一元一次方程竞赛试题

1、一元一次方程竞赛试题邮编：518052 地址：深圳市南山区常兴南路荔香中学数学组作者：钟国雄(中国数学奥林匹克一级教练，中学高级教师)电话：0755-2101752013699770520一、选择题(每题5分，共30分)1已知X - 6 =ax的解为正整数，则整数 a的值有()(A) 2 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个解：原方程化为 a-1 x=2，因为方程的解为正整数，且a为整数，所以 a 一1 = _6, -3,-2, 一1，即得 a =_5,-2, 一1,0 .故选 (D)2.某种商品若按标价的八折出售，可获利20%，若按原标价可获利()(A)25%(B) 40%(C) 5

2、0%(D)66.7%80解：设该商品的进价为 a元，标价为b元，则售价为 b元.100由题意，得-80ba20 a，解得b = 3a .100 100 23b_ a _ a所以按原标价出售的利润率为a 100% =2100% =50% .bb故选(C)3若关于x的方程9x-17二kx的解为正整数，则 k的值为()(A)8(B) 2 或 10(C) 6 或-10(D) _817解：方程的解为x，依题意，则9-k=1或17,即k=8或-8.9-k故选(D)4如果某一年的5月份中，有5个星期五，它们的日期之和为80,那么这个月的4日是星期()(A) 日(B) 一(C)三(D)五解：设中间的一个星期五

3、为号，则这五个星期五的日期分别为：x-14, x-7, x , x 7 ,x 14，则 x-14 x-7 x x 7 x 14 =80,解得 x=16.所以这五个星期五分别为2号、9号、16号、23号、30号，所以这个月的4号是星期日.故选(A)5.若关于x的方程2x3+m=0无解，3x4+ n = 0只有一个解，4x 5+k = 0有两个解，则m、n、k的大小关系是()(A) m n k(B) n k m(C) k m n(D) m k n解：因为2x3+m=0无解，则m0；3x 4 + n= 0只有一个解，贝U n=0；4x - 5 k =（有两个解，贝U k : 0 .所以m . n .

4、 k.故选 (A)6.正整数n小于100,并且满足 -=n，其中lx 1表示不超过x的最大整数，|!2_3_6这样的正整数n有()(A)2 个(B) 3 个(C)12 个(D) 16 个解：由题设可得，n-n-nn + n+n=n， 以及若x不是整数，则xl：x，|_2362 3 6所以n二-，n =n，丄二.由此可知，n应为2的倍数，3的倍数，6的倍数， _221133 H66即n为6的倍数，因此，小于 100的这样的正整数有100 =16个.IL 6故选(D)二、填空题(每题5分，共30分)7方程 2006x2006 =2006 的解是 .解：原方程可化为 2006x - 2006 二 2

5、006 或 2006x - 2006 = -2006,解得x =2或x =0 .&一个六位数abcde9的4倍是9abcde，则这个六位数是 .解：设 abcde = x，贝U abcde9 = 10x 9 , 9abcde = 900000 x .依题意，有 900000 x =4 10x 9，解得 x = 23076.故这个六位数是230769.9. 小刘写出四个有理数，其中每三数之和分别是 2,17, -13 ,那么小刘写出的四个有理数的乘积是.解：设这四个数的和为 x，则这四个数分别为 x-2 , x-17, x 1, x 3，依题意，有(x -2) + ( x -17) + ( x

6、1) + ( x 3) = x ,解得x = 5，将5分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为3, -12,6,8 .所以这四个有理数的乘积是 3 -12 6 8 =-1728.10. 方程+x=2006 的解是.V22汇3 342006汇2007解：将原方程变形为 Hi1 -1 v i -1 x - x = 2006 ,I 2丿12 3 丿13 4.丿12006 2007 丿-1 x 二 200620062007( 1 所以 1 _ x=2006 ,(2007 丿所以 x =2007 11. 甲、乙两人在环形跑道上练习长跑，甲的速度与乙的速度的比为5 : 3,若两人同时从同一起点出发，则乙

7、跑了 圈后，甲比乙多跑了 4圈.x + 45解：设乙跑x圈，甲跑了 x 4圈，因时间相同，所以路程之比等于速度之比，即4=3x 3所以3x4 =5x，解得x=6 12. 使关于x的方程x=ax+1同时有一个正根和一个负根的整数a的值是.解:当x 0时，方程可化为x二ax 1 ,即 1 -a x =1.1此时方程有正根，则有1 -a 0,x =1-a(2)当x ：0时， 方程可化为-x=ax1.即 1 a x - -1.此时方程有负根，则有1 a 0, x =1 +a由可知，-1 ： a ：1, 因为a是整数，所以a=0.三、解答题(每题10分,共40分)13.已知方程4x 2m =3x 1和方

8、程3x 2 = 6x 1的解相同，求代数式.20072006(m+2)(7)的值.2mI 5丿解：由方程 4x 2m = 3x 1，得 x = 1 - 2m.再由方程3x 26x 1，得x：2m -13 .因两方程有相同的解，所以1 - 2m二，解得m二-321所以当m 时,22006(m+2)2007I 5丿200614.如图1,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图, 色不同的正方形组成的.设中间的一个正方形边长为它是由A、B、C、D、E、F 6个颜1，求这个矩形色块图的面积.解：设最大正方形 B的边长为xcm，则C的边长为 x -1 cm ,D的边长为x - 2 cm , E的边长为x -

9、3 cm ,B匕F的边长也为(x 3 )cm 根据题意，正方形B、C边长之和等于正方形 D、E、F边长之和，尸 e即 x+( X / ) =2 X 勺(+ X 多图1 解得x = 7 所以矩形色块的长为 5 2 4 =13 cm，宽为2 5 1 =11 cm 因此，这个矩形的面积为 13 11 =143 cm2 2kx + ax _ bk15如果a、b为定值，关于x的方程2，无论k为何值，它的根总是1,36求a、b的值.2k + a 1 - bk解：把x =1代入原方程，得2，整理，得b，4k=13-2a ,36此时对任意的k均成立，即关于k的方程有无数解.所以有 b *4=0，且 13-2a =0,13即 a , b = -4 216.出租汽车声有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出，在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场， 以后每隔6分钟即有一辆出租汽车回场.回声的出租汽车，有原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一 辆问从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车声就没有出租汽车了.解：设从第一辆出租汽车驶出直至中断前最后一辆出租汽车回场的这段时间为x分钟，则驶xx 2出的出租汽车的辆数为1，而回场的出租汽车的辆数为1,