第11讲：变量之间的关系-教案

1、第11讲 讲变量之间的关系概述适用学科初中数学适用年级初中一年级适用区域北师版区域课时时长（分钟）120知识点1、常量与变量；2、自变量与因变量；3、用表格表示变量之间的关系；4、用关系式表示两变量之间的关系；5、利用关系式求值；6、用图像表示两变量之间的关系。教学目标1、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子；2、能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测；3、能根据具体情景，用表格、关系式、图象表示某些变量之间的关系。教学重点1、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关

2、系的体验，进一步发展符号感；2、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。教学难点1、找问题中的自变量和因变量；2、根据表格、关系式、图象找自变量和因变量之间的对应关系。【教学建议】本节的教学重点是使学生能够理解变量与常量，并能与实际结合举出相应的变量关系的例子。在充分理解常量与变量的意义的基础上再去学习变量之间关系的三种表示方法，能将三种表示方法进行转换，并能进行简单的计算。学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：1.变量与常量的意义；2.两个变量之间的关系；3.两个变量之间的三种表示方法。【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】在学习变量关系时可以从之

3、前知识点引入，让学生理解变量和常量的区别，并能区分自变量和因变量。然后在学习变量关系的三种表示方法时注意与实际问题的结合，让学生自己动手进行探究作图，充分理解三种表示方法之间的联系并能够进行分析计算。要注意表格法、图象法和关系式法之间的互相转换，要让学生理解不同的表示方法适用于何种问题情境，在解题的过程中根据不同的要求能够将变量之间的关系用相应的方法表示出来。二、知识讲解知识点1 变量的意义1.自变量、因变量、常量；2.常见的变量关系：（1）速度、路程、时间关系； （2）面积、周长计算； （3）单价、总价、数量关系。知识点2 变量间关系的表示1.表格法；2.图象法；3.关系式法；4.三种表示方

4、法间的转换。三、例题精析例题1【题干】在ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=ah，当a为定长时，在此式中（ ）A.S，h是变量，a是常量 B.S，h，a是变量，是常量C.S，h是变量，S是常量 D.S是变量，a，h是常量【答案】A【解析】考查变量、常量的概念。例题2【题干】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为方 月用水量不超过12方部分超过12方不超过18吨部分超过18方部分收费标准（元/方）22.53【答案】20【解析】解：45122+62.5=39，用户5月份交水费45元可知5月用水超过了18方，设用水x方，水费为y元，则

5、关系式为y=39+3（x18）当y=45时，x=20，即用水20方故答案为：20例题3【题干】心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系：（其中0x30）提出概念所用时间（x）257101213141720对概念的接受能力（y）47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强；（4）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能

6、力逐步降低？【答案】见解析。【解析】解：（1）提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量；（2）当x=10时，y=59，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59（3）当x=13时，y的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强（4）由表中数据可知：当2x13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当13x20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低例题4【题干】一天之中，海水的水深是不同的，如图是某港口从0时到12时的水深情况，结合图象回答下列问题：（1）如图描述了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？（2）大约什么时刻港口的水最深？深度约是多少？（3

7、）图中A点表示的是什么？（4）在什么时间范围内，水深在增加？什么时间范围内，水深在减少？【答案】见解析【解析】解：（1）表格反映了港口的水深和时间之间的关系，其中时间是自变量，港口的水深是因变量；（2）3时港口的水最深，深度约是7m；（3）图中A点表示的是6时港口的水深；（4）从0时到3时及从9时到12时水深在增加，从3时到9时水深在减少例题5【题干】如图正方形ABCD的边长为4cmP为DC上的点，当点P从C向D移动时，四边形APCB的面积发生了变化（1）设线段CP长为x，则APD的面积y可以表示为 ；（2）这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（3）当线段CP从1cm增加到3cm时，APD

8、的面积减小了多少？【答案】（1）8-2x；（2）x，y；（3）4cm2【解析】解：（1）因为线段CP长为x，则DP=CDCP=4x（cm），根据APD的面积=，=82x（2）在这个变化过程中，自变量是x，因变量是y；（3）当CP=1cm时，y=821=6（cm2），当CP=3cm时，y=823=2（cm2），62=4（cm2）， 所以APD的面积减少了4cm2四 、课堂运用【教学建议】在学习过程中可以多结合具体问题情境，引导学生主动探索变量间的关系，帮助学生建立完整的知识体系，并要设计难易适中的练习题帮助学生加深理解。基础1. 设路程s，速度v，时间t，在关系式s=vt中，说法正确的是（ ）A

9、.当s一定时，v是常量，t是变量 B.当v一定时，t是常量，s是变量C.当t一定时，t是常量，s，v是变量 D.当t一定时，s是常量，v是变量【答案】C【解析】A、当s一定时，s是常量，v、t是变量，故原题说法错误；B、当v一定时，v是常量，t、s是变量，故原题说法错误；C、当t一定时，t是常量，s，v是变量，说法正确；D、当t一定时，t是常量，v、s是变量，故原题说法错误；故选：C2. 某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y与向上攀登的高度xkm的几组对应值如表：向上攀登的高度x/km0.51.01.52.0气温y/2.01.04.07.0若每向上攀登1km，所在位置

10、的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.3km时，登山队所在位置的气温约为_【答案】-8.8【解析】解：根据表格数据发现，每向上攀登0.5KM，气温降低3。 2.3km时气温为：-7.0-0.30.53=-7.0-1.8=-8.83.李小勇的爸爸让他去商店买瓶酱油，下图近似地描述了李小勇和家之间的距离与他离家后的时间之间的关系，则(1)李小勇去买瓶酱油共花了_min，其中在路上行走了_min，他走路的平均速度是_；(2)李小勇在买酱油的过程中有_次停顿，其中第_次是因为买酱油付钱而停顿的；(3)李小勇在途中另一处停顿的原因是_.(只要写得合理都对)【答案】（1）8，6，150米/分；

11、（2）2，2；（3）略【解析】根据图象分析判断。4. 如图,圆柱的底面半径为2cm,当圆柱的高由小到大变化时,圆柱的体积也发生了变化. (1)在这个变化过程中,自变量是_,因变量是_. (2)如果圆柱的高为x(cm),圆柱的体积V(cm3)与x的关系式为_. (3)当圆柱的高由2cm变化到4cm时,圆柱的体积由_cm3变化到_cm3. (4)当圆柱的高每增加1cm时,它的体积增加_cm3.【答案】（1）圆柱的高，圆柱的体积；(2)V=4x；(3)8，16；(4)4【解析】考查关系式法表示两个变量关系，根据关系式进行计算即可。巩固1. 笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：a是常

12、量时，y是变量；a是变量时，y是常量；a是变量时，y也是变量；a，y可以都是常量或都是变量上述判断正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A.【解析】解：由题意得：y=3a，此问题中a、y都是变量，3是常量，则正确，故选：A2. 在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）m1234v0.012.98.0315.1A.v=2m2 B.v=m21 C.v=3m3 D.v=m+1【答案】B【解析】当m=4时，A、v=2m2=6；B、v=m21=15；C、v=3m3=9；D、v=m+1=5故选B3. 下列各图均是用有一

13、定规律的点组成的图案，用S表示第个图案中点的总数，则S_。（用含的式子表示）【答案】【解析】找出规律进行计算。4. 如图，圆柱的高是5 cm，当圆柱的底面半径由小变大时，圆柱的体积也随之发生变化。(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？(2)如果圆柱底面半径为r(cm)，体积为V(cm3)，则V与r之间有什么关系？(3)当底面半径为2 cm时，圆柱体体积是多少？(4)当圆柱体的体积为500 cm2时，底面半径是多少？(5)圆柱体的体积随底面半径的增大怎样变化？【答案】见解析。【解析】（1）)在这个变化过程中自变量是圆柱的底面半径，因变量是圆柱的体积；（2）（3）当r=2cm时，v=54

14、=20（）答：圆柱体体积是20.（4）圆柱体的体积随底面半径的增大而增大。拔高1.根据如图所示的程序图计算代数式的值,若输入的x的值为32,则输出的y值为（ ）.A.B. C. D. 【答案】D.【解析】由题可知当输入时 满足y=x+2代入答案为，选择D2. 如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿ADEFGB的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）答案】B【解析】解：当点P在AD上时，ABP的底AB不变，高增大，所以ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，AB

15、P的底AB不变，高不变，所以ABP的面积S不变；当点P在EF上时，ABP的底AB不变，高减小，所以ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，ABP的底AB不变，高不变，所以ABP的面积S不变；当点P在GB上时，ABP的底AB不变，高减小，所以ABP的面积S随着时间t的减小；故选：B3. 将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，粘合部分的宽为3cm。 (1)求五张白纸粘合的长度(2)设x张白纸粘合的总长度为ycm,写出y与x之间的关系式(3)求出当x=20时，y的值【答案】见解析【解析】解：（1）由题意，得305-3（5-1）=138所以5张白纸粘合后的长度为

16、138cm（2）y=30x-3（x-1）=27x+3所以y与x的关系式为y=27x+3（3）当x=20时，y=2720+3=543所以当x=20时，y的值为543cm4. 小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买。已知俩商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始标价的70%卖；乙商店的优惠条件是从第1本开始就按标价的85%卖。（1）小明要买20本时，到哪个商店购买比较省钱？（2）写出甲、乙商店中，付款y（元）与购买本数x（本）（x大于10）的关系式（3）小明现有24元钱，最多可以买多少本练习本？【答案】见解析.【解析】解：（1）小明买20本练习本在甲商

17、店所需要的钱为：101+（20-10）170%=17（元），小明买20本练习本在乙商店所需要的钱为：20185%=17（元），小明要买20本练习本，到两家商店购买一样省钱；（2）甲商店中的收款y=101+（x-10）170%=0.7x+3（x10），乙商店中的收款y=x185%=0.85x（3）设最多可买X本，则甲商店10+（X-10）70%=24，解得：X=30；乙商店80%X=24解得：X=30故最多可买30本课堂小结1自变量、因变量及常量的认识；2.两个变量关系的三种表示方法：表格法、关系式法、图象法。3.利用变量关系的相关计算问题。扩展延伸基础1. 当前，雾霾严重，治理雾霾方法之一是将

18、已生产的PM2.5吸纳降解，研究表明：雾霾的程度随城市中心区立体绿化面积的增大而减小，在这个问题中，自变量是（ ）A.雾霾程度 B.PM2.5C.雾霾 D.城市中心区立体绿化面积【答案】D【解析】雾霾的程度随城市中心区立体绿化面积的增大而减小，雾霾的程度是城市中心区立体绿化面积的函数，城市中心区立体绿化面积是自变量，故选：D2. 下表所列为某商店薄利多销的情况。某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量(单位为件)发生相应的变化(如表):降价(元)5101520253035日销量(件)780810840870900930960这个表反映了_个变量之间的关系，_是自变量，_是因变量。从表中

19、可以看出每降价5元，日销量增加_件，从而可以估计降价之前的日销量为_件，如果售价为500元时，日销量为_件。【答案】两；降价；日销量；30；750；1110【解析】日销量随降价的改变而改变，降价(元)是自变量，日销量是因变量。从表中可：日销量与降价之间的关系为：日销量=750+(原价售价)530；则可以估计降价之前的日销量为78030=750件，售价为500元时，日销量=750+(560500)530=1110件。3. 一辆汽车出发时邮箱内有油48升，出发后每行驶1 km耗油0.6升，如果设剩油量为y(升)，行驶路程为x(km).则y与x的关系式为_；这辆汽车行驶35 km时，汽车剩油_升；当

20、汽车剩油12升时，行驶了_千米.【答案】y =48-0.6x ； 27；60【解析】考试关系式法。4. 如图是江津区某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中：（1）气温T（）是不是时间t（时）的函数（2）12时的气温是多少？（3）什么时候气温最高，最高时多少？什么时候气温最低，最低是多少？（4）什么时候气温是4？【答案】见解析。【解析】解：（1）因为，一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，而由该函数的图象可知，在气温T随时间t的变化过程中有两个变量T和t，并且对于t的每一个值，变量T都有唯一的值与它

21、对应，那么我们称T是t的函数，所以，气温T（）是时间t（时）的函数 （2）因为函数图象中的横坐标表示某一天当中的某一时刻，而纵坐标表示某一时刻的气温， 所以，12时的气温是8 （3）因为，函数图象上最高点对应的纵坐标表示的函数值最大，相反函数图象上最低点对应的纵坐标表示的函数值最少，所以， 14时的气温最高，是10；4时的气温最低，是零下2 （4）过纵轴上4对应的点作纵坐标轴的垂线，与函数图象相交的点对应的横坐标即为气温为4时的时刻，所以，由图象可知，这一天中：8时、22时的气温是4巩固1. 赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表（见如表）：年龄x/岁03691215182124

22、身高h/cm48100130140150158165170170.4下列说法错误的是（）A赵先生的身高增长速度总体上先快后慢B赵先生的身高在21岁以后基本不长了C赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高7.1cmD赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1cm【答案】C.【解析】解：解：A、从018增长较快，1824增长变慢，所以高增长速度总体上先快后慢是正确的；B、从21岁步入成年，身高在21岁以后基本不长了是正确的；C、（170.448）24=5.1cm，从0岁到24岁平均每年增高7.1cm是错误的；D、（170.448）24=5.1cm，从0岁到24岁平均每年增高5.1cm是正确的故选：

23、C2. 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是分钟。【答案】15【解析】解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分米/分），所以他从单位到家门口需要的时间是（分钟）故答案为：153. 已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：底面半径x（cm）1.62.02.42.83.23.64.0用铝量y（cm3）6.96.05.65.55.76.06.5（1）上表反

24、映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当易拉罐底面半径为2.4cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响【答案】见解析【解析】解：（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量；（2）当底面半径为2.4cm时，易拉罐的用铝量为5.6cm3（3）易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝较少，成本低（4）当易拉罐底面半径在1.62.8cm变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.84.0cm间变化时，用铝量随半

25、径的增大而增大4.用一根长是20cm的细绳围成一个长方形(如图),这个长方形的一边的长为xcm,它的面积为ycm2.(1)写出y与x之间的关系式,在这个关系式中,哪个是自变量?它的取值应在什么范围内?(2)用表格表示当x从1变到9时(每次增加1),y的相应值;(3)从上面的表格中,你能看出什么规律?(4)猜想一下,怎样围法,得到的长方形的面积最大?最大是多少?(5)估计一下,当围成的长方形的面积是22cm2时,x的值应介于哪两个相邻整数之间?【答案】见解析【解析】解：(1)y=x=(10-x)x,x是自变量,它的值应在0到10之间(不包括0和10) (2)x12345678910y916212

26、4252421169 (3)可以看出:当x逐渐增大时,y的值先由小变大,后又由大变小;y的值在由小变大的过程中,变大的速度越来越慢,反过来y的值在由大变小的过程中,变小的速度越来越快;当x取距5等距离的两数时,得到的两个y值相等. (4)从表中可以发现x=5时,y取到最大的值25. (5)根据表格:当x=22时,x应介于3和4之间或者6与7之间.拔高1. 如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2

27、升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=SABP；当点P与点A重合时，y=0其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（）A0B1C2D3【答案】C【解析】解：小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，故与图象不符合；小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为：1.25=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分

28、的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，故符合函数图象；如图所示：当点P在AC上运动时，SABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，SABP=6，这段时间为5；当点P在CD上运动时，SABP不变，这段时间为4；当点P在DA上运动时，SABP减小，这段时间为3，故符合函数图象；综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2故选：C2.按如图方式摆放餐桌和椅子用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数（1）题中有几个变量？（2）你能写出两个变量之间的关系吗？【答案】见解析【解析】解：（1）观察图形：x=1时，y=6，x=2时，y=10；x=3时，y=14；可见每增加一张桌子，便增加4个座位，因此x张餐桌共有6+4（x1）=4x+2个座位故可坐人数y=4x+2，故答案为：有2个变量；（2）能，由（1）分析可得：函数关系式可以为y=4x+23. 李老师为了锻炼身体一直坚持步行上下班，已知学校到李老师家总路程为2000米，一天，李老师下班后，以45米/分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下又聊了半个小时，之后以110米/分的速度走回了家。李老师回家过程中，离家的路程S（米）与所用时间（分）之间的关系如图所示。（1）求的值；（