异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角专题复习与提高

1、空间角专题复习知识梳理一、异面直线所成的角及求法定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或 直角称为两异面直线所成的角.n取值范围：若B是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是 氏(0,刁，当n缸2时，称异面直线a和b垂直，记为a丄b.(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角 形，通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1) 定义：设I和a分别表示直线与平面.若I / a或I? a,则称直线I和平面a 所成的角为0；若I丄a则称I与a所成的角为工；若I与a相交，则I与I2在a内的射影所成的锐角为直线I与平面a所成的角.HT

2、取值范围：设B是直线I与平面a所成的角，贝U B的取值范围是0,.2(3)求法：定义法：探寻直线I在平面a内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直 线I与平面a所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面 所成的角.三、二面角及求法(1) 定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角， 且定义平面角的大小为该二面角的大 小.(2) 取值范围：规定二面角的取值范围为0，n.(3) 求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角练习提升1.如图，E、F分别是三棱锥 PABC的棱AP、BC的

3、中点，PC= i0, AB= 6, 异面直线AB与PC所成的角为A. 30C. 60B. 45D . 90答案：C2.已知长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB= BC= 4,成的角的正弦值为()A.呼bF2C. 5D. 10()答案：CCCi = 2，则直线BC1和平面AClJ-IDBBiDi 所3如图，在边长为1的菱形ABCD中，/ ABC = 60将菱形沿对角线 AC折起，使折起后 BD = 1,则二面角B AC D的余弦值为1C龜C. 3答案：A1B.1.3D2( )4在正方体 ABCD AiBiCiDi中，BiC与对角面DDiBiB所成角的大小是(A. 15B. 30C. 45

4、D. 60答案：B5.如图，ABCD AiBiCiDi 是长方体，AAi= a,/ BABi=Z BAQi= 30,贝 U AB 与 AiG答案：300, 4506. 在正方体 ABCD Ai B1C1D1 中，(1) 直线AiB与平面ABCD所成的角是 ;(2) 直线 A1B与平面 ABC1D1所成的角是 (3) 直线A1B与平面AB1C1D所成的角是 答案 (1)45 (2)30 (3)90 7. 设直线与平面所成角的大小范围为集合P,二面角的平面角大小范围为集合Q,异面直线所成角的大小范围为集合R,贝U P、Q、R的关系为()A. R=P? QB. R? P? QC. P? R? QD

5、. R? P= Q答案：B&设 ABC和厶DBC所在两平面互相垂直，且 AB = BC= BD = a，/ CBA=Z CBD = 120 , 则AD与平面BCD所成角的大小为()A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 解析：作AO_LCB交CB的延长线于 O,连接OD，贝U OD即为AD在平面BCD内的射影，/ADO即为AD与平面BCD所成的角.AO = OD/DO = 45答案：B9.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面， C是圆上一点(不同于A、B)且PA= AC,则二面角P BCA的大小为p()AA. 60 B . 30 C. 45D . 15 答案 C10.如图，已知

6、四棱锥 P ABCD的底面是正方形， PA丄平面ABCD，且PA= AD，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为（）A. 90 B .60 JC. 45 D .30 心C解析：AB/CD,面PAB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线.FA丄平面ABCD ,-FA1AB, PA JCD，又 CD 1AD,DC丄平面FAD,DC JPD ,FA丄，PD丄，即ZAPD为所求二面角的平面角,厶PD = 45答案：C11. 把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：AC丄BD :厶ADC是正三角形；AB与CD成60。角；AB与平面BCD成60。角.则 其中正确结论的个数是（

7、）A. 1个B. 2个C. 3个 D . 4个解析：取BD的中点 O,贝U BD DC , BD JOA，得BD丄平面AOC ,1BD !AC,正确；cosADC = cos45 cos45 = ?,/ADC = 60 AD =DC ,AADC是正三角形，正确；AB与CD成60。角，正确；AB与平面BCD成角ZABO= 45错误.答案：C12. 如图所示的正方体 ABCD A1B1C1D1中，过顶点 B、D、C1作截面，则二面角 B DC1 C的平面角的余弦值是 .解析：取C1D的中点O,连接BO、CO,贝U BOIC1D, COJC1D,启OC是二面角 B DC1 C的平面角.设正方体的棱长

8、为1,则CO =-2?,DCi为正三角形，0B =且 BC= 1 ,2 2 2OB + 0C BC y/3 cos/BOC = 一2oB oc= T.答案：于13.如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，AB = BC= AAi ,Z ABC = 90点E、F分别是棱AB、BBi的中点则直线 EF和BCi所成的角是（）A. 45 B. 60C. 90D. i20解析：取Bi Ci的中点 G, AiBi的中点 H，连结FG、BG、HG、EH，贝U FG伯Ci,且/EFG或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得icos/EFG = 2,故所求角为 60答案：Bi4 .如图，将 RtA ABC沿斜

9、边上的高AD折成i20。的二面角 C AD C，若直角边 AB =D的正切值为（）D. 1DE1BC于ADB呼解析：JCDC = 120过D作4.3, AC = 4 ,6，则二面角 A BC A. 2丄平面BC D ,AD = 4.2,在ABC D中，由余弦定理求得 BC = 4.3,再由面积公式 Szbc d1,1,冷AD=2BC DE = 2 BD C D s in60 知 DE = 4,：tan/AED =在=V2.答案：A点评：考查二面角的知识， 余弦定理及三角形的边角计算.如何作出二面角的平面角是 解决此类问题的关键.15.在矩形 ABCD中，AB= 3, AD = 4, PA丄平面

10、的度数是（）A. 30 C. 60 A BD PB . 45 D. 75 解析：如右图所示，过A作AE JBD ,垂足为E，连结PE,则PE!BD（三垂线定理）,在Rt少AD中,AB AD 12AE= ABDD =孑在Rt AE中,ta n ZPEA =人丘答案：A16.正四棱锥 P ABCD的两个侧面PAB与PCD互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为（）A. 60 B . 90 C. 120 D. 150解析：如图，作BE1PC，连结DE.DC zPBC ,ADE JPC故/PEA为二面角 P BD A的平面角./EB就是二面角 D PC B的平面角,O为DB的中点, QEB = 1

11、ZDEB ,又面PAB丄面PCD ,PO = 2AB ,在 Rt OC 中，OC =12ABOE =.QEB = 3, JDEB =亍答案：C17.如图，在四棱锥 V ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为 乖的等腰三角形，则二面角 V ABC的度数是 .答案 60n18.如图，直角梯形 ABCD中，AB/ CD，/ DAB = 2，点M、N分别在AB, CD上，且MN丄AB, MC CB, BC = 2, MB = 4，现将梯形 ABCD沿MN折起，使平面 AMND与平面MNCB垂直(如图).(1) 求证：AB /平面 DNC ;3(2) 当DN = 2时，求二

12、面角 D BC - N的大小.MB解：（1）证明：MB /NIC, MB?平面 DNC , NC?平面 DNC,MIB /平面DNC.同理 MA /平面DNC，又 MA A MB = M，且 MA、MB?平面 MAB.平面MAB /平面NCD? AB / 平面DNC .AB?平面MAB过N作NH _LBC交BC延长线于H ,平面AMND 丄平面 MNCB , DN _UMN ,DN丄平面MBCN，从而 DH JBC,DHN为二面角 D BC N的平面角.CN= 4 2cos60 = 3,NH = 3sin603.32-由 MB = 4, BC= 2，/MCB = 90知/MBC = 60,由条

13、件知：tanNHD =出= -3,aJNHD = 30.NH 319.如图，已知在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA丄平面 ABCD , FA= AD = 1 , AB = 2, E、F 分别是 AB、PD 的中点.(1)求证：AF /平面PEC ;求PC与平面ABCD所成的角的正切值；(3)求二面角 P EC D的正切值.解：证明：如图，取 PC的中点O,连接 OF、OE,贝 U FO DC,且 FO = 2DC ,FO AE ,又E是AB的中点，且 AB= DC,FO = AE.四边形AEOF是平行四边形,AF /QE.又OE?平面PEC,AF?平面 PEC,AF /平面P

14、EC.如图，连接AC,PA丄平面ABCD ,OCA是直线PC与平面ABCD所成的角.在 Rt FAC 中,PA tan/PCA = ac1 =21/5,5=牙即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为如图，作AM ICE, 交CE的延长线于M .连接PM，由三垂线定理得 PM JCE,PMA是二面角 P EC D的平面角.由AAME sQbe可得AM =a n/MVIA = AAA =,2.面角P EC D的正切值为，2.20.如图所示，四棱锥 PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,/ BCD = 60 E 是 CD 的中点，PA丄底面 ABCD , PA = J3.证明：平面PBE丄平面

15、PAB;(2)求二面角 A BE P的大小.证明 如图所示，连接BD,由ABCD是菱形且/ BCD = 60。知， BCD是等边三角形.B因为E是CD的中点，所以 BE丄CD.又 AB / CD,所以BE丄AB.又因为PA丄平面ABCD ,BE?平面 ABCD ,所以PA丄BE.而 FAQ AB = A,因此BE丄平面FAB.又BE?平面PBE,所以平面PBE丄平面PAB.(2)解 由(1)知，BE丄平面PAB, PB?平面PAB,所以PB丄BE.又 AB丄BE,所以/ PBA是二面角 ABE P的平面角.PA在 Rt PAB 中，tan/ PBA = AB= , 3,则/ PBA= 60AB

16、故二面角 A BE P的大小是6021.已知平面a外两点A、B到平面a的距离分别为1和2, A、B两点在a内的射影之间距如图，当A、B位于平面离为 3,求直线AB和平面a所成的角.解 如图，当A、B位于平面a同侧时，由点A、B分别向平面a作垂线，垂足分别为Ai、Bi,则AAi= 1 , BBi = 2, BiAi= 3.过点A作AH丄BBi于H，则AB和a所成角即为 / HAB.a异侧时，经 A、B分别作AAi丄a于 人，BBi丄a于Bi,ABQ a= C,则AiBi为AB在平面a上的射影，/ BCBi或/ACAi为AB与平面a所成角. BCBjS ACAi, BB1= B= 2, BiC = 2CA1，而 BiC+ CAi = AA1 CA1 B1C=于. tan/ BCB1 = BBC =总=3,/ BCBi= 60 AB 与 a所成角为 60综合(1)、可知：AB与平面a所成角为30或6022.如图，在三棱锥 PABC中，PA丄底面 ABC, / BCA = 90 点D、E分别在棱 PB、PC 上，且 DE / BC.(1)求证：BC丄平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角A DE P