函数满足若（a），则（a）A2BCD7（5分）如图，用、三类不同的元件连接成一个系统当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的

2、概率为A0.960B0.864C0.720D0.5768（5分）已知向量，且，若，满足不等式，则的取值范围为A，B，C，D，9（5分）若实数，满足，且，则称与互补，记那么是与互补的A必要不充分条件B充分不必要的条件C充要条件D既不充分也不必要条件10（5分）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量已知时，铯137含量的变化率是（太贝克年），则A5太贝克B太贝克C太贝克D150太贝克二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5

3、分）的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示）12（5分）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为 （结果用最简分数表示）13（5分）九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升14（5分）如图，直角坐标系所在平面为，直角坐标系（其中与轴重合）所在的平面为，（）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的坐标为 ；（）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 15（5分）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色当时，在所有不同的着色方案中，黑

4、色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）三、解答题（共6小题，满分75分）16（10分）设的内角、所对的边分别为、，已知，（）求的周长；（）求的值17（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米小时）是车流密度（单位：辆千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为60千米小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式；（）当

5、车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆时）18（12分）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合（）当时，求证：；（）设二面角的大小为，求的最小值19（13分）已知数列的前项和为，且满足：，（）求数列的通项公式；（）若存在，使得，成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论20（14分）平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线（）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系；（）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为

6、，设、是的两个焦点试问：在上，是否存在点，使得的面积若存在，求的值；若不存在，请说明理由21（14分）（）已知函数，求函数的最大值；（）设，均为正数，证明：（1）若，则；（2）若，则2011年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）为虚数单位，则ABCD1【解答】解：故选：2（5分）已知，则A，BCD，【解答】解：由集合中的函数，解得，所以全集，同样：，得到，故选：3（5分）已知函数，若，则的取值范围为A，B，C，D，【解答】解：函数，因为，所以，所以，所以，则的取值范围为：，故选：4（5分）将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物

7、线焦点的正三角形个数记为，则ABCD【解答】解：的焦点，等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于轴轴对称两个边的斜率，其方程为：，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形故，故选：5（5分）已知随机变量服从正态分布，且，则等于A0.6B0.4C0.3D0.2【解答】解：随机变量服从正态分布，得对称轴是，故选：6（5分）已知定义在上的奇函数和偶函数满足若（a），则（a）A2BCD【解答】解：是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数由得联立解得，由已知（a）（a）（2）故选：7（5分）如图，用、三类不同的元件连接成一个系统当正常

8、工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A0.960B0.864C0.720D0.576【解答】解：根据题意，记、正常工作分别为事件、；则（A）；、至少有一个正常工作的概率为；则系统正常工作的概率为；故选：8（5分）已知向量，且，若，满足不等式，则的取值范围为A，B，C，D，【解答】解：，又，即满足不等式的平面区域如下图所示：由图可知当，时，取最大值3，当，时，取最小值，故的取值范围为，故选：9（5分）若实数，满足，且，则称与互补，记那么是与互补的A必要不充分条件B充分不必要的条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答

9、】解：若，则，两边平方解得，故，至少有一为0，不妨令则可得，故，即与互补；若与互补时，易得，故，至少有一为0，若，此时，同理若，此时，即，故是与互补的充要条件故选：10（5分）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量已知时，铯137含量的变化率是（太贝克年），则A5太贝克B太贝克C太贝克D150太贝克【解答】解：，故选：二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）的展开式中含的项的系数为17（结果用数值表示）【解答】解：

10、二项展开式的通项为令得所以展开式中含的项的系数为故答案为1712（5分）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为（结果用最简分数表示）【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从30个饮料中取2瓶，共有种结果，满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，它的对立事件是没有过期的，共有种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到，故答案为：13（5分）九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升【解答】解：由题设知，解得，故答案为：1

11、4（5分）如图，直角坐标系所在平面为，直角坐标系（其中与轴重合）所在的平面为，（）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的坐标为；（）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 【解答】解：由题意知点在平面上的射影距离轴的距离不变是2，距离轴的距离变成，点在平面内的射影的坐标为设上的任意点为，在平面上的射影是根据上一问的结果，得到，故答案为：；15（5分）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）【解答】解

12、：由题意知当时，有2种，当时，有3种，当时，有种，当时，有种，当时，有种，当时，有种，当时，黑色和白色的小正方形共有种涂法，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种结果，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种结果，故答案为：21；43三、解答题（共6小题，满分75分）16（10分）设的内角、所对的边分别为、，已知，（）求的周长；（）求的值【解答】解：，的周长为，故为锐角则，17（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米小时）是车流密度（单位：辆千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不

13、超过20辆千米时，车流速度为60千米小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆时）【解答】解：（） 由题意：当时，；当时，设再由已知得，解得故函数的表达式为（）依题并由（）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为当时，当且仅当，即时，等号成立所以，当时，在区间，上取得最大值综上所述，当时，在区间，上取得最大值为，即当车流密度为100辆千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆小时答：（） 函数的表达式（） 当车流密度为100辆千米时，车

14、流量可以达到最大值，最大值约为3333辆小时18（12分）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合（）当时，求证：；（）设二面角的大小为，求的最小值【解答】解：过作于，连接，由直棱柱的性质可知，底面侧面侧面为在侧面内的射影则由，得，又，故由三垂线定理可知连接，过作与，连接由可知侧面，根据三垂线定理得是二面角的平面角即设则，在直角三角形中，在直角三角形中，故，又故当时，达到最小值，此时与重合19（13分）已知数列的前项和为，且满足：，（）求数列的通项公式；（）若存在，使得，成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论【解答】解：由已知，则，两式

15、相减得即又当时，数列为：，0，0，；当时，由，由得数列从第二项开始为等比数列当时，综上数列的通项公式为 对于任意的，且，成等差数列，理由如下：当时，由知，对于任意的，且，成等差数列；当，时，若存在，使得，成等差数列，则，即由知，的公比，于是对于任意的，且，从而，即，成等差数列综上，对于任意的，且，成等差数列20（14分）平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线（）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系；（）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点试问：在上，是否存在点，使得的面积若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（）设动点为，其坐标为，当时，由条件可得，即，又，的坐标满足当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线的方程为，是圆心在原点的圆；当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的双曲线（）由知，当时，方程为，当，时，的焦点分别为，对于给定的，上存在点，使得的面积，的充要条件为由得，由得，当，即，或时，存在点，使，当，即，或时，不存在满足条件的点当，时，由，可得令，则由，可得，从而，于是由，可得，即，综上可得：当，时，在上存在点，使得的面积，且；当，时，在上存在点，使得的面积，且；当时，不存在满