多元函数的偏导数和全微分_第1页
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文档简介

1、第 14 讲,多元函数的偏导数和全微分,一. 多元连续函数的性质,多元连续函数具有类似一元连续函数的性质,1. 多元连续函数作有限次加、减、乘、除（分母不,为零）及复合运算后所得函数仍然连续,2. 有界闭区域上的连续函数有最大值和最小值,3. 有界闭区域上的连续函数能取得介于最大值和最,小值间的任何值,设函数,在点,的某邻域内有定,义,处可导,即有,定义 1,二. 多元函数的偏导数,若一元函数,在,则称此导,数为,在点,处关于 x 的偏导数,记作,此偏导数也记作,类似可定义关于y 的偏导数,例 1. 设,解,求,类似可求,设函数,内任一点处都存在,则可得,的偏导数,对,在区域,定义 2,记作,

2、x ( 或 y,的,对,x ( 或 y,偏导函数（简称偏导数,例 2. 设,求,解,练习. 设,求,答,例 3. 设,解,求,若,则,若,则,因此,多元函数,的偏导数的偏导数称为,的二阶,的二阶偏导数有四种,定义 3,三. 高阶偏导数,偏导数,二元函数,其中,类似可定义更高阶偏导数,和,称为混合偏导数,例 4. 设,求,解,例 5. 设,解,求,例 6. 设,解,求,定理,则,设函数,在点,的某邻域,内有定义,可以表示为,定义 4,四. 偏导数和可微性,若对任意,函数,在点,处的全增量,其中a, b 是只与,则称,有关的常数,在,处可微,称,为,在,处的全微分,记作,考虑 a,b 是否与偏导数

3、有关,若函数,在点,则在某,可微,令,内有,则上式成为,由此得,即,类似可得,因此有,定理,若函数,在点,则在,可微,在一阶偏导数,存,且,上式也习惯地写成,例 7. 求,在点,解,处的全微分,因此,例 8. 求,在点,解,处的偏导数, 并讨论,在该点的可微性,类似可得,但若取,则,令,则由定理有,与假设矛盾,因此 f 在原点不可微,函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在,定理,反之不然,练习. 考虑,在原点的可微性及偏导数的连续性,答：可微，偏导数存在但不连续,函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在,定理,反之不然,上述关于偏导数、可微的概念和结论也可以推广到,n 元函数,n 元函数,在点,处的全微分为,其中,五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系,一元函数,可导,可微,连续,多元函数,若,在点,则在某,可微,内有,当,时,上式右端趋于 0,即函数在该点连续,各偏导数存在,可微,连续,五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系,函数,在原点处不连,续,考虑两个偏导数是否存在,答：存在,于是,各偏导数存在,可微,连续,五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系,一元函数,可导,可

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