专题2第2讲三角恒等变换与解三角形

1、第2讲 三角恒等变换与解三角形提升解題按能对接高老04淨强化训练（建议用时：60分钟）、选择题（2018湖州模拟）已知sin / a）13,则cos（卄2 a的值为)7 一 9B.2C. 9解析由题意，得sin2+ cos a13.227所以cos(七 2 a = 一 cos 2a= (2cos a 1)= 1 2COS a= 9.答案2.（2018济宁二模）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b,c.且 a= 1,).B = 45 Saabc= 2,贝U b 等于B. 25C. .4111解析，.S= 2&csinB = 2,/x 1 x cx sin 45 丄2.c= 4 2

2、.，b2 = a2 + c2 2accos B= 1 + 32 2X 1 x4.2X cos 45 .2*b = 25, b= 5.答案 A3. （2018北京东城区期末）在厶ABC中，A, B, C为内角，且sin Acos A= sin BcosB, UA ABC 是（）.A .等腰三角形B.直角三角形C. 等腰直角三角形D .等腰或直角三角形解析 由 sin Acos A= sin Bcos B 得 sin 2A= sin 2B = sin（疋2B）,所以 2A= 2B或2A= n 2B,即A= B或A+ B = 2,所以ABC为等腰或直角三角形.答案 D4. （2018浙江卷）已知 a

3、 R, sina+ 2cos a=弓0，则tan 2a等于 （）.4A.3.sin2 a+ 4sin a COS a+ 4cos2a=52.化简，得 4sin 2 a= 3cos 2a,sin 2 a 3 /tan 2a= cos= 4.答案 C5. （2018湖南卷）在锐角 ABC中,=.3b,则角A等于A, B所对的边长分别为a, b.若2asin B）.na.2B.nC. 4解析 在AABC中，利用正弦定理得33sin Asin B= . 3sin B,.si n A=n又A为锐角,.A=3.答案 D6.在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c.已知8b= 5c, C

4、 = 2B,则cos C等于（）.b. 3C.- 4解析 .s in a+ 2cos a= 2a.25B.7257C. 252425解析 先用正弦定理求出角B的余弦值,再求解.t bc 口由sinB=snC,且 8b=5c, C=2B,4 所以 5csin 2B = 8csin B,所以 cos B= 5.27所以 cos C = cos 2B = 2cos B 1=亦.答案7.已知45tan 3, sin( a+B (0, n）则sin a的值为().63 A A.65B.3365Cii解析63 十 33口或nn+ B2(否则，若 a+ BW 2,则有 0 a+n2, 0sin 仟sin(a

5、+ B,这与 “sin(a12+ gsin B 矛盾)，则 cos( a+ B = 13,sin a sin( a+ g = sin( a+ cos B65或 65 35依题意得sin A 5, cos 5；注意到sin(a+ 13sin B因此有63cos(a+ si n A 65.答案 A、填空题a2 c28. (2018衡水调研)在厶ABC中，内角A, B, C的对边长分别为a, b, c,已知=2b,且 sin Acos C = 3cos Asin C,求 b=.解析在ZVBC 中，sin Acos C= 3cos AsinC,则由正弦定理及余弦定理有2a + b c a 2ab222

6、22b + c a=3 2bc ,化简并整理得2(a2 c2) = b2.又由已知 a2 c2=2b,则 4b= b2,解得 b = 4 或 b= 0(舍).答案4n9. 在 ABC 中，/ ABC= 4, AB = y/2, BC = 3,贝U sin/ BAC=.解析 在ABC 中，由余弦定理得 AC2= BA2 + BC2 2BA BCcos ZABC= (. 2)2+ 3 2x3cos 4= 5.BC sin /ABC答案3 1010n-J23X sin 4 渔=应=甘.10.如图,2/2在厶ABC中，已知点D在BC边上，AD丄AC, sin/ BAC=,AB=3 2,AD = 3,贝

7、U BD的长为AC= 5,由正弦定理得sin ZBAC=AC =n解析 si nZBAC = sing +ZBAD) = cos/BAD,.cosZBAD= 2.BD2= AB2 + AD2 2AB ADcos/BAD = (3 .2)2 + 32 2X 3.2X 3X= 3,即 BD= 3.答案11 .若 a,a fi=岁,sin B= 2则 COS (a+ 3 =解析a,卫 a3n ，2， 4 a 2 2,n an 丄22 f 0，x R)的最小正周期为10n(1)求3的值；设 a,0, 2，fga+ 3 n= 6，f$L 6 n= 17，求 COS(a+ 的值.解(1)由题意知f(x)

8、= 2cos；3汁6)勺最小正周期T= 10 n贝U 3 = g由(1)知 f(x) = 2cos 5x+g ,.7 n (5 n 6(5 n 16又 a 氏 0, 2ffa+_3尸一5，f$B百尸 17，即cosa+n=3，cos A 17,4.15a=5cos a= 5, sin B= 17, cos(a+ = cos ocos f sin ain B4 8 3 1513=x _ x =5 17 5 1785.14. (2018 新课标全国 I 卷)如图，在 ABC 中，/ ABC= 90 AB=J3, BC= 1,P ABC 内一点，/ BPC = 90B由正弦定理，得化简得3cos a

9、_ 4sin a,故tan0=即 tan/ PBA_15. （2018新课标全国U卷） ABC中内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知 a= bcos C+ csin B.(1)求 B;若b= 2,求厶ABC面积的最大值.解(1)由已知及正弦定理，得sin A= sin Bcos C + sin Csi n B, 又 A= n (B+ C),故 sin A= sin(B+ C) = sin Bcos C + cos Bsin C. 由，和 C (0, n得 sin B = cos B.n又 B (0, n)所以 B= 4. ABC 的面积 S= acsin B-ac.由已知及余弦定理，得4 = a2 + c2 2accos才2 2 4又 a2 + c2 2ac, 故 ac 2逼,当且仅当a= c时，等号成立.因此 ABC面积的最大值为 .2+ 1.1(1)若 PB= 2,求 PA；若/APB= 150 求 tan/PBA.1解