高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin（ωx+φ）的图像及应用 理 北师大版

1、4.4函数y=Asin(x+)的 图像及应用,考纲要求:1.了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出y=Asin(x+)的图像,了解参数A,对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,1.“五点法”作三角函数图像的五点 作图的五点是三角函数图像在一个周期内的最高点、最低点及与x轴的三个交点. 2.作函数y=Asin(x+)(A0,0)的简图的步骤 (1)定点:如下表所示. (2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(x+)在一个周期内的图像. (3)扩展:将所得图像,按周期向两侧扩展可得y=A

2、sin(x+)在R上的图像,3.由y=sin x的图像得y=Asin(x+)(A0,0)的图像的两种方法,4.函数y=Asin(x+)的物理意义 当函数y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)表示某一个振动时,A叫做振幅, 叫做周期, 叫做频率,x+叫做相位,叫做初相,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,答案,解析,2,3,4,1,5,3.若函数y=cos (N+)的一个对称中心是 ,则的最小值为() A.1B.2C.4D.8,答案,解析,2,3,4,1,5,4.将函数y=8sin x的图像上所有的点向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),所得图像的函

3、数解析式是,答案,解析,2,3,4,1,5,5.若将函数f(x)=sin 的图像向右平移个单位,所得图像关于y轴对称,则的最小正值是,答案,解析,2,3,4,1,5,自测点评 1.利用图像变换由y=sin x的图像作y=Asin(x+)(A0,0)(xR)的图像,若先平移后伸缩,平移的量是|个单位,而先伸缩再平移,平移的量是 个单位. 2.三角函数图像的对称中心就是图像与x轴的交点坐标,若函数f(x)=Asin(x+)的对称中心为(x0,0),则有f(x0)=0. 3.有关三角函数性质的题目,要将三角函数化为y=Asin(x+)的形式,最大值、最小值与A的符号有关.y=Asin(x+)的图像的

4、两个相邻对称轴间的距离是半个周期. 4.函数y=Asin(x+)的图像横向伸长,周期变大,x的系数变小;横向缩短,周期变小,x的系数变大,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1函数y=Asin(x+)的图像及变换 例1(2015湖北,理17)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+) 在某一个周期内的图像时,列表并填入部分数据,如下表,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:作函数y=Asin(x+)(A0,0)的图像有哪些方法? 解题心得:1.函数y=Asin(x+)(A0,

5、0)的图像的两种作法: (1)五点法:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取 2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图像. (2)图像变换法:由函数y=sin x的图像通过变换得到y=Asin(x+)的图像,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 2.变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用x+= 来确定平移单位,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1已知函数y=2sin , (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像; (3)说明y=2si

6、n 的图像可由y=sin x的图像经过怎样的变换而得到,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2求函数y=Asin(x+)的解析式(多维探究) 类型一由函数的图像求函数y=Asin(x+)的解析式 例2(2015课标全国,理8)函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为() 思考:由y=Asin(x+)+b(A0,0)的图像求其解析式的方法和步骤是怎样的,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,

7、知识方法,易错易混,类型二由函数y=Asin(x+)的性质求解析式 例3已知角的终边经过点P(1,-1)(|0)图像上的任意两点.当|f(x1)-f(x2)|=2时,若|x1-x2|的最小值为 ,则f(x)的解析式为,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何由函数y=Asin(x+)的性质确定A,? 解题心得:1.由图像确定y=Asin(x+)+b(A0,0)的解析式的步骤和方法: 2.由函数y=Asin(x+)的性质确定其解析式的方法:由函数的最值确定A,由函数的周期性确定,由函数的奇偶性或对称性确定,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2(1)若函

8、数f(x)=2sin(x+) 的部分图像如图所示,则,的值分别是(,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,2)已知函数y=Asin(x+)(A0,0,0)的两个相邻最值点为 ,则这个函数的解析式为,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3函数y=Asin(x+)性质的应用,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何求解三角函数图像与性质的综合问题? 解题心得:解决三角函数图像与性质综合问题的方法:先将y=f(x)化为y=asin x+bcos x的形式,然后用辅助角公式化为y=Asin(x+)的形式

9、,再借助y=Asin(x+)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.由函数y=Asin(x+)的图像确定A,的题型,常常以“五点法”中的五个点作为突破口,要从图像的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 2.函数y=Asin(x+)的图像与x轴的每一个交点均为其对称中心,若函数f(x)=Asin(x+)的图像关于点(x0,0)成中心对称,则x0+=k(kZ);经过函数y=Asin(x+)图像的最高点或最低点,且与x轴垂直的直线都为其对称轴.两个相邻对称轴的距离是半个周期,若函数f(x)=Asin(x+)的图像关于直线x=