南京工业大学浦江学院 线性代数 试题B卷

1、南京工业大学浦江学院 线性代数 试题（B）卷 （闭） 班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 R(A)ATE表示矩阵的转置。（符号说明：）表示单位矩阵，表示矩阵 的秩，表示行列式， 15分）一、填空题（每题3分，共 xyzxyz23?13x3y?430z?6= 1. 已知 。 ，则 x?1112y?2z?2?线性 ，则 ，关。，3),=(4，4，12)， =(4，2. 设2, 6)=(3，3，321213 0,?21n?A4A?2EA? 3. 设阶方阵A满足 。则 222?B)A?2AB?(A?B)?( 。 4. 设A、B都是阶方阵，则 ，有唯一解 )=s, 则AX

2、=b有解的充要条件是 =5. 设n元线性方程组AXb，且R(A)=r, R(A,b 。 ，有无穷多解的充要条件 的充要条件 3分，共15分）二、选择题（每题?) 向量组 ， ， 线性无关的充分必要条件是( 1. s21? A) ， 均不为零向量，(s12? (B) ，中任意两个向量的分量不成比例，s12? 1，个向量线性表示，中任意一个向量均不能由其余s(C) s12? ，中有一部分向量线性无关。D ) ，(s12 2E?A?AA) 有特征值为1，2，则 一定有特征值2. 矩阵( (C) 2，3 3 (D) 1, 2, 3 (A) 1，2 (B) 1， nBA,) 设 均为阶可逆矩阵,则下列式

3、子正确的是( 3. ?1?11?1?1?1?B?AAB)AB?(AB)?( B() ) A(?BA?B(A)(AB?AB) (D)C() 页6 共 页1 第 南京工业大学浦江学院?3?21?1?31?0AX?,?,?010，组则 的一个基础解系为 4设齐次方程312?010?100?（ ）. 2)?R(A)?3(D)()5(BR(A)?4(C)RA?(A)R(A) 5若矩阵A的秩为r，则（ ）。 （A）A中至少存在一个r阶子式不为零 （B）A中存在一个r+1阶子式不等于零 （C）A中所有r1阶子式均不为零 （D）A中只有一个r阶子式不为零 L n?123n1L01010?L?D200?02 三

4、、阶行列式分）计算n（12nLLLLLLLn?10?(n0?01) 423?A?110。试求矩阵BA+2，其中B。 ABA12四、（分）)设矩阵和B满足关系式=?32?1? 页6 共 页2 第 南京工业大学浦江学院 五、（12分）求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组?(?1,?1,?1),1,?1,1).?(1,?1,?1),?(1,1,1,?1,1),?(1,1,? . 线性表示 4132 六、（13分）求线性非齐次方程组的通解. x?5x?x?x?1?4231?x?2x?x?3x?3?1234?3x?8x?x?x?1?4312?x?9x?3x?7x?7?

5、 4123 页6 共 页3 第 南京工业大学浦江学院222f(x,x,x)?2x?4x?5x?4xx，试回答下列问题七、（16分）已知二次型 31123312A； 写出此二次型的矩阵）1X?QY该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型； 2） 利用正交变换3） 判断该二次型是否具有正定性。 八、（5分）)证明：相似矩阵具有相同的特征多项式。 页6 共 页4 第 南京工业大学浦江学院 ）卷（B 试题 南京工业大学浦江学院 线性代数 案准答试题标 使用班级 浦江学院各专业2009 -2010 学年第一学期 分）分，共15一、填空题（每题3AE2?6.r=s, r=s=n, r=sn. 4

6、, 5.2E，, 4.BA-AB, 1. 4， 2. 相, 3. 2 分）分，共15二、选择题（每题3 5. A 3.D. 1.C, 4.D 2.B, n,3?2, 行：三、（12分）解：第行加到第1 n(n?1)23?n?1n2000?10(n?1)!1n?)1(?D12分 ?020?02 2?n?1?00(n?10)1A 4)分 B=(A2E2=A+2B，可见(AE)B=A，因此四（12分）解：由AB 2231?4?3?1?，其逆矩阵 又 8分 ?1?5?3)2(1?10A?2E)?(A?E?12146?1? 因此， 1?4?34233?8?6?1?1?5?A?B?(A?2E110)?32

7、?9?6 分12?932124?16?12?五（12分）解： 111?11000?11?1?100?11?,),?( 6分 4213?01011?110?00001?1?1?1?故秩为3； 8分 ?,? 12其一个极大线性无关组为分 且22341 2 六、（13分）解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换 页6 共 页5 第 南京工业大学浦江学院15?1?1?115?1?1?1?0?72240?7224?)?,b(A 8分 ?00440000?72?00000?144880?r(A)?r(A,2?4，方程组有无穷多解。 b)= 10分 13313? 777?442?Xk?k?。 13通解为 分 ? 21777?010?100? 20?2?A?040 4分 七（16分）解：二次型的矩阵为?50?2?6)?|?(4?1)(|A?)(E，得特征值1，4，6。 3 21?,0,)(，得单位特征向量：对于=1 155?(0,1,0)?；对于=4，得单位特征向量： 212?,),0,?(? 对于=6，得单位特征向量： 10分 35521?0? y?55?1?222y00?PY?1Xyy6f?y?4? 。则13分 取正交变换?3212?y12?3?0? 55?