高数期中试题及解答

1、名师整理 优秀资源 武汉大学电信学院20092010学年第二学期 高等数学期中考试试卷 x+1y-1z垂直相交的直线分）求过点（6且与直线1=3),M(2,1 32-1 方程。相与二次曲面2（6分）给出平面2221=+AxCz+Byp=my+nzlx+ 切的条件并说明理由。1?10),(0,y)yarctan,(x? ?22问在原点分）设函数，3（12y+x=)f(x,y0)(0,?0),=(0,(0,x,y)?处： （1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。 y，试证明：，其中为可微函数，且（6分）设4F)(uz=xy+xF=u xz抖z 。xy+y=zx y抖

2、x?z5（6。 分）设方程确定可微函数，求)y(xyz),z=zz+xy=f(xz, ?x6（9分）设函数满足且，20u-u=x)=(x,2xux=u(x,y)(ux,2x)yyxxx求，。 )x(x,2u(xx),2u)x,2u(xxxyyxy7（8分）已知点与，在平面上求一点12=+z2)2x-yP(1,0,-1)Q(3,1,M，使得最小。 MQPM+ 8（6分）设是矩形域：，计算二重积分px0py0D。 蝌yxdsinxsinydmaxx,yDdxdydz，其中9（6分）计算积分是由平面?蝌=IW 3)x(1+yzW名师整理 优秀资源 与三个坐标面所围成的空间区域。 1z=x+y+，。1

3、0（6分）设空间区域，求 2?蝌222dxdydzz)(x+0z31W:xz+y?+W4xyxy骣，其中11（6分）计算是由曲线在第?蝌+=yxyI=dxdD ? 桫623D一象限中所围成的区域。 12（6分）设为连续函数,且，证明： ),(yxx,y,f(xy)=ff(1x1x。 蝌蝌dy-y)f(1)f(x,ydy=dx-dxx,10000x-1yz绕轴旋转一周的旋转曲面的方程，（8分）求直线13=y 21-1并求该曲面与所包围的立体的体积。 2y=y=0,14（6分）设一球面的方程为，从原点向球面上2224=(zx+y1)+QPQ在球面上变任一点，当点处的切平面作垂线，垂足为点PSS所围

4、成的的轨迹形成一封闭曲面求此封闭曲面，动时，点立体的体积。 W15（3分）设在上有连续的二阶导数，)1,+?1(1)f=0x)=f(1)f(22z抖z在满足且二元函数 ，求2222)+)(z=x+yf(xy)(fx0+= 22y抖x的最大值。 )?1,+ 名师整理 优秀资源 x+1y-1z垂直的平面方与已知直线1、解：过已知点=3)(2,1M, 32-1 程为：3x?2y?z?5?0 2133?MN即为所 求出已知直线与该平面的交点为，直线?,N,? 777? 求，其方程为：31z?x?2y? .? 42?1 ?lx?my?nz?p000?2、解：设平面与曲面相切的切点为，则有，2221nz?

5、my?Ax?),(x,yz?000000?AxByCz?000? mnl?222nlm，当分母为零时，分消去得所求条件为：2+=p+z,x,y 000ABC子相应也为零。 f(x,0)-f(0,0)0；3、解： （1）0=lim=lim0)f(0, xxx 0x0xf(0,y)-f(0,0)1p。 =lim0)(0,f=lim=arctan yy|y2| 0y0y 优秀资源 名师整理 xy ）当时， （20)(x,y)1(0,-=f(x,y) x2222y1)x+(xy+2y1 -arctan.(fx,y)= y222222yx+y+1)x+y(x+1 因为，所以 ?y),(0,0)(x0井揪

6、揪x,y)| 0 |f( x221y+x+ 0)(0,y)=flimf(xxx?(0,0)y)(x, 同理 yy1?-limarctanf(x,y)=limlim y22yx+1+2222y+xyx+(0,0)(x,y(,y)(0,0)x,y)(0,0)(x pp-0=f =(0,0) y22所以两个偏导数均连续. (3)因为的两个偏导数在点均连续，所以在点 0)y)0)(0,f(x)f(x,y,(0,可微. 抖zyz1y骣 4、解：?+?=?+=+=+-.xxyxFfFFyF，xF ? 桫2xyxxx抖抖zz 则 .xy=z+yF=xyxFx+xy+y=xy+xF-yF+xy+ 抖xy 5、

7、方程两边微分得： dz+ydx+xdy=f(zdx+xdz)+f(zdy+ydz)， 21(zf-y)dx+(zf-x)dy21dz=，整理得： 1-xf-yf21?zzfy1=. 所以 ?x1xf-yf21 名师整理 优秀资源 xx=,2x)u(xu(x,2x)+2u(x,2x)=1, 6、在两边对 求导得：yx2x-12=),2xu(xxxu(x,2)= 代入上式得：， 将条件 xy22xx=x)u(x,2求导得：两边对在 xu(x,2x)+2u(x,2x)=2x (1) xyxx2x1-x=x)(x,2u求导得：两边对在 y2u(x,2x)+2u(x,2x)=-x (2) yyyxu=u

8、，u=u解得： （2）两式并注意到 联立（1）yxxxxyyy5x4xu(x,2x)=，u(x,2x)=u(x,2x)=-. yxyxx33u(x,y)具有连续的二阶偏导数. 说明： 此题应该加上条件： x-2y+z-12QP，计算出结果均的坐标代入7、解：首先将点P，Q0P且与平面垂直的过点小于位于平面的同侧，所以点. 直线方程为 x-1yz+1= ， 1-21(3,-4,1)P关于 该直线与已知平面的交点为，由中点公式可求出点uuur9,12,QP-=P(5,-8,3)已知平面的对称点为，从而过，于是x-3y-1z-2QP=，此直线与平面和点的直线方程为点 2-91272017M(,-,)

9、M即为所求，点. 的交点为 777 名师整理 优秀资源 D，Dxy=两部分，其中将积分区域分成 8、作直线21D=(x,y):0yx,0xp. 1蝌蝌ysinxsinxsinydxdy+ydxdyxsin = 原式 DD12蝌xsinxsin=2ydxdy （用到轮换对称性） D1pxp?蝌dxx)x(1-sinydy=2cosxsinxdx=2xsin 0005ppp蝌xsin2=2xsinxdx-xdx=. 200 111-x1-x-y?蝌dyI=dxdz 9、解： 3)z+y+(1+x000y1-x-轾1x1-1犏蝌-dy=dx 犏2)zx+y+2(1+00臌0轾1111x1-犏蝌-dy

10、=dx- 犏24(1+x+2y)00臌1-x轾1y11犏+dx=- 犏)y(1+x+240臌 0骣3x1ln2151?-dx-=-.=? 桫441+2x2160 xxz2yoz 为奇函数，故关于平面对称，、解：注意积分区域关于10 优秀资源 名师整理 222蝌蝌蝌dxdydz=+z)(x dxdydz(x+z)WW22蝌蝌蝌dxdydzx+=zdxdydzWW1122蝌蝌蝌dxdyzdydz=+dzxdx 10-DDxyyzp112222蝌dzzpz)=(1x(1-x-)dx+ 210-422.=p+p=p 151515 22qsin3rcosqy=x=2r ，则曲线方程为：11、解：令，?0

11、,qqcossinqr=qp ，于是，的范围为 2p?(x,y)qcosqsin 蝌 26rI=cosdqqsinqdr?(r,q)00pcosqsinq 222蝌 2drdq6rcosqsinq =1200pp 22555蝌 22qdq=qsin4sindqsinq =46sin(1-6q)cos00 6 =. 15 12、证明： 右边 蝌1xx,00x,y):yD=xf(1-,1-y)dxdy =(D?1x=u?x1-u-10 ?)x,y(?，则令，即，记 1= ?-=-=1v1y0vy-1?)u,v(?,?，1u0,uv0:)v,u(=D，1u0,1vu:)v,u(=D名师整理 优秀资源

12、 蝌蝌f(v,dudv=u)=dudvf(u,v)（轮换对称性） 右边DD蝌蝌f(x,y)dxdy=f(u,v)=dudv=左边 . DD M(x,y,z)为旋转曲面上任意一点，它由直线上的点13、设点 ?=yy?0?2222)zx,y,(=x+zxzy轴旋转得到，则有绕， 00000?x-1yz?000=? 1-12?x,y,z得旋转曲面的方程为：消去 000222+4y+z1.=5xy+ （用切片法计算所求体积:) 70222?蝌蝌蝌.=pdy4ydxdz =p+1)(5dxdydzV=y+dy 300DWxz P(x,y,z)Q(x,y,z)为球面上任一点，点设点14、为曲面上任一点，0

13、00则有： 222=4 (1)z+1)x+y+( 000rn=x,y,z,QP 切在切平面上，即：点的法向量为球面在点 000Qx(x-x)+y(y-y)+(z+1)(z-z)=0 (2) 000000uuurOP垂直于切平面有： 由xyz= (3) xyz1+000名师整理 优秀资源 x,y,z得曲面方程为：）消去 1）（2）（3联立（0002222222)+)+zy=(x4(+yx+zz r=2-cosj，从而体积为：该曲面的球面方程为 40j-cospp222蝌蝌蝌pdrV=dxdydz=djdqrsinj. 3000W ?z3222)f+xy=2xf(fx+y(2)鬃fx2x=2x?，

14、 15、解： ?x2?z22232x鬃fx+2xy)fx+(6x+2y)+(22=f+2x鬃f2 2?x ?22222fy(x2y)f+4x =2f+(10x+2?z?22222fx)+x)f+4yy(=2f+(10y+2 同理可得： 2?y22抖zz+=0整理得：代入条件 22抖xy?22222222222)=+fyx(+yx)+(x+f(xy+y)+3(xy+0)f)(22=r+yx，上式写为：记 ?2(r)+r=frff(r)+30 (1)(r)， rf(r)为未知函数的欧拉方程为自变量，这是一个以. dt1dfdt1dft=),f(r=er=r=lnt ，令，则 dtdrrrdtdr骣2骣骣dffddfdt1dd1df骣1df1?鼢珑?-+=-)(rf ?鼢鼢?珑 ?桫桫桫222dtdrdtrrrdtdtdtdrrdt桫代入欧拉方程得： 2fddf+2+f=0 (2) 2dtdt名师整理 优秀资源 t)(eft为自变量，. 这是一个以为未知函数的二阶常系数线性齐次微分2+2l+1=l0l=l=-1，从而，特征根为其特征方程为：21t-tf(e)=(C+Ct)e,变量代会得到（1）的通解为