不等式期中复习题及答案解析

1、数学试卷不等式复习题一选择题1已知非零实数a,b满足a b，则下列不等式成立的是2 . 2112112a bA、a : bB、C、a b.- abD、22a bb a2 2 1 1 解析：法1 ：当b . 0时a b = a b ，淘汰A；当a 0 b时a b，淘L a b汰B；当a 0 b时a b= a2b - ab2，淘汰C；故选D；法2：v a,b为非零实数且满足 a ba3 b3，即弓.2，故选d；b a法3:代特殊值进行验证淘汰；1 12.已知四个条件，b 0a 0a ba0 bab0能推出成立的有a b()A.1个B.2个C.3个D.4个1 1解析：运用倒数法则，a b, ab0，

2、、正确.又正数大于负数，故选C .a b3.若a、b、c是常数，则a 0且 b2 -4ac ：0 ”是“对任意R，有 ax2 bx c 0的().必要不充分条件.既不充分也不必要条件A .充分不必要条件.BC .充要条件.D解析：易知a 0且b2 -4ac : 0= ax2 bx c 0对任意x：= R恒成立。反之，a x2 b x c 0对任意xR恒成立不能推出 a 0且b24ac：0反例为当a = b =0且c 0时也有ax2 bx c 0对任意R恒成立“ a 0且b2 -4ac : 0 ”是对任意x R，有ax2 bx c 0的充分不必要条件，选A.严x4已知x、y、z满足不等式组 x

3、24 ,则t=x2+y2+2x 2y+2的最小值为()S-2A. 9B. 2C.3 D. 2解析：可行域如图，t=(X+1)2+(y 1)2表示点可行域内的点到 A( 1,1)的距离的平方的最小值2 25如果关于x的方程x -ax a -3=0至少有一个正根，则实数 a的取值范围是（）(A) 2,2 (B) C、.3,2 (C) (-、3,2 (D) -.3,2解析：由a2 3 cO,或 2 = x 2+ x+11 v xv 0 或 x 1.法二：验证，x= 2、1不满足不等式，排除2D.答案：Ax1) ( x+1 ) 0 =7.不等式 J1 +log2X 1 -log 2 x 的解是(A)

4、x 2(B) x 1(C) 1(D) x 2r1-log2X= _log2x 011 +log2xn(1log2x)，或WOJ + log200 ： log 2 x 虫1，或 log 2 x 1，故选 B8.已知a b,ab1,则的最小值是（a2 b a -b)解：记a - b =ta2 b2a - bt22t二 t -2 2 t，（当且仅当t即a =,b =兰尹时取等号）.故选Ax _ 09.（ 2019安徽卷理）若不等式组x 3y3x y4所表示的平面区域被直线44y分为面积相等的两部分，则 k的值是/ 八、73（A）（ B）3743解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分厶(C)(D)

5、ABC由x 十 3y =4 得 A( 1, 1),又 B( 0, 4), C (0,3x y = 4144二 S aabc= (4) 1 ，设 y=kx 与 3x y=4 的233、 121交点为 D,则由 S BCDSABC知 xD,. yDs 232,5147 k, k选Ao22 333x y6 兰0 y满足约束条件 x - y 2 _ 0,x _0, y _0若目标函数z=ax+by (a0, b0)的值是最大值为12,23则的最小值为(a b25A.-610. （2019山东卷理）设x.8B.3).11c.3D. 4【解析】：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by= z

6、 （a0, b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by （a0, b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而2 + 3=（2+卫）竺色 =13 +占+空）兰匹+2 =兰 故选Aa b a b 66 a b 66 答案:A二.填空题1 211. 若关于x的不等式一-x +2xmx的解集为x|Ov xv 2，则实数 m的值为.1 o2 一 m解析：由题意，知 0、2是方程一x + (2 m) x=0的两个根，一=0+2. / m=1.2 _丄2答案：1a的取值范围是12. 已知不等式aw2对x取一切负数恒成立，则|x|解析：要使x2

7、2|x|对x取一切负数恒成立,t2+2t2+22；2t令 t=|x| 0，贝y aw 一 .而-一2 “1=2 .2 , aw 2 2.答案：aw 2 、2ttt13.函数y = loga(x 3)-1(a 0,a=1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ ny +1=0上,其1 2中mn0,则m + n的最小值为 解析： y=logax恒过(1,0)点，.函数 y=loga x 3卜 恒过(2, 1)点，代入直线1212 卫 4mImx+ ny +1=0 中去，有 2m+n=1, mn0,又 t + ： =(2m+n) ( + ； )=4+ m + 4+2 .1 1=8.当且仅当n=2, m

8、=4时取=.三解答题214 (本题满分13分)已知函数 y =lg(4x-3-x )定义域为 M，求x，M时，函数f(x) =2x 2 -4x 的值域。解析：由 4x_3_x2 . 0 （1 分） 即（x _1）（x_3） ： 0 得 1：x：;3所以 M x|1 ：x ：3? （5 分）由 f （x） =2x 2 4x =（2x）24 22 工（2X 2）24 （8 分）；x M .当 1 x : 3 时 0 ： 2 - 2 ： 6.-32 ： f （x） : 4 （11 分）所以函数f x的值域是 -32,4（13 分）类型A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板11315.（本题满分

9、14分）要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所：每张钢板的面积：第一种为1m2,第二种为2m2。今需要A、B、C三种规格的成品各 12、15、27块问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？解：设需截第一种钢板工张x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为 zm2 , （1分）x+y色12誇2x + y K15y2r+yl5则有x+3y上27x迫神声罷y-o作出可行域（如图）（8 分）目标函数为：z = x 2yx + 3y=279 15作出一组平行直线 x=2y二t （t为参数）由得A（9,15）1 （11分）Xy=1

10、22 29 15由于点A（3，）不是可行域内的整数点，而在可行域内的整数点中，点（4, 8）和点（6, 7）使 z最小，且 Zmin=42 8=6, 2 7=20.（13 分）答：应截第一种钢板 4张，第二种钢板8张，或第一种钢板6张，第二种钢板7张，得 所需三种规格的钢板，且使所用的钢板的面积最小.（14分）16.（本题满分14分）5.12四川汶川大地震，牵动了全国各地人民的心，为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房（每套长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价

11、就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元.房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在 32000元以内，试计算：（1） 设房前面墙的长为 x，两侧墙的长为y，所用材料费为 p，试用x, y表示p ；（2） 求简易房面积 S的最大值是多少？并求 S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？（1） P =2x 450 2y 200 xy 200 =900x 400y 200xy 3分即 p = 900x 400 y 200xy 6 分（2） S = x y，且 p 乞 32000 ;由题意可得： p =200S 900x 400y _ 200S 2、9

12、00 400S二 200S 1200.S 乞 p 32000 二（、S）2-160 乞 0二 0 ： .S 乞 10 二 S 乞 100 ;当且仅当900x =400yxy =10020x 取最大值312分答：简易房面积 S的最大值为100平方米，此时前面墙设计为米.14分317某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润 720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.52倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的-.根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到32000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.（

13、1） 若以2007年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该年还 需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？【解题思路】经审题抽象出数列模型解析（I）若以2007年为第一年，则第n年该乡从这两家企业获得的利润为yn3、n 4= 320 （一）2 n -1720 （一），（n_1）33 n 4= 804 （y2nd9 （2 80=2 80 6=960当且仅当4 （|）z=9 （|）n,即n=2时，等号成立，所以第二年（2019年）上交利润最少，利润为960万元.由2000 -960=1040 （万元）知：还需另筹资金1040万元可

14、解决温饱问题（n） 2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润3 8283881X818仆81“y9 =320 （-）720 （一）320 （一）3202020 81 5 =8100232160616所以该乡到2015年底可以达到小康水平18. （2019湖北卷文）（本小题满分12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元）。（I）将y表示为x的函数：（n）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小