课时提升作业二十五41

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 二十五平面向量的概念及其线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列说法正确的是()A.若a与b都是单位向量,则a=bB.若a=b,则|a|=|b|且a与b的方向相同C.若a+b=0,则|a|=|b|D.若a-b=0,则a与b是相反向量【解析】选C.因为向量相等必须满足模相等且方向相同,所以A不正确;因为0的方向是任意的,当a=b=0时,B不正确;因为a+b=0,所以a=-b,所以|a|=|-b|=|b|,故C正确;因为a-b=0,所

2、以a=b,a与b不是相反向量,故D不正确.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是忽视了0方向的任意性.2.(2016德州模拟)已知点D是ABC的边AB的中点,则向量CD等于()A.-BC+12BAB.-BC-12BAC.BC-12BAD.BC+12BA【解析】选A.因为点D是AB的中点,所以CD=CB+BD=CB+12BA=-BC+12BA.【加固训练】(2016贵阳模拟)如图,正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=()A.0B.BEC.ADD.CF【解析】选D.因为六边形ABCDEF是正六边形,所以BA+CD+EF=DE+CD+EF=CE+EF=CF,故选D.3.已知点P是四边形AB

3、CD所在平面内的一点,若AP=(1+)AB-AD,其中R,则点P一定在()A.AB边所在的直线上B.BC边所在的直线上C.BD边所在的直线上D.四边形ABCD的内部【解题提示】利用三角形法则,对向量等式AP=(1+)AB-AD进行转化,从而把已知向量等式化简,最后利用向量的共线定理,即可判断点P的位置.【解析】选C.因为AP=(1+)AB-AD,所以AP-AB=(AB-AD),所以BP=DB,所以B,D,P三点共线,因此点P一定在BD边所在的直线上.【加固训练】(2016厦门模拟)已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2OP=2OA+BA,则()A.点P在线段AB上B.点P在

4、线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上【解析】选B.因为2OP=2OA+BA,所以2AP=BA,所以点P在线段AB的反向延长线上.4.已知向量a与b共线反向,则下列结论正确的是()A.|a+b|=|a|+|b|B.|a+b|=|a|-|b|C.|a-b|=|a|+|b|D.|a-b|=|a|-|b|【解析】选C.因为向量a与b共线反向,所以|a+b|a|+|b|,|a+b|0,而|a|-|b|的符号不确定,所以A,B不正确.同理,D不正确,C显然正确.【加固训练】(2016石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是(

5、)A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数,使a=b【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.5.已知下列结论已知a是非零向量,R,则a与2a方向相同已知a是非零向量,R,则|a|=|a|若R,则a与a共线若a与b共线,则存在R,使a=b其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.4【解析】选B.对于,当=0时,2a是零向量,0的方向是任意的,所以不正确;对于,0时,结论不成立,即不正确;对于,不论是否为零,或a是否为0,a与a都共线,所以正确;对于,当a0,b=0时,结论不正确.6.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点

6、,BE与AC相交于点F,若EF=mAB+nAD(m,nR),则mn的值为()A.-2B.-12C.2D.12【解析】选A.如图.设AB=a,AD=b,则EF=ma+nb,BE=AE-AB=12b-a,由向量EF与BE共线可知存在实数,使得EF=BE,即ma+nb=12b-a,又a与b不共线,则m=-,n=12,所以mn=-2.【一题多解】本题还可采用如下解法:选A.如图,因为E是AD的中点,EFABFC,所以EFFB=AEBC=12.所以EF=13EB=13(AB-AE)=13(AB-12AD)=13AB-16AD.又因为EF=mAB+nAD,AB与AD不共线,所以m=13,n=-16,mn=

7、-2.7.已知D为ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5AM=AB+3AC,则ABM与ABC的面积比为()A.15B.25C.35D.45【解题提示】只要结合图形,明确DM与DC之比即可,故利用已知转化为DM与MC之间的关系.【解析】选C.如图,由5AM=AB+3AC得2AM=2AD+3AC-3AM,即2(AM-AD)=3(AC-AM),即2DM=3MC,故DM=35DC,故ABM与ABC同底且高的比为35,故SABMSABC=35.【加固训练】设O在ABC的内部,D为AB的中点,且OA+OB+2OC=0,则ABC的面积与AOC的面积的比值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.因为D为

8、AB的中点,则OD=12(OA+OB),又OA+OB+2OC=0,所以OD=-OC,所以O为CD的中点.又因为D为AB的中点,所以SAOC=12SADC=14SABC,则SABCSAOC=4.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在ABCD中,AB=a,AD=b,3AN=NC,M为BC的中点,则MN=.(用a,b表示)【解析】如图所示.MN=MC+CN=12AD+34CA=12AD+34(CB+CD)=12AD+34(DA+BA)=12b-34a-34b=-34a-14b.答案:-34a-14b【方法技巧】利用基底表示向量的方法(1)尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或

9、三角形法则进行求解.(2)要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.9.在ABC中,AB=c,AC=b,若点D满足BD=2DC,则AD=.【解析】如图,因为在ABC中,AB=c,AC=b,且点D满足BD=2DC,所以BA+AD=2(DA+AC),AD=23AC+13AB=23b+13c.答案:23b+13c10.(2016济宁模拟)在ABC中,已知D是AB边上一点,CD=13CA+CB,则实数=.【解题提示】结合图形根据向量加法的平行四边形法则作图利用相似三角形求解.【解析】如图,D是AB边上一点,过点D作DEBC,交AC于点E

10、,过点D作DFAC,交BC于点F,连接CD,则CD=CE+CF.因为CD=13CA+CB,所以CE=13CA,CF=CB.由ADEABC,得DEBC=AEAC=23,所以ED=CF=23CB,故=23.答案:23【一题多解】解答本题还可用如下解法:如图,设BD=xBA,因为BA=CA-CB,所以BD=x(CA-CB),CD=CB+BD=CB+x(CA-CB)=xCA+(1-x)CB,又因为CD=13CA+CB,所以13CA+CB=xCA+(1-x)CB.因为CA与CB不共线,所以x=13,=1-x,即=23.答案:23(20分钟35分)1.(5分)(2016潍坊模拟)在ABC中,N是AC边上一

11、点,且AN=12NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+29AC,则实数m的值为()A.19B.13C.1D.3【解析】选B.如图所示.设BP=BN,则AP=AB+BP=AB+BN=AB+(AN-AB)=AB+(13AC-AB)=(1-)AB+3AC,因为3=29,所以=23,所以1-=13,所以m=13.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.如图,因为AN=12NC,所以AN=13AC,AP=mAB+29AC=mAB+23AN,因为B,P,N三点共线,所以m+23=1,所以m=13.2.(5分)(2016莱芜模拟)O是ABC所在平面外一点且满足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,为实

12、数,则动点P的轨迹必经过ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心【解题提示】明确AB|AB|与AC|AC|是AB,AC方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为AP与AB|AB|+AC|AC|共线后可解.【解析】选B.如图,设AB|AB|=AF,AC|AC|=AE,已知AF,AE均为单位向量,故AEDF为菱形,所以AD平分BAC,由OP=OA+AB|AB|+AC|AC|得AP=AD,又AP与AD有公共点A,故A,D,P三点共线,所以P点在BAC的平分线上,故动点P的轨迹经过ABC的内心.【加固训练】1.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的重心,动点P满足OP=1312OA+1

13、2OB+2OC,则点P一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点【解析】选B.设AB的中点为M,则12OA+12OB=OM,所以OP=13(OM+2OC)=13OM+23OC,即3OP=OM+2OC,也就是MP=2PC,又MP与PC有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近C点的一个三等分点.2.已知点D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,给出下列命题:AD=12a-b;BE=a+12b;CF=-12a+12b;AD+BE+CF=0.其中正确命题的序号为.【解析】BC=a,CA=b,AD=1

14、2CB+AC=-12a-b,故错;BE=BC+12CA=a+12b,故正确;CF=12(CB+CA)=12(-a+b)=-12a+12b,故正确;AD+BE+CF=-b-12a+a+12b+12b-12a=0.故正确.答案:3.(12分)已知a,b不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设tR,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.【解析】由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得CE=kCD,即(t-

15、3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b,因为a,b不共线,所以有t-3+3k=0,t-2k=0,解之得t=65.故存在实数t=65使C,D,E三点在一条直线上.4.(13分)(2016泰安模拟)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若AE=mAB+AD,求实数m的值.【解析】由N是OD的中点得AN=12AD+12AO=12AD+14(AD+AB)=34AD+14AB,又因为A,N,E三点共线,故AE=AN,即mAB+AD=34AD+14AB,所以m=14,1=34,解得m=13,=43,故实数