非线性电路-微分方程数值解法ppt课件

1、非线性电路理论及应用,周波 电路研-11 2011307080114,微分方程数值解法,初值： 所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始 点为已知的一类问题，一般形式为,我们先介绍 简单的一阶问题,第八章 序,由常微分方程的理论可知：上述问题的解唯一存在。 常微分方程求解求什么？应求一满足初值问题（81） 的解函数y = y(x) ，如对下列微分方程,高等数学中，微分方程求解，如对一阶微分方程： y =f(x,y)是求解解函数y = y(x) ，使满足上述方程。但能够求出准确的解析函数y(x)的微分方程是很少的，高数 中研究微分方程的求解，是分门别类讨论，对不同类型的 微分方程，求解方法

2、不一样，因此，要求解微分方程，首 先必须认清类型,微分方程 数值解法,而常微分方程 初值问题的数值解法，是要寻求解函数y(x) 在一系列点y(xi ) （离散点,上 y(xi )的近似值yi（ i=1,2,n），并且还可由这些（xi,yi) （i=1,2,n）构造插值函数作为近似函数。上述离散点相邻两点间的距离hi=xi-1-xi 称为步长，若hi 都相等为一定数h, 则称为定步长，否则为变步长,本章重点讨论如下 一阶微分方程,在此基础上介绍一阶微分方程组与 高阶微分方程的数值解法,欧拉（Euler）法,以Euler法及其改进方法为例,说明 常微分方程初值问题数值解法的一般概 念，Euler法

3、很简单，准确度也不高， 介绍此方法的目的，是由于对它的分析 讨论能够比较清楚地显示出方法的一些 特点，而这些特点及基本方法反映了其 它方法的特点,Euler法用于求 解一阶微分方 程初值问题,1.1 Euler法及其简单改进,Euler公 式为,由x0出发x1,x2,xN，而利用此式可算出对应的 y1,y2,yN，式（8-2）称为差分方程（序列yn满足的方 程,下面是Euler公式的推导,一、从几何意义出发：y=f (x,y)的解函数y=y (x) 在xoy平 面上是一族解曲线， 而初值问题则是其中一条积分曲线， 假定y = y(x)的曲线如图8-1从给定的点P0(x0,y0) 出发，以P0为

4、切点，作切线，切线斜率为曲线y(x)的切线斜率 y =f (x0,y0)，因此可 得切线：（点斜式,Euler公式的推导(续1,几何意义：用折线近似解曲线y = y(x)，折线不会偏离太 远 ，因为每项以f (x, y)（斜率）修正,切线与x = x1交于P1(x1,y1)，在x0,x1上以切线,近似曲线,微分方程数值解法,1欧拉法 采用向前欧拉法得,微分方程数值解法,微分方程数值解法,如果用时间区间的斜率作为平均斜率则称向后欧拉法 其中K=1,2,3,微分方程数值解法,微分方程数值解法,如果用时间区间的斜率作为平均斜率则称向后欧拉法 其中K=1,2,3,微分方程数值解法,如果用时间区间的斜率

5、作为平均斜率则称向后欧拉法 其中K=1,2,3,微分方程数值解法,如果用时间区间的斜率作为平均斜率则称向后欧拉法 其中K=1,2,3,2 龙格-库塔（Runge-kutta）方法,龙格-库塔方法的基本思想,因此只要对平均斜率k*提供一种算法，由（8-11）式 便相应地得到一种微分方程的数值计算公式,紧接下屏,龙格-库塔方法的基本思想,改进欧拉公式比欧拉公式精度高的原因，也就在于确 定平均斜率时，多取了一个点的斜率值。因此它启发我们，如果设法在xi,xi+1上多预报几个点的斜率值，然后将它们 加权平均作为k*的近似值，则有可能构造出更高精度的计 算公式，这是龙格-库塔方法的基本思想,用这个观点来

6、研究欧拉公式与改进欧拉公式，可以发现 欧拉公式由于仅取xn一个点的斜率值f (xn,yn)作为平均斜率 k* 的近似值，因此精度很低。而改进欧拉公式（8-10）却 是利用了xn与xn-1两个点的斜率值k1 = f (xn,yn)与 k2=f (xn+1,yn+hk1)取算术平均作为平均斜率k*的近似值,其中k2是通过已知信息yn利 用欧拉公式求得的,二阶龙格-库塔公式,公式（8-12）中含有三个待定参数c1,c2和l，我们希望适 当选取这些参数值，使得公式（8-12）具有二阶精度，亦即使,现在仍假定yn=y(xn)，即yn是准确的，将y(xn+1)与yn+1都在xi处作泰勒展开,二阶龙格-库塔公式,代入（8-12）式，得,比较（8-13）与（8-14）两式，要使公式具有二阶精度， 只有满足下列条件,这里一共有三个待定参数，但只需满足两个条件，因此有一个自由度，于是满足条件（8-15）的参数不止一组，而是一族，相应的公式（8-12）也有一族，这些公式统称为二阶龙格-库塔公式，简称二阶R-K公式,特别，当l=1即xn+l=xn+1时， c1=c2=1/2，二阶R-K公式就 是改进欧拉公式。 如果取l=1/2，则c1=0,c2=1， 这时