人教版 选修4-5 第5讲-绝对值三角不等式

1、课前热身,3,32/27,第5讲 绝对值三角不等式,高中新课程数学选修4-5,1.绝对值三角不等式,答案：a1,典例分析,推论1 如果a、b、c是实数, 那么 |a-c|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c) 0时,等号成立,推论2 如果a、b是实数, 那么 |a|-|b|a+b|a|+|b,当且仅当ab 0时, 等号成立,当且仅当ab 0时, 等号成立,2.绝对值三角不等式的3个推论,推论3 如果a、b是实数, 那么 |a|-|b|a-b|a|+|b,答案：-4y4,答案：a1,典例分析,b,d,d,例3 设f(x)=ax2+bx+c，当|x|1时，总有 |f(x)|1,求证：|

2、f（2）|7,典例分析,例4 已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a，br）的 定义域为-1，1，且|f(x)|的最大值为m. (1)证明： |1+b|m; (3)当 时，试求出f（x）的解析式,典例分析,1）证明 m|f（-1）|=|1-a+b|， m|f（1）|=|1+a+b|， 2m|1-a+b|+|1+a+b| |（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|， m|1+b|. （2）证明 依题意，m|f（-1）|， m|f（0）|，m|f（1）|， 又f（-1）=|1-a+b|， |f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|， 4m|f（-1）|+2|f（0）|+|f（1）|

3、 =|1-a+b|+2|b|+|1+a+b| |（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2,3）解,例3 设f(x)=ax2+bx+c，当|x|1时，总有 |f(x)|1,求证：|f（2）|7. 证明 方法一 当|x|1时,|f（x）|1， |f（0）|1，即|c|1. 又|f（1）|1，|f（-1）|1， |a+b+c|1，|a-b+c|1. 又|a+b+c|+|a-b+c|+2|c| |a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|， 且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|4， |a|2,典例分析,2b|=|a+b+c-（a-b+c）| |a+b+c|+|a-b+c|2， |b|1， |f（

4、2）|=|4a+2b+c|=|f（1）+3a+b| |f（1）|+3|a|+|b|1+6+1=8， 即|f（2）|8. 方法二 当|x|1时，|f（x）|1， |f（0）|1，| f（1）| 1，|f（-1）|1. 由f（1）=a+b+c， f（-1）=a-b+c，f（0）=c知,f（2）=|4a+2b+c| =|2f(1)+2f(-1)-4f(0)+f(1)-f(-1)+f(0)| =|3f(1)+f(-1)-3f(0)| 3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)| 31+11+31=78,研一题,答案(1)a(2)|a|b,通一类,1(1)若x5，nn，则下列不等式,答案：(1)(2)

5、d,研一题,精讲详析本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有|a|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决,悟一法,含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利

6、用一元二次方程的根的分布等方法来证明,通一类,2若f(x)x2xc(c为常数)，|xa|1， 求证：|f(x)f(a)|2(|a|1) 证明：|f(x)f(a)|(x2xc)(a2ac)| |x2xa2a|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1| |(xa)(2a1)|xa|2a1| |xa|2a|112|a|12(|a|1,研一题,例3已知a，br，且|ab1|1，|a2b4|4. 求|a|b|的最大值 精讲详析本题考查绝对值三角不等式的应用解答本题可先求出|ab|，|ab|的最值，再通过|a|b|与它们相等时进行讨论求出最大值 |ab|(ab1)1| |ab1|11|2， |ab|3(a

7、b1)2(a2b4)5,悟一法,1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|b|的最大值比较困难，可采用|ab|，|ab|的最值，及ab0时，|a|b|ab|，ab0时，|a|b|ab|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已 (2)求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有： 借助绝对值的定义，即零点分段； 利用绝对值几何意义； 利用绝对值不等式性质定理,通一类,3(1)求函数y|x3|x1|的最大值和最小值；(2)求函 数y|x4|x3|的最小值 解：(1)法一：|x3|x1|(x3)(x1)|4， 4|x3|x1|4. ymax4，ymin4,本课时主要考查

8、绝对值三角不等式的应用，2012年江苏高考以解答题的形式考查绝对值三角不等式在证明中的应用，是高考模拟的一个新亮点,考题印证,命题立意本题综合考查不等式的性质和绝对值三角不等式的的应用,1.函数y=|x4|+|x6|的最小值是_. 【解析】y=|x4|+|x6|=|4x|+|x6| |4x+x6|=2. 答案：2,类型 一与绝对值不等式相关的判断 【典型例题】 1.若|ac|b,则下列不等式不成立的是 ( ) a.|a|b|+|c| b.|c|b|+|a| c.b|c|a| d.b|a|c| 2.不等式 成立的充要条件是_,选d,a|b,1.若x-ah,y-ak,则下列不等式一定成立的是 (

9、) a.x-y2h b.x-y2k c.x-yh+k d.x-yh-k 【解析】选c.x-y=(x-a)+(a-y)x-a+a-yh+k,2.设ab0，下面四个不等式中，正确的是 ( ) a+ba;a+b|b|; a+ba-b;a+ba-b. a.和 b.和 c.和 d.和 【解析】选c.因为ab0,所以a,b同号，所以a+b=a+b,所以正确,4.已知|a+b|-b+c,ab-c,|a|b|-c,|a|-|b|-c,其中一定成立的是_.(填上你认为一定成立的所有序号) 【解析】因为|a+b|-c, 所以ca+b-c, 即c-ba-b-c,所以正确，错误; 又|a|-|b|a+b|-c, 所以

10、|a|b|-c, 故正确，错误. 答案,类型 二 利用绝对值不等式求范围或最值 【典型例题】 1.(2012陕西高考)若存在实数x使|xa|+|x1|3成立,则实数a的取值范围是_. 2.求函数f(x)=|x4|x3|的最大值,并求出取最大值时x的范围,解析】1. 因为|xa|+|x1|a1|,则只需要 |a1|3,解得2a4. 答案： 2a4 2. f(x)=|x4|x3|(x4)(x3)|=1, 当且仅当 即x3时, f(x)取最大值1,变式训练】1.若不等式x-a+x-21对任意的实数x均成立， 则实数a的取值范围是_,2.函数y=|x1|+|x5|的最小值为_,此时x的取值范围是_,变

11、式训练】若不等式x-a+x-21对任意的实数x均成立，则实数a的取值范围是_. 【解析】|x-a|+|x-2|1恒成立， 绝对值不等式的几何意义：数轴上x到a与x到2的距离之和的最小值为1. 当a=1或a=3时，对任意的x距离和的最小值为1，所以当a1或a3时该不等式恒成立, a(-,13,+). 答案：(-,13,2.函数y=|x1|+|x5|的最小值为_,此时x的取值范围是_. 【解析】|x1|+|x5|=|x1|+|5x| |x1+5x|=4， 当且仅当(x1)(5x)0, 即1x5时等号成立. 答案：4 1,5,类型 三 含绝对值不等式的证明 【典型例题】 1.已知0,|x-a|,|y

12、-b|. 求证：|x+3y-a-3b|4,证明】1.x+3y-a-3b=(x-a)+(3y-3b) =(x-a)+3(y-b)x-a+3y-b+3=4, 所以x+3y-a-3b4,易错误区】对题意理解不到位导致求参数范围出错 【典例】如果关于x的不等式|x3|+|x4|a的解集不是r,则参数a的取值范围是_. 【解析】只要a不小于|x3|+|x4|的最小值, 则|x3|+|x4|a的解集不是r,而|x3|+|x4|=|x3|+|4x|x3+4x|=1,当且仅当(x3)(4x)0,即3x4时取得最小值1. 所以a的取值范围是1,+). 答案： 1,1设a、b是满足ab|ab|b|ab|ab| c

13、|ab|a|b| d|ab|a|b| 解析：ab0且|ab|2a2b22ab， (ab)2a2b22ab|ab|2. (|a|b|)2a2b22|ab|ab|2. 故a、d不正确b正确；又由定理1的推广知c不正确 答案：b,例2(1)求函数y|x3|x1|的最大值和最小值 (2)设ar，函数f(x)ax2xa(1x1) 若|a|1，求|f(x)|的最大值 思路点拨利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解,解(1)法一：|x3|x1| |(x3)(x1)|4， 4|x3|x1|4. ymax4，ymin4,1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式 (

14、2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键,3若a，br，且|a|3，|b|2则|ab|的最大值是_， 最小值是_ 解析：|a|b|ab|a|b|， 132|ab|325. 答案：51,4求函数f(x)|x1|x1|的最小值 解：|x1|x1|1x|x1| |1xx1|2， 当且仅当(1x)(1x)0， 即1x1时取等号 当1x1时，函数f(x)|x1|x1| 取得最小值2,5若对任意实数，不等式|x1|x2|a恒成立，求a的 取值范围 解：a|x1|x2|对任意实数恒成立， a|x1|x2|min. |x1|x2|(x1)(x2)|3， 3|x1|x2|3. |x1|x2|min3. a3.即a的取值范围为(，3,防范措施】 正确求参数的取值范围 应用绝对值三角不等式求参数的取值范围是重点考查题型,解答