2001年高考试题天津卷

1、2001年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷1至2页.第卷3至10页.共150分.考试时间120分钟.第卷（选择题 共60分）注意事项：1答第卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A、B互斥,那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式P（AB）=P（A）P（B） 其中c表示底面周长,L表示斜高或母线长Pn(k)=CknPk(

2、1-P)n-k 其中S表示底面积,h表示高一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）函数的周期，振幅依次是（A）4、3（B）4、-3（C）、3（D）、-3分析：本题考查三角函数性质问题。本题选A，难度为（2）若Sn是数列an的前n项和,且Sn=n2,则an是（A）等比数列,但不是等差数列 （B）等差数列,但不是等比数列（C）等差数列,而且也是等比数列 （D）既非等比数列又非等差数列分析：本题考查等差数列与等比数列的性质。等差数列的前n项和都能写成一个关于项数的二次函数形式。本题选B，难度为（3）过点A（1,-1）、B（-1,1

3、）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（A）(x-3)2+(y+1)2=4 （B）(x+3)2+(y-1)2=4（C）(x-1)2+(y-1)2=4 （D）(x+1)2+(y+1)2=4分析：本题考查直线和圆的问题。对于求圆的方程，可以采用两种策略，一是可以找到圆上的三个点联立解方程组；二是求出圆心和半径。而第二种策略往往比较简单。本题选C，难度为（4）若定义在区间（-1,0）内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)0,则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）分析：本题考查对数函数的性质问题，利用对数函数图象很容易判断。本题选A，难度为（5）若向量a=(1,1)，b=(1,-1)

4、，c=(-1,2)，则c=（A）a+b（B）a-b（C）ab（D）-a+b分析：本题考查向量运算。本题选B，难度为（6）设A、B是x轴上的两点,点P的横坐标为2且|PA|=|PB|.若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是（A）x+y-5=0 （B）2x-y-1=0 （C）2y-x-4=0 （D）2x+y-7=0分析：本题考查直线方程问题，利用直线PA的方程可将P点和A点的坐标解出，再利用中点坐标公式求出B，最终求出PB的方程。本题选A，难度为（7）若，则（A）ab （C）ab2分析：本题考查三角函数的性质，先利用辅助角公式将两个三角函数合成一个，再进行判断。本题选A，难度为（8）

5、函数y=1+3x-x2有（A）极小值-1，极大值1 （B）极小值-2，极小值3（C）极小值-2，极大值2 （D）极小值-1，极大值3分析：本题考查导数求极值问题。本题选D，难度为（9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场,得3分；平一场,得1分；负一场,得0 分. 一球队打完15场,积33分.若不考虑顺序,该队胜、负、平的可能情况共有（A）3种 （B）4种 （C）5种 （D）6种 分析：本题考查简单线性规划问题。约束条件为x+y=15,x=0,y=0，目标函数为3x+y=33，最后求可行域内满足目标函数的整点个数。本题选A，难度为（10）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两

6、点，则（）（）（）3（）3分析：本题考查直曲联立的相关知识。先把直线按点斜式设出来，然后与抛物线方程联立，再利用韦达定理求出结果。本题选B，难度为（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是, 则（A）P3P2P1 （B）P3P2=P1 （C）P3=P2P1 （D）分析：本题考查了射影面积定理（一个面上取个三角型面积为S1，在另一个面上做或者找到那个三角形的射影（即以3个点的射影为顶点的三角形）的面积S2 ，二面角为X ，则COSX=S2/S1）。本题选D，难度为（12）如图,小圆圈表示网络

7、的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为（A）26 （B）24 （C）20 （D）19分析：本题考查识图问题，属脑筋急转弯。本题选D，难度为第卷（非选择题 共90分）注意事项：1第卷共8页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.（13）（14）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_. (用数字

8、作答)分析：本题考查期望与方差。列出分布列，并利用概率和等于1作检验，没问题后，再求期望。本题答案：1.2，难度为（15）在空间中,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线.若两条直线没有公共点,则这两条线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是_（把符合要求的命题序号都填上）.分析：本题考查立体几何基础与简易逻辑，（1）的逆命题为假命题，（2）的逆命题为真命题。本题答案：（2），难度为（16）设an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.若Sn是等差数列,则q=_.分析：本题考查等差等比数列基础，先由等比数列前n项和公式将Sn展开。由于Sn为等差数列，因此其通项应为一次函数，但当q不

9、为1时，其通项不可能为一次函数。故q=1，验证无误。本题答案：1，难度为三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）（18）(本小题满分12分)如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.（19）(本小题满分12分)（）求a的值:（）证明f(X)在(0,+)上是增函数注意：考生在（20甲）、（

10、20乙）两题中选一题作答,如果两题都答,只以（20甲）计分.（20甲）（本小题满分12分）如图,以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz,其中Ox/BC,Oy/AB.E为VC中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.（）记面BCV为,面DCV为,若BED是二面角-VC-的平面角,求cosBED的值（20乙）（本小题满分12分）如图,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ABC=900,SA面ABCD,SA=AB=BC=1,AD（）求四棱锥SABCD的体积；（）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.（21）某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚

11、轴）旋转所成的曲面，其中A、A是又曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，已知AA=14m,CC=18=22m，塔高20m。（）建立坐标系并写出该双曲线方程：（）求冷却塔的容积（精确到10m3，塔壁厚度不计，取3.14）.（22）（本小题满分14分）（）求的取值范围；（）证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.2001年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

12、二对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.（1）A （2）B （3）C （4）A （5）B （6）A（7）A （8）D （9）A （10）B （11）D （12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.（13）（14）1.2（15）（16）1三、解

13、答题（17）本小题主要考查分式不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，满分12分。解：原不等式的解集是下面不等式组（）、（）的解集的并集：（）（） 2分分情况讨论（）当a 1时，有a a2，此时，不等式组（）的解集为xa x a2,不等式组（）的解集为空集 6分（）当0 a 1时，有a2 a，此时，不等试组（）的解集为空集不等式组（）的解集为xa2 x a； 10分（）当a = 0或a = 1时，原不等式无解，综上，当a 1时，原不等式无解集为xa x a2；当0 a 1时，原不等式的解集为xa2 x 0，所以a = 1.()证明一：设0 x1 0，x20，x2-x10,，得x1+x0，ex2-

14、x110，1ex2+x10 f (x1)f (x2) 0,所以f (x)在（0，+）上是增函数。 12分注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答,如果两题都答,只以（20甲）计分.（20甲）本小题考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.满分12分.解：（）由题意知B(a，a，0)，C(a，a，0)，D(a，a，0)，由此得 3分由向量的数量积公式有 （）若BED是二面角aVCb的平面角，则,即有 又C(a，a，0)，V(0，0，h)，那么，且 即，这时有 9分 即12分（20乙）本小题考查线面关系和棱锥体积计算

15、,考查空间想象能 力和逻辑推理能力.满分12分.解：（）直角梯形ABCD的面积是 2分四棱锥SABCD的体积是 4分（）延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱6分AD/BC，BC=2AD，EA=AB=SA，SESB，SA面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交线,又BCEB，BC面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，CSSE，所以BSC是所求二面角的平面角10分 即所求二面角的正切值为 12分（21）本小题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解言程组等基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力。满分12分。解：（）如图建立直解坐标系系xOy，AA在x轴上，AA的中点为坐标原点O，CC与BB平行于x轴。设双曲线方程为，则 2分又设B（11，y1）,C(9,y2),因为点B、C在双曲线上，所以有 由题意知y2-y1=20 6分由、得y1=12,y2=8,故双曲线方程为 6分（）由双曲线方程得设冷却塔的容积为V（m3）,则 经计